用各向同性材料實(shí)現(xiàn)寬帶聲波功能器件設(shè)計(jì)

1、用各向同性材料實(shí)現(xiàn)寬帶聲波功能器件設(shè)計(jì)論文導(dǎo)讀:：利用坐標(biāo)變換的方法并結(jié)合保角映射技術(shù)，本文介紹了一種利用常規(guī)的各向同性材料來設(shè)計(jì)聲波器件的方法?；诖死碚?，設(shè)計(jì)了二維聲波隱身斗篷，并進(jìn)行有限元模擬，證明了該器件的有效性，另外由于設(shè)計(jì)中沒有利用材料共振的性質(zhì)，所以器件是寬帶有效的。該方法將有助于拓寬聲波功能器件的設(shè)計(jì)，并為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證聲波器件提供了可能。論文關(guān)鍵詞：保角坐標(biāo)變換方法，聲波器件設(shè)計(jì)，隱身斗篷0 引言聲波傳播和散射問題的深入研究是一個(gè)有趣的科學(xué)命題，蘊(yùn)含著重要的應(yīng)用背景。但是鑒于數(shù)學(xué)描述的復(fù)雜性，人們對(duì)于聲波傳播的認(rèn)知還主要集中于均質(zhì)和各向同性介質(zhì)中。對(duì)于非均質(zhì)、各向異性介質(zhì)中波傳播的

2、特性，人們認(rèn)知還比擬少。不過真實(shí)世界中的介質(zhì)往往是非均勻且各向異性的。在這樣的條件下波的傳播問題更加復(fù)雜，但也更加精彩隱身斗篷，因此值得深入的探討。如果說給定材料和幾何邊界的情況下去求解波場分布情況是一個(gè)正問題，那么根據(jù)給定外界波場反推材料屬性和相關(guān)的幾何邊界情況就是一個(gè)波的反問題中國知網(wǎng)論文數(shù)據(jù)庫。正問題的研究已經(jīng)十分困難，反問題的研究那么更具有挑戰(zhàn)性，但這樣的研究卻是很有意義的，因?yàn)樗鉀Q的其實(shí)是一個(gè)波的控制問題。本文中聲波器件實(shí)際上就是一些經(jīng)過精細(xì)設(shè)計(jì)的特殊波導(dǎo)結(jié)構(gòu)；在結(jié)構(gòu)外形和材料分布的控制下，以到達(dá)改變波的傳播特性的目的。與傳統(tǒng)的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)相比，它具有許多新的特點(diǎn)，對(duì)于波場的控制有了極

3、大的靈活性，應(yīng)用前景廣泛。當(dāng)前許多研究領(lǐng)域，都對(duì)電磁波和聲波的控制問題給予了很高的重視，也取得了很大的進(jìn)展隱身斗篷，追根溯源，除去新材料的開展，可以不夸張的說，一個(gè)很重要的原因在于所謂的坐標(biāo)變換方法的運(yùn)用。該方法由Pendry和Leonhardt 最先提出，本文的設(shè)計(jì)也是基于此方法，再進(jìn)行改良后得到的。針對(duì)電磁波的控制問題，Pendry等人提出的坐標(biāo)變換方法的核心思想是利用Maxwell方程組在坐標(biāo)變換下的形式不變性進(jìn)行材料設(shè)計(jì)，近年來得到了許多有趣的電磁波控制器件，如電磁波平面透鏡、彎波器、以及隱身斗篷等，其中一些器件逐漸被隨后的實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證。實(shí)際上該方法并不僅僅限于電磁波，把它用于聲波控制的

4、研究也得到了越來越多的重視【5】隱身斗篷，這一研究分支被稱為變換聲學(xué)。但是根據(jù)目前的大多數(shù)變換聲學(xué)方法所設(shè)計(jì)出聲波器件都具有很強(qiáng)的各向異性的性質(zhì)【6】，例如要求動(dòng)態(tài)質(zhì)量密度為二階張量形式等。為了到達(dá)這種要求往往需要在局部共振意義上進(jìn)行動(dòng)力學(xué)等效處理，這樣不但使設(shè)計(jì)很難在工程中實(shí)現(xiàn)，而且也會(huì)受到工作帶寬的限制。針對(duì)這樣的問題，本文將介紹一種利用保角變換的方法來加以改良的思路，使最終的設(shè)計(jì)僅用通常的各向同性工程材料就可以實(shí)現(xiàn)，而且整個(gè)設(shè)計(jì)過程中沒有局部共振的要求，從而可以實(shí)現(xiàn)寬帶效果。1 保角坐標(biāo)變換方法下面首先給出此問題的公式推導(dǎo)【7】。不同于已有理論，在公式推導(dǎo)中，沒有假設(shè)材料參數(shù)為二階張量形

5、式，即認(rèn)為所有材料參數(shù)仍保持為標(biāo)量。標(biāo)量形式的聲波的控制方程為：(1)式中是聲波壓力, 為聲介質(zhì)密度, 為聲介質(zhì)體積模量中國知網(wǎng)論文數(shù)據(jù)庫。對(duì)于任意給定的坐標(biāo)變換隱身斗篷，將原空間的坐標(biāo)映射到像空間中，同時(shí)要求，可以證明方程(1)的左邊將變成：，(2)式中。在保角變換時(shí)，由于雅可比矩陣可以表示為，其中是一個(gè)正的標(biāo)量，而 是一個(gè)正交矩陣。再將代入方程(2)，得到。因此方程(1)可以表示為：，(3)式中 , 與分別是和的標(biāo)量縮放因子。進(jìn)一步考慮阻抗匹配的條件：(4)并要求公式(1)與(3)具有相同的表達(dá)形式，就可以得到最終器件設(shè)計(jì)所需的材料參數(shù)：，(5)這樣得到的器件完全可以通過使用通常的各向同性

6、材料實(shí)現(xiàn)隱身斗篷，從而使得到的聲學(xué)器件更加便于工程實(shí)現(xiàn)。2 聲波隱身斗篷實(shí)現(xiàn)利用上節(jié)的理論公式，本節(jié)希望進(jìn)行聲學(xué)器件的設(shè)計(jì)。其中最具代表性的應(yīng)該是隱身斗篷。它可以看作是目前電磁波隱身斗篷在聲波領(lǐng)域的一個(gè)拓展。本文所給出的例子在文獻(xiàn)中曾被討論過，其根本思路如圖1所示：黃色梯形區(qū)域代表隱身區(qū)域，當(dāng)入射波從左側(cè)入射的時(shí)候，由于外部隱身器件顯示為灰色的區(qū)域的作用，導(dǎo)致聲波發(fā)生彎曲。根據(jù)精細(xì)設(shè)計(jì)的隱身斗篷會(huì)改變聲波的傳播路徑，使其光滑地繞過隱身區(qū)域，之后在其前方又恢復(fù)成原來的路徑，同時(shí)聲波不會(huì)在隱身區(qū)域的前方發(fā)生反射。這樣無論在隱身區(qū)域前方或者是前方進(jìn)行聲波探測(cè)，其所得的波場與隱身區(qū)域不存在時(shí)探測(cè)的情況

7、將是一樣的，從而最終實(shí)現(xiàn)了對(duì)區(qū)域隱身的目的。遺憾的是隱身斗篷，由于Pendry所用方法的限制，如前面所說，其所需材料要具有較強(qiáng)的各向異性的性質(zhì)，這給工程實(shí)現(xiàn)帶來了很多困難。圖1 隱身斗篷示意圖Fig.1 Scheme of the tunnel cloak為了說明本文方法的有效性，本文重新設(shè)計(jì)了該種隱身斗篷中國知網(wǎng)論文數(shù)據(jù)庫。首先需要構(gòu)造恰當(dāng)?shù)谋＝亲儞Q，這里采用的是Schwarz-Christoffel (S-C)變換。S-C變換是復(fù)變分析中常見的用于產(chǎn)生保角變換的方法，根本思路可以參見文獻(xiàn)。這里我們將圖2(a)映射到圖2(b)，即將半平面映射為在線段和射線, 上的半平面。圖2 利用S-C變換

8、得到變換關(guān)系Fig.2Construction of the transformation這樣可以直接得到映射方程：,式中(6)從圖2(b)不難發(fā)現(xiàn)，只要在此根底上將其沿軸作鏡像復(fù)制就可以得到最終的隱身斗篷。在斗篷的外部形式之后，通過公式(5)和(6)，不難進(jìn)一步得到其中材料分布的情況隱身斗篷，如圖3所示。其中圖3(a)為密度縮放因子，圖3(b)為體積模量因子。圖3 隱身斗篷內(nèi)的材料分布情況Fig.3 Distributionprofile of the material parameters (a) mass density and (b) bulk modulus為了進(jìn)一步說明所提出的方法

9、的有效性，本文還利用大型商用有限元軟件Abaqus對(duì)設(shè)計(jì)得到的隱身斗篷進(jìn)行了數(shù)值模擬。圖4給出了有隱身斗篷與沒有隱身斗篷的情況下的聲壓場分布情況，入射波為平面壓力波，入射波頻率。圖中虛線給出了斗篷的外邊界。從比照的情況不難看出，在4(b)有隱身斗篷的時(shí)候，聲波傳播的路徑按照預(yù)期發(fā)生了彎曲，之后又恢復(fù)了其原有的路徑；當(dāng)4(a)沒有隱身斗篷時(shí)，入射聲波與內(nèi)部邊界發(fā)生了明顯的散射，外場呈現(xiàn)無規(guī)律的分布。在這種情況下，可以說位于梯形隱身區(qū)域內(nèi)部的任何物體對(duì)于聲壓場是沒有影響的。從另一個(gè)角度講隱身斗篷，位于隱身區(qū)域的物體對(duì)于外界觀察者來說似乎并不存在一樣，到達(dá)了預(yù)期的隱身效果。這說明本文中所給出的方法是

10、切實(shí)有效的中國知網(wǎng)論文數(shù)據(jù)庫。圖4 波場分布情況比照Fig.4The pressure fields (a)without cloak and (b) with cloak at由于本設(shè)計(jì)方法沒有利用材料的局部共振性質(zhì)，所以自然回避了共振隱身斗篷帶寬過窄的缺點(diǎn)。當(dāng)入射波頻率為時(shí)，從圖5不難發(fā)現(xiàn)該斗篷的隱身效果依然比擬好。圖5波場分布情況比照Fig.5 The pressure fields (a) without cloak and(b) with cloak at3 結(jié)論本文利用保角變換的方法，給出了設(shè)計(jì)各向同性聲波器件的思路，并首次設(shè)計(jì)了楔形的聲學(xué)隱身斗篷。通過有限元模擬，說明該方法設(shè)計(jì)的

11、隱身斗篷是有效的。另外由于本方法回避了局部共振材料的使用，使得設(shè)計(jì)的器件具有寬帶的性質(zhì)。該方法雖然目前限于研究彈性波中較簡單的聲波問題，但其思路對(duì)于探討固體波器件是有借鑒價(jià)值的。固體波斗篷和其它器件設(shè)計(jì)中保角變換的應(yīng)用是我們下一步工作研究的重點(diǎn)，作者相信利用保角變換降低器件設(shè)計(jì)中對(duì)材料各向異性的要求是很有前景的。參考文獻(xiàn)【1】Pendry J B, Schurig D, Smith D R. Controlling electromagnetic fields . Science, 2006, 312: 17801782.【2】Leonhardt U. Optical conformal ma

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