效用理論在保險(xiǎn)決策中的應(yīng)用

1、效用理論在保險(xiǎn)決策中的應(yīng)用論文導(dǎo)讀：設(shè)決策者的效用函數(shù)為。還需要建立風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的數(shù)學(xué)模型.為了解決這個(gè)問題。在風(fēng)險(xiǎn)中性型情況下的保險(xiǎn)決策。效用理論用于確定最優(yōu)投保方式在保險(xiǎn)中。最優(yōu)投保，效用理論在保險(xiǎn)決策中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：效用函數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，保險(xiǎn)決策，最優(yōu)投保1.效應(yīng)理論與保險(xiǎn)定價(jià)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)決策過程進(jìn)行科學(xué)的模型化的描述，僅有直觀分析是不夠的，還需要建立風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的數(shù)學(xué)模型.為了解決這個(gè)問題，決策理論采用決策者的效用函數(shù)的數(shù)學(xué)特征來描述其風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，設(shè)決策者的效用函數(shù)為，取值于實(shí)軸上的區(qū)間越大，越小，投保的效用也就越小，當(dāng)高到使等號(hào)成立時(shí)，保與不保都無所謂了，財(cái)產(chǎn)擁有人愿意接受的最高保費(fèi)是使得上式等號(hào)成

2、立時(shí)的臨界值.其次，再從保險(xiǎn)人的角度考慮.假設(shè)起初擁有的財(cái)富為，效用函數(shù)為，假設(shè)要承保，那么可以在保險(xiǎn)人原來的財(cái)富的根底上增加一筆保費(fèi)收入，但得替被保險(xiǎn)人承當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)，其財(cái)富變成了，保險(xiǎn)人應(yīng)該收取多少保費(fèi)去承保財(cái)產(chǎn)擁有人的風(fēng)險(xiǎn)呢?類似地，對(duì)保險(xiǎn)人來說是越高越好，而且承保的期望效用至少要高于不承保的效用，那么對(duì)保險(xiǎn)人合理;的承保保費(fèi)G應(yīng)滿足效用不等式.式的右邊是固定的常數(shù)；上式的左邊當(dāng)G越小，要承保的效用也就越小，當(dāng)小到使等號(hào)成立時(shí)，承保已無任何吸引力，所以保險(xiǎn)人愿意接受的最低保費(fèi)是使得(2)式等號(hào)成立時(shí)的臨界值.因此，臨界保費(fèi)是使得是使3和4式的結(jié)果與保險(xiǎn)實(shí)踐中是相一致的【3】.假設(shè)投保人與保險(xiǎn)人

3、之間要能形成保險(xiǎn)協(xié)議，應(yīng)滿足：條件1 由于被保險(xiǎn)人比保險(xiǎn)人更厭惡風(fēng)險(xiǎn)，故有；條件2 由jensen不等式，有，.因此，由條件1可知，只有當(dāng)投保人愿意付出的最高保費(fèi)大于保險(xiǎn)人愿意接受的最低保費(fèi)時(shí)，一份保險(xiǎn)合同才能夠在介于和之間的價(jià)格成交，這樣的價(jià)格才是互利的，因而是合理的;.同時(shí)由條件2可知， ，所以只有當(dāng)時(shí)，承保雙方才能互相滿意，從而達(dá)成協(xié)議，保單生效.稱區(qū)域 為可行價(jià)格區(qū)域，成交價(jià)靠近哪個(gè)端點(diǎn)由其他市場(chǎng)因素如競(jìng)爭(zhēng)因素決定【4】.我們根據(jù)不同的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和不同的損失分布函數(shù)，做以下三種分析.2.在風(fēng)險(xiǎn)中性型情況下的保險(xiǎn)決策假設(shè)設(shè)決策者的效用函數(shù)為直線，理賠的概率分布服從，試分析臨界保費(fèi)和.那么：

4、對(duì)被保險(xiǎn)人來說，.由(3)式，即,有.故有對(duì)保險(xiǎn)人來說，.由(4)式，即可知.故有該例說明對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度中立的決策者來說，臨界保費(fèi)即是純保費(fèi)，但這只是一種理想的情況，多數(shù)決策者都是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，下面我們?cè)俜治鲈陲L(fēng)險(xiǎn)厭惡型的情況下的保險(xiǎn)決策.3在風(fēng)險(xiǎn)厭惡型情況下的保險(xiǎn)決策下面我們分四種情況進(jìn)行討論：(1)假設(shè)設(shè)被保險(xiǎn)人的效用函數(shù)為二次函數(shù)： ，.標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)的概率分布且服從，為簡(jiǎn)化計(jì)算假設(shè)=0.試分析保險(xiǎn)人的保費(fèi).那么：由=0，知有效用的函數(shù)的定義域可知：損失X的效用函數(shù)可以域?yàn)椋?進(jìn)而可以推進(jìn)：，所以以上的解為：，由于，所以是不合理的解(保費(fèi)超過了最大承保損失).綜上所述的保費(fèi)解為：(2)假設(shè)設(shè)被保險(xiǎn)

5、人的效用函數(shù)是指數(shù)型的函數(shù)：，其財(cái)產(chǎn)為，風(fēng)險(xiǎn)服從二項(xiàng)分布：.他愿意支付的最高保費(fèi)：那么：.其中是損失的矩母函數(shù).令兩式相等，得出，得，其中， 因而有：類似的還可以分別從投保人和保險(xiǎn)人的角度討論對(duì)數(shù)效用函數(shù)，冪效用函數(shù)等其他常見效用函數(shù)所對(duì)應(yīng)的情況.(3)假設(shè)決策者的效用函數(shù)是對(duì)數(shù)型的所面臨的損失服從上的均勻分布，試確定他愿意付出的最大保費(fèi).那么：由(3)式，且，有：，得出：(4)假設(shè)被保險(xiǎn)人的效用函數(shù)是冪函數(shù)的即，其財(cái)產(chǎn)為，風(fēng)險(xiǎn)服從如下的分布律：，他愿意支付的最高保費(fèi)：那么：，由，有得出：4. 在風(fēng)險(xiǎn)喜好型情況下的保險(xiǎn)決策對(duì)于多數(shù)被保險(xiǎn)人和保險(xiǎn)人都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的，因此風(fēng)險(xiǎn)喜好型在這里我們就不做

6、討論.因此，只有被保險(xiǎn)人愿意付出的最高保費(fèi)大于保險(xiǎn)人愿意接受的最低保費(fèi)時(shí)，保險(xiǎn)合同才可能在介于和之間的價(jià)位成交，這樣的價(jià)格才是可能接受的和互利的，因而是合理;的，下列圖1直接地說明了臨界保費(fèi)、與純保費(fèi)以及實(shí)際成交價(jià)之間的關(guān)系.圖1 純保費(fèi)、臨界保費(fèi)和實(shí)際保費(fèi)5 . 最優(yōu)保險(xiǎn)效用理論用于確定最優(yōu)投保方式在保險(xiǎn)中，一個(gè)面臨某種風(fēng)險(xiǎn)的顧客是否愿投保，保險(xiǎn)人是否愿意承保此風(fēng)險(xiǎn)，這與風(fēng)險(xiǎn)的性質(zhì)，保費(fèi)的多少及保險(xiǎn)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度有關(guān).如果投保人認(rèn)為有必要對(duì)他所面臨的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行投保，那么他應(yīng)該采取怎樣的投保形式，在不同的投保形式下，那么他應(yīng)該選擇的是足額投保還是非足額投保?下面用效用理論簡(jiǎn)要分析這個(gè)實(shí)際問題.(

7、1)如果投保人支付的保險(xiǎn)費(fèi)以的形式給出，其中為投保比例，那么當(dāng)損失為時(shí)，可得補(bǔ)償為，此時(shí)他的期望效用為：此時(shí)的決策問題為：為何值時(shí)，期望效用值最大.當(dāng)，時(shí)，有極大值即最大值.考慮到一般的投保人都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，其效用函數(shù)滿足，所以恒成立.因此該決策問題可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：為何值時(shí)，.當(dāng)時(shí)，即足額投保，有：通常情況下，(是純保費(fèi))，那么，因此以該足額投保并非最優(yōu).(2)如果保險(xiǎn)費(fèi)以的形式給出，其中是保險(xiǎn)人在預(yù)期賠款上增加的固定費(fèi)用，以支付保險(xiǎn)人的開支，投保人的期望效用為：當(dāng)時(shí)，即足額投保，有又由于恒成立，因此該足額投保是最優(yōu)的.此時(shí)，只有當(dāng)，即時(shí)，投保人才愿投保.如果很大，投保人寧愿放棄保險(xiǎn)，否那么，他將足額投保，這與實(shí)際情況是一致的.參考文獻(xiàn)【1】(荷)卡爾斯(Kaas,R.) .?現(xiàn)代精算風(fēng)險(xiǎn)理論?，科學(xué)出版社，5-6.【2】陳焱.效用理論在保險(xiǎn)中的應(yīng)用，西南林學(xué)院根底部數(shù)學(xué)教研，9(12) .【3】謝志剛.效用分析與保險(xiǎn)定價(jià)決策研究,財(cái)經(jīng)研究，1997，(8)：27 3l.【4】Chen R D，Song Y S，Zhou H YConvergencetheorems for implicit iteration process for a fini