周蔭清《隨機過程理論》word版

1、目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc313025801 前言 PAGEREF _Toc313025801 h 1 HYPERLINK l _Toc313025802 第一章 概率與隨機變量 PAGEREF _Toc313025802 h 2 HYPERLINK l _Toc313025803 1、隨機事件及其概率 PAGEREF _Toc313025803 h 2 HYPERLINK l _Toc313025804 2、隨機變量及分布函數(shù) PAGEREF _Toc313025804 h 3 HYPERLINK l _Toc313025805 3、數(shù)字特征 PA

2、GEREF _Toc313025805 h 4 HYPERLINK l _Toc313025806 4、特征函數(shù) PAGEREF _Toc313025806 h 5 HYPERLINK l _Toc313025807 第二章 隨機過程概述 PAGEREF _Toc313025807 h 6 HYPERLINK l _Toc313025808 1、隨機過程的概念 PAGEREF _Toc313025808 h 6 HYPERLINK l _Toc313025809 2、平穩(wěn)隨機過程 PAGEREF _Toc313025809 h 7 HYPERLINK l _Toc313025810 3、平穩(wěn)隨

3、機過程的各態(tài)歷經性 PAGEREF _Toc313025810 h 8 HYPERLINK l _Toc313025811 4、平穩(wěn)過程的功率譜密度 PAGEREF _Toc313025811 h 9 HYPERLINK l _Toc313025812 第三章 隨機過程的線性變換 PAGEREF _Toc313025812 h 10 HYPERLINK l _Toc313025813 1、隨機過程變換的基本概念 PAGEREF _Toc313025813 h 10 HYPERLINK l _Toc313025814 2、均方微積分 PAGEREF _Toc313025814 h 10 HYPE

4、RLINK l _Toc313025815 3、隨機過程線性變換的微分方程法 PAGEREF _Toc313025815 h 13 HYPERLINK l _Toc313025816 4、隨機過程的沖激響應法和頻譜法 PAGEREF _Toc313025816 h 14 HYPERLINK l _Toc313025817 第四章 窄帶隨機過程 PAGEREF _Toc313025817 h 15 HYPERLINK l _Toc313025818 1、窄帶隨機過程的基本概念 PAGEREF _Toc313025818 h 15 HYPERLINK l _Toc313025819 2、窄帶平穩(wěn)隨

5、機過程的數(shù)字特征 PAGEREF _Toc313025819 h 16 HYPERLINK l _Toc313025820 第五章 高斯隨機過程 PAGEREF _Toc313025820 h 18 HYPERLINK l _Toc313025821 1、高斯隨機過程 PAGEREF _Toc313025821 h 18 HYPERLINK l _Toc313025822 2、窄帶平穩(wěn)實高斯隨機過程 PAGEREF _Toc313025822 h 18 HYPERLINK l _Toc313025823 第六章 泊松隨機過程 PAGEREF _Toc313025823 h 20 HYPERLI

6、NK l _Toc313025824 1、泊松計數(shù)過程 PAGEREF _Toc313025824 h 20 HYPERLINK l _Toc313025825 2、泊松過程的基本概念 PAGEREF _Toc313025825 h 21 HYPERLINK l _Toc313025826 第七章 總結 PAGEREF _Toc313025826 h 24前言隨機過程(Stochastic Process)是一連串隨機事件動態(tài)關系的定量描述。數(shù)學上的隨機過程可以簡單的定義為一組隨機變量，即指定一參數(shù)集，對于其中每一參數(shù)點t指定一個隨機變量x(t)。如果回憶起隨機變量自身就是一個函數(shù)，以表示隨機

7、變量x(t)的定義域中的一點，并以x(t，)表示隨機變量在的值，則隨機過程就由剛才定義的點偶(t，)的函數(shù)以及概率的分配完全確定。如果固定t，這個二元函數(shù)就定義一個的函數(shù)，即以x(t)表示的隨機變量。如果固定，這個二元函數(shù)就定義一個t的函數(shù)，這是過程的樣本函數(shù)。隨機過程論與其他數(shù)學分支如位勢論、微分方程、力學及復變函數(shù)論等有密切的聯(lián)系，是在自然科學、工程科學及社會科學各領域研究隨機現(xiàn)象的重要工具。隨機過程論目前已得到廣泛的應用，在諸如天氣預報、統(tǒng)計物理、天體物理、運籌決策、經濟數(shù)學、安全科學、人口理論、可靠性及計算機科學等很多領域都要經常用到隨機過程的理論來建立數(shù)學模型。隨機過程整個學科的理論

8、基礎是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。這一學科最早源于對物理學的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統(tǒng)計力學的研究，及后來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運動的開創(chuàng)性工作。1907年前后，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。1923年維納給出布朗運動的數(shù)學定義，直到今日這一過程仍是重要的研究課題。隨機過程一般理論的研究通常認為開始于20世紀30年代。1931年，柯爾莫哥洛夫發(fā)表了概率論的解析方法，1934年A辛飲發(fā)表了平穩(wěn)過程的相關理論，這兩篇著作奠定了馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程的理論基礎。1953年，杜布出版了名著隨機過程論，系統(tǒng)且嚴格地敘述了隨機過程基本理論。本論文著

9、重討論隨機過程的基本理論和基本方法，并簡單介紹了幾種在應用中常見的隨機過程。第一章介紹了概率論的相關知識，因為后文用到了太多的概率論知識，所以單獨拿出一章來對概率論的知識進行簡單回顧。第二章詳細討論了隨機過程的基本概念，重點介紹隨機過程的兩類基本分析方法。第三章研究具有隨機輸入的線性系統(tǒng)輸出過程的統(tǒng)計特征。第四、五、六章分別介紹了窄帶隨機過程、高斯隨機過程和泊松隨機過程。最后一章是對該門課程的學習總結與心得。第一章 概率與隨機變量1、隨機事件及其概率事件的概率幾個公式2、隨機變量及分布函數(shù)1、一維分布二維分布邊沿分布多維分布3、數(shù)字特征1、數(shù)學期望2、方差3、協(xié)方差4、相關系數(shù)4、特征函數(shù)1、

10、一維特征函數(shù)定義2、一維特征函數(shù)性質3、二維特征函數(shù)第二章 隨機過程概述1、隨機過程的概念1、隨機過程的定義設 E=e是一個樣本空間，若對每一時刻t ，都有定義在E上的隨機變量 X(t,e)與之對應，則稱依賴t的一族隨機變量X(t,e),tT,eE 是一個隨機過程，通常將它簡化為X(t),tT。2、隨機過程的概率分布 3、隨機過程的數(shù)字特征4、隨機過程的基本分類按統(tǒng)計特性分類：平穩(wěn)隨機過程和非平穩(wěn)隨機過程按記憶特性分類：純粹隨機過程、馬爾可夫過程、獨立增量過程按概率分布分類：高斯隨機過程和非高斯隨機過程按功率譜特性分類：白噪聲過程和有色噪聲過程2、平穩(wěn)隨機過程1、狹義平穩(wěn)過程設X(t),tT為

11、一隨機過程，若對任意正整數(shù)n,任意的實數(shù)t1,t2,tn與,隨機變量X(t1),X(t2),X(tn)的n維分布函數(shù)與X(t1+),X(t2+),X(tn+)的n維分布函數(shù)相同，即則稱X(t)為嚴格平穩(wěn)隨機過程。2、廣義平穩(wěn)過程定義設X(t),tT是一個隨機過程，EX2(t) ,且EX(t)=mX=常數(shù)，以及R(t1,t2)=EX(t)X(t-)=R(), =t1-t2,則X(t),tT稱為廣義平穩(wěn)隨機過程。3、二階矩過程 若一個隨機過程X(t),tT,如果對于一切tT,總有EX2(t)0滿足下列假設，稱為泊松過程，1. 在 t=0 時，N(t)=0；2. 該過程是獨立增量計數(shù)過程；3. 該過

12、程是平穩(wěn)增量計數(shù)過程；4. 在（t, t+t）內出現(xiàn)一個事件的概率為 t + 0(t)，為一常數(shù)，在（t, t+t）內出現(xiàn)兩個或兩個以上事件的概率為0(t)即P N(t+t) - N(t)1=0(t)2、泊松過程的分布特征泊松過程的概率分布律為：泊松分布的母函數(shù)為：對于給定的時刻s、t，且st，以及相應的N(s)、N(t)，轉移概率分布為。3、泊松分布的統(tǒng)計特征均值：方差：自相關函數(shù)：假設，有若，則有：總結起來有或：自協(xié)方差函數(shù)第七章 總結經過這學期對隨機過程的學習，我基本了解了隨機過程的含義與如何應用隨機過程建模。對于隨機過程的含義，我認為可以從兩方面來理解：一個理解，隨機過程是一組樣本函數(shù)

13、的集合；根據(jù)這個理解，可用試驗的方法研究隨機過程，通過隨機試驗觀測其各個樣本函數(shù)，觀測次數(shù)越多，所得樣本函數(shù)的數(shù)目越多，就越能掌握該隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律。另一個理解，隨機過程可看作是一簇隨時間變化的隨機變量的集合；隨機過程可視為多維隨機變量的推廣，時間分割越細，多維隨機變量的維數(shù)越大，對隨機過程的統(tǒng)計描述也就越全面，因此，概率論中多維隨機變量的理論也可作為隨機過程分析的理論基礎。如何分析一個隨機過程呢？隨機過程通過線性系統(tǒng)一般有三種分析方法，它們是微分方程法、沖激響應法和頻譜法；沖激響應法是隨機過程通過線性系統(tǒng)分析的基本方法，對于平穩(wěn)和非平穩(wěn)過程都是適用的，而頻譜法只適用于平穩(wěn)隨機過程的情況。在

14、課程的下半段，我又接觸了幾種在應用中常見的隨機過程，包括窄帶隨機過程、高斯隨機過程和泊松隨機過程，這些隨機過程廣泛的應用在通信、雷達、導航、自動控制、生物物理、系統(tǒng)工程、空間技術等多種工程科學技術中，學習這幾種隨機過程，相信以后在遇到類似的數(shù)學建模問題上就不那么手足無措了。把一組隨機變量定義為隨機過程。在研究隨機過程時人們透過表面的偶然性描述出必然的內在規(guī)律并以概率的形式來描述這些規(guī)律，從偶然中悟出必然正是這一學科的魅力所在。在課程學習中，由于問題太抽象，我有很多問題很難理解，杜貞斌老師總是能理論結合實際，形象具體地把問題展現(xiàn)在我面前，聽杜老師的講解總是有種醍醐灌頂、豁然開朗的感覺，感謝杜老師

15、的耐心指導，也感謝周圍同學在生活以及學習上對我的幫助。高效能學習的八大學習方法方法一：目 標 激 勵法 成就天才的必備素質就是遠大志向，明確目標，勤奮刻苦，持之以恒，百折不撓。作為一名學生，要想在學習的道路上一路高歌，戰(zhàn)勝各科學習困難，在考試中脫穎而出，就必須樹立遠大的理想，制定明確的學習目標和切實可行的計劃，在日常學習中勤奮苦學，孜孜不倦，持之以恒，面對學習中上的挫折，百折不撓，勇往直前，并掌握一套正確的學習方法，科學合理地安排好自己的時間，只有這樣，才能到達成功的理想彼岸。 方法二：統(tǒng)籌計劃學習法正像建造樓房先要有圖紙，打仗先要有部署一樣，成功有效的學習也必須制定好一套切實可行的計劃。所謂

16、統(tǒng)籌計劃學習法，就是學習者為達到一定的學習目標，根據(jù)主客觀條件而制訂學習步驟的一種學習方法。統(tǒng)籌計劃學習法包括四個方面：一是學習目標，二是學習內容，三是時間安排，四是保證落實的措施。只有綜合考慮這四個方面，才能訂出切實可行的規(guī)劃。同時計劃要因人而異，因事而異，并根據(jù)執(zhí)行情況，適當及時調整。方法三：興趣引導法使學習興趣化，是獲取成功的特別重要的法則。有的同學雖然很努力地學習，但是卻對學習沒有興趣。凡是這種情況，學習效率都差得很，往往是事倍功半，效率不高。所以，千萬不要只知道積極地去學，光顧著學，傻學，而要想辦法培養(yǎng)自己的興趣。只有將學習積極性轉化為學習興趣之后，你才有可能實現(xiàn)學習效率的飛躍。方法

17、四：高效率學習法 作為學生，誰能夠高效地管理時間，科學地利用時間，抓住時間的脈搏，誰就能創(chuàng)造學業(yè)的成功，成就人生的輝煌。愛時間就是愛生命，愛生命的每一部分。誰把握住時間，誰就擁有一切。時間就是生命?！耙粋€人一生只有三天：昨天、今天和明天。昨天已經過去，永不復返；今天已經和你在一起，但很快就會過去；明天就要到來，但也會消失。抓緊時間吧，一生只有三天！”現(xiàn)在是你們人生的黃金時期，也是學習知識、吸取知識最有效率的時期，你們應善于管理時間珍惜時間，不虛度年華，使生命失去原本的燦爛光彩。方法五：刨根質疑學習法 學習的過程是由一個“無疑有疑解疑無疑”不斷循環(huán)往復的過程。學須善思，思后存疑，疑后問，問后知。

18、所以，我們在日常生活和學習過程中，要善于思考，培養(yǎng)“凡事問一個為什么”的習慣。作為一個學生，我們要善于發(fā)現(xiàn)問題，敢于向權威挑戰(zhàn)，同時又要虛心求教，不恥下問，不懂的問題多問老師，向同學請教。積極參加各種有關學習的交談、討論、學習興趣小組，創(chuàng)設一個與別人交流的良好平臺，合作解決問題。方法六：筆 記 學 習法筆墨學習法又稱筆記法，是利用記筆記學習的一種方法。在日常的讀書、聽課、復習的時候，對有一定價值和意義的材料、知識點、問題迅速及時地標記出來，記下來，然后整理成筆記，這對于鞏固知識，積累材料，提高學習成績都具有十分重要的意義。方法七：全 面 預 習法打無準備的仗必輸，沒有預習的功課一定不會好。要想有一個高效的課堂學習，必須牢牢抓住課前預習這個關鍵環(huán)節(jié)。常言道：“凡事預則立，不預則廢?！薄邦A”，即準備。預習就是在教師講課之前，學生閱讀教材及相關的內容，為新課學習做好必要的知識準備。我們在預習的時候，要大體了解書本內容，思考重點，發(fā)現(xiàn)難點，注意方法，增強預習的主動性、針對性，培養(yǎng)良好的預習習慣。方法八：