2022年九級(jí)數(shù)圓的知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)大全

1、第四章：圓 一,學(xué)問回憶 圓的周長 ： C=2 r 或 C= d ,圓的面積 ： S=r 2 圓環(huán)面積運(yùn)算方法： S= R2- r2 或 S= （R2-r 2） R 是大圓半徑, r 是小圓半徑） 二,學(xué)問要點(diǎn) 一,圓的概念 集合形式的概念： 1 , 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合； 2 ,圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合； 3 ,圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合 軌跡形式的概念： 1 ,圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長為半徑的圓； 固定的端點(diǎn) O 為圓心；連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫直徑；圓上任意兩點(diǎn)之

2、間的部分叫做圓弧,簡稱弧； 2 ,垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線； 3 ,角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線； 4 ,到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線； 5 ,到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直 線； 二,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 1 ,點(diǎn)在圓內(nèi) dr點(diǎn) C 在圓內(nèi)； A B rddO 2 ,點(diǎn)在圓上 dr點(diǎn) B 在圓上； C3 ,點(diǎn)在圓外 dr點(diǎn) A 在圓外； 三,直線與圓的位置關(guān)系 1 ,直線與圓相離 dr無交點(diǎn)； 1第 1 頁,共 8 頁2 ,直線與

3、圓相切 dr有一個(gè)交點(diǎn)； rd3 ,直線與圓相交 dr有兩個(gè)交點(diǎn)； rdd=r 四,圓與圓的位置關(guān)系 外離（圖 1） 無交點(diǎn) dR r ； d外切（圖 2） 有一個(gè)交點(diǎn) dRr ； 相交（圖 3） 有兩個(gè)交點(diǎn) RrdR r ； 內(nèi)切（圖 4） 有一個(gè)交點(diǎn) dR r ； 內(nèi)含（圖 5） 無交點(diǎn) dR r ； ddR圖 1 rdRrR圖 2 rdrRr圖 3 R圖 4 圖 5 五,垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧； 推論 1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧； 2第 2 頁,共 8 頁（2 ）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧； （

4、3 ）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共 4 個(gè)定理, 簡稱 2 推 3 定理：此定理中共 5 個(gè)結(jié)論中, 只要知道其中 2 個(gè)即可推出 其它 3 個(gè)結(jié)論,即： AB 是直徑 AB CD CE DE C 弧 BC 弧 BD 弧 AC 弧 AD O A 中任意 2 個(gè)條件推出其他 3 個(gè)結(jié)論； D推論 2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等； DO 即：在 O 中, AB CD E B A CB 弧 AC 弧 BD 六,圓心角定理 頂點(diǎn)到圓心的角,叫圓心角； 圓心角定理：同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧相等,弦心距相等； 此 定理也稱 1 推 3 定

5、理,即上述四個(gè)結(jié)論中, E 只要知道其中的 1 個(gè)相等,就可以推出其它的 3 個(gè)結(jié)論, F 即： AOB DOE ； AB DE ； A O B D OC OF ； 弧 BA 弧 BD C七,圓周角定理 C頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫圓周角； 1 ,圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的 B O 角的一半； A 即： AOB 和 ACB 是弧 AB 所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB 3第 3 頁,共 8 頁2 ,圓周角定理的推論： 推論 1 ：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中, B DO CA 相等的圓周角所對(duì) 的弧是等??； 即：在 O 中,C , D 都是所

6、對(duì)的圓周角 C對(duì)的弧是半圓, CD推論 2 ：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角； 圓周角是直角所 所對(duì)的弦是直徑； B O CA 三角形是直角 即：在 O 中,AB 是直或 C 90 徑 C90 AB 是直徑 推論 3：如三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè) 三角形； C 90 B O A 即：在ABC 中,OC OA OB ABC 是直角三角形或 注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論： 在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定 理； 八,圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角； 即：在 OCD中, 四邊形 ABCD 是內(nèi)接四邊形 CBAD 1

7、80 B A E 4第 4 頁,共 8 頁B D 180 DAE C九,切線的性質(zhì)與判定定理 （1 ）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不行 即： MN OA 且 MN 過半徑 OA MO N外端 MN 是 O 的切線 （2 ）性質(zhì)定理： 切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 （如上圖） A 點(diǎn)； 推論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切 推論 2 ：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心； 以上三個(gè)定理及推論也稱二推確定理： 即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最終一個(gè)； 十,切線長定理 切線長定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,

8、 它們的切線長相等, 這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角； 即：PA , PB 是的兩條切線 P B A O PA PB PO 平BPA 分 十一,圓冪定理 （1 ）相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交,交點(diǎn)分得的兩條線段的乘 B CO D積相等； P A 5第 5 頁,共 8 頁即：在 O 中,弦 AB , CD 相交于點(diǎn) P , PA PB PC PD B A O CA 徑所成的兩條 （ 2 ）推論：假如弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直 E 線段的比例中項(xiàng)； 即：在 O 中,直徑 AB CD , DO D線,切線長是這 2CE AE BE E （ 3 ） 切割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割

9、 點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)； P CB 即：在 O 中,PA 是切線, PB 是割線 PA2PC PB （4 ） 割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相 等（如上圖）； 即：在 O 中,PB , PE 是割線 PC PB PD PE 十二,兩圓公共弦定理 A 圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這 O1 B O2 兩個(gè)圓的的公共弦； 如圖： O1O2 垂直平分 AB ； 即：O1 , O2 相交于 A, B 兩點(diǎn) O1O2 垂直平分 AB 2 CO1 2 O1O2 2 CO2 ； CA B 十三,圓的公切線 O2 O1 兩圓公切線長

10、的運(yùn)算公式： （1 ）公切線長： Rt O1O2 C 中,AB 26第 6 頁,共 8 頁（2 ）外公切線長： CO2 是半徑之差； 內(nèi)公切線長： CO2 是半徑之和 ； 十四,圓內(nèi)正多邊形的運(yùn)算 B B CA （1 ）正三角形 O 在 O 中ABC 是正三角形,有關(guān)運(yùn)算Rt BOD 中進(jìn)行： D在 OD : BD : OB 1: 3 : 2 ； C（2 ）正四邊形 O DA 同 理 , 四 邊 形 的 有 關(guān) 計(jì) 算 在 Rt OAE 中 進(jìn) 行 , E OE : AE : OA 1:1: 2 ： （3 ）正六邊形 同 理 , 六 邊 形 的 有 關(guān) 計(jì) 算 在 Rt OAB 中 進(jìn) 行 , A O A AB : OB : OA 1: 3 : 2 . B 十五,扇形,圓柱和圓錐的相關(guān)運(yùn)算公式 1 ,扇形：（ 1 ）弧長公式： lnR； O S B lD1 180 （ 2）扇形面積公式： S n R 2 360 1 2lR n ：圓心角 R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 l ：扇形弧長 S：扇形面積