萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)

1、合肥一六八中學(xué) 研究性學(xué)習(xí)報(bào)告課程開題報(bào)告組長(zhǎng)：劉蒙蒙組員:王弘毅、陸宇婷 指導(dǎo)老師:胡余盛康德曾經(jīng)說過：能充實(shí)心靈的東西，乃就是閃爍著星星的蒼穹，以及我內(nèi)心的 道德律。浩渺的宇宙以其深邃與及夢(mèng)幻般的色彩，吸引我們?nèi)藖硖接懰?，以及?背后的定理：萬有引力由于本學(xué)期物理，萬有引力就是一大重點(diǎn)，這一項(xiàng)活動(dòng)也實(shí) 際上也就是對(duì)課本知識(shí)的鞏固與提高。同時(shí)，為了做好這份工作，我們還涉獵了許 多課本所沒有的東西，只為集百家之言，出全新觀點(diǎn)。- 劉蒙蒙、王弘毅、陸宇婷萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)如今,在距離地球數(shù)百公里以外，無數(shù)個(gè)人造衛(wèi)星在以不同周期繞地球飛翔 月亮已不再就是遙不可及的虛幻；距離地球數(shù)憶光年的星系已被

2、哈勃望遠(yuǎn)鏡盡 收眼底，但這一切的起源，都要?dú)w因于數(shù)學(xué)、物理的發(fā)展，歸因于五個(gè)世紀(jì)前開始 的探索。引力的歷史在哥白尼之前，宇宙的中心一直被認(rèn)為就是地球，就是為托勒密的地心說，這只就是由于人們的主觀觀察所得出的結(jié)論，直到哥白尼 大膽提出日心說，1609年，開普勒揭示了地球與諸行星都在 橢圓軌道上繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，發(fā)展 了哥白尼的日心說， 同年，伽利略.伽利雷則率先用望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)天空，用大量觀測(cè)事實(shí)證實(shí)了日心說的正確 性。雖然后來也被證明就是片面的，太陽(yáng)，以及其所繞行的銀河系都就 是再平凡不過了，但它卻為認(rèn)知的進(jìn)步起到關(guān)鍵作用。第谷布拉赫經(jīng)過長(zhǎng)期的觀測(cè)，于1627年由其助手開普勒出版魯?shù)婪蛱煳谋?，其精確度之

3、高就是同時(shí)代人所無法企及的，就是近 代天文學(xué)的奠基人；開普勒在其基礎(chǔ)上，大膽嘗試各類宇宙模型，竟無 一符合，直至她創(chuàng)造性的提出橢圓軌道，這一嘗試吻合第谷的觀測(cè)，后 來又相繼提出兩個(gè)定理，開普勒三大定理，應(yīng)運(yùn)而生：一.軌道定理：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)。太陽(yáng)的 位置不在軌道中心，而在軌道的兩個(gè)焦點(diǎn)之一。二.面積定律：在同樣的時(shí)間里，行星向徑在其軌道平面上所掃過的 面積相等。三.周期定理：行星公轉(zhuǎn)周期的平方與公轉(zhuǎn)軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比。揭示了行星運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在關(guān)系，開普勒被后世學(xué)者尊稱為“天空立 法者”她的工作也為另一位科學(xué)家奠基：艾薩克牛頓。,數(shù)學(xué)家，她在伽利略等前人的基牛頓就是一位

4、多產(chǎn)的物理學(xué)家礎(chǔ)上提出物體運(yùn)動(dòng)的三大定理， 以微積分為工具，建立起一個(gè)井然有序的世界，被譽(yù)為“近代物理學(xué)之父”。循著牛頓的思路，并將之簡(jiǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)對(duì)萬有引力 定律進(jìn)行推導(dǎo)與檢驗(yàn)近似為圓周運(yùn)動(dòng)時(shí):F=mr(o23 =2 兀 /TF=4 兀 2mr/T2由開普勒第三定理：T2=ka3(近似為r)F0c m/r2由牛頓第三定理F=-FF=GMm/2(G 為常量)如果重力與星體間的引力就是同一性質(zhì)的力，都與距離的二次方 成正比關(guān)系，那么月球繞地球做近似圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度就應(yīng)該就 是地面重力加速度的1/3600,因?yàn)樵滦牡降匦牡木嚯x就是地球半徑的 60倍。由萬有引力提供向心力：a=GM/r2=g

5、R2/r 2=2、73X 10八(-3)m/s 2實(shí)際向心力a=4兀2r/T2=2、74X 10八(-3)m/s 2在誤差范圍之內(nèi)。牛頓在實(shí)際證明中遵循事實(shí)，根據(jù)開普勒第三定律、從離心定律 演化出的向心力定律及數(shù)學(xué)上微積分概念，才用幾何法證明橢圓軌道 上也滿足引力平方反比關(guān)系。1843年亞當(dāng)斯通過計(jì)算得出天王星外還有一顆行星的軌跡 ，后來 人們果然在那里找到了第八顆行星，成了物理學(xué)史上人們津津樂道的 成就。但就是，牛頓的公式中，G值到底就是多少一直無法知曉，直到卡 文迪許的扭秤實(shí)驗(yàn)，精確地得出G=6 7X10A-11N - mA2/kgA2o卡文迪許，英國(guó)物理學(xué)家、化學(xué)家，她性格孤僻，生前在物

6、理學(xué)方 面發(fā)表論文極少，以致人們不清楚她做該實(shí)驗(yàn)的時(shí)間?？ㄎ牡显S用一個(gè)大質(zhì)量加皿的鐵球與一個(gè)質(zhì)量小的鐵球分別放在扭秤的兩端。扭秤中.間用一根韌性很好的鋼絲系出I儂一 在支架上，鋼絲上有個(gè)小鏡子 用一道平行光照射鏡子，光點(diǎn)反射到一個(gè)很遠(yuǎn)的地方，標(biāo)記下此時(shí)光點(diǎn)所在位置。用兩個(gè)質(zhì)量一樣的鐵球同時(shí)分別吸引扭秤上的兩個(gè)鐵球。由于萬有引力作用。扭秤微微偏轉(zhuǎn)。但光源所反射的遠(yuǎn)點(diǎn)卻移動(dòng)了較大的距 離。她用此計(jì)算出了萬有引力公式中的常數(shù) G。此實(shí)驗(yàn)巧妙之處在于將微弱的力的 作用進(jìn)行放大，尤其就是光 的反射，扭秤實(shí)驗(yàn)此后被頻繁借鑒，開創(chuàng)了弱力測(cè)量的新時(shí)代。F=GMm/r 2一直被奉為真理，只就是水星的近日點(diǎn)每世紀(jì)

7、要比牛頓力學(xué)多43弧秒,困擾了一代代人們。的直到20世紀(jì)初，一位名叫愛 因斯坦的人用她的理論解釋了這一現(xiàn)象，也揭示了引力的本質(zhì)，即時(shí)空 彎曲。廣義相對(duì)論認(rèn)為，在具有質(zhì)量的物體周圍的空間中，時(shí)間變慢， 空間就是“彎曲”的。1907年,愛因斯坦提出了其“一生中最幸福的想法G，=月岬5mA = f%在自由下落過程中，人感覺不到引力，并以此為基礎(chǔ)，于 19151916 年發(fā)表了描述時(shí)間、空間與萬有引力關(guān)系的理論一一廣 義相對(duì)論。顛覆了牛頓的經(jīng)典力學(xué)（牛頓的萬有引力公式只就是宏觀 物體低速運(yùn)動(dòng)時(shí)的近似定理）。盡管現(xiàn)實(shí)生活幾乎不存在光速級(jí)別的 運(yùn)動(dòng),但它解釋了近現(xiàn)代物理學(xué)許多牛頓力學(xué)無法解釋的現(xiàn)象也為現(xiàn)

8、代物理學(xué)發(fā)展鋪平了道路（右圖為愛因斯坦場(chǎng)方程）。我們假設(shè)在宇宙空 間中，有個(gè)穿過地球與蘋 果的二維平面，且該平面 由于兩者存在質(zhì)量而發(fā) 生凹陷。于就是，兩者周 圍的平面變得彎曲，出現(xiàn) 了一個(gè)斜面，該斜面的傾 斜相當(dāng)于三維空間的彎曲。由于地球的質(zhì)量遠(yuǎn)大于蘋果 ，實(shí)際上地球 并沒有移動(dòng)，只有蘋果向地球移動(dòng)，才有蘋果掉落地面的現(xiàn)象限于知識(shí)水平，我們只能討論牛頓的萬有引力定律，G=Mm/r2 推論一、密度均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體萬有引力為0、如右圖，質(zhì)點(diǎn)在均勻球殼內(nèi)，取球殼上 很小一個(gè)圓弧面，則該圓弧面可視為平面，質(zhì)量為4 m?=；tr2p ,引力為F?=GM兀r2 p/x2(x質(zhì)點(diǎn)到圓弧面的距離),則該

9、圓弧面以質(zhì)點(diǎn)為中心在球的另一側(cè)的投影 m?=兀 p (2R-x)r/x 2,引力 F?=GM 兀 p (2R-x)r/x 2/(2R-x) 2=GM 兀 r2 P /x2=F?方向相反，合力為零故質(zhì)點(diǎn)所受球殼引力為零推論二、在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處，質(zhì)點(diǎn)受到的萬有引力等于半徑為r的球體的引力由推論一知，質(zhì)點(diǎn)所處球殼以外的體積對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力為零，即證。假設(shè)地球上有個(gè)隧道貫穿地球，在不考慮阻力與地球自轉(zhuǎn)的情況下,拋出一個(gè)物體，那么它的運(yùn)動(dòng)周期就是多少呢？事實(shí)上靠近地面的衛(wèi)星繞行周期；在引力場(chǎng)強(qiáng)g=9、8N/kg的均勻引力場(chǎng)中，擺長(zhǎng)為地球半徑的單擺 運(yùn)動(dòng)周期；在實(shí)際地球引力場(chǎng)中，擺長(zhǎng)為無限長(zhǎng)的單擺運(yùn)動(dòng)

10、周期以上運(yùn)動(dòng)周期都就是相等的，大約就是84分鐘，在此不做證明。宇宙速度第一宇宙速度：從地球表面向宇宙空間發(fā)射人造地球衛(wèi)星、行星 6.7 km/ s際與恒星際飛行器所需的最低速度7、9km/s,物體只有達(dá)到這修“個(gè)速度才能不落回地面。d=7.9 km/)v7,9V=squ(Rg)=7、9km/s第二宇宙速度：航天器脫離地球引力場(chǎng)所需的最低速度11、2km/s,小于該速度而大于7、9km/s的物 體無法擺脫地球引力的束縛。推導(dǎo):物體在地球引力下移動(dòng) dx m,則dW=GMm/x 2 dx,兩邊同時(shí)積分彳導(dǎo)W=GMm/r所以距地心為的物體有引力勢(shì)能E=-GMm/r,設(shè)航天器在無窮遠(yuǎn)處動(dòng)能為0,由機(jī)械

11、能守恒，知mv2/2=GMm/R,即 v=squ(2gR)=11、2km/s、第三宇宙速度：克服地球與太陽(yáng)引力所需最小速度16、7km/s,推導(dǎo)過程類似于第二宇宙速度推導(dǎo)。北極南極與重力的關(guān)系由于地球自轉(zhuǎn)的存在，重力其實(shí)只就是萬有引力的分 力，在赤道上，重力達(dá)到最小為9、78m/s,兩極最大，為9、83m/s。應(yīng)用萬有引力公式的變形，我 們可以得到一些計(jì)算公式：P =3 兀 r?2/4T2r?2=3g/4兀gr?（r洶衛(wèi)星軌道半徑,r洶中心天體半徑）M=4兀 2R3/GT2（R為衛(wèi)星軌道半徑）結(jié)合上文推出的萬有引力勢(shì)能，即可解決簡(jiǎn)單的萬有引力問題。例如，從地球表面與豎直方向上成口角的方向發(fā)射一

12、質(zhì)量為m的導(dǎo)彈，初速度v=squ（GM/R）,M為地球質(zhì)量,R為地球半徑，忽略空氣阻力與地球自轉(zhuǎn)的影響，求導(dǎo)彈上升最大高度。易求得最大高度 H=Rcos%,類似的問題不勝枚舉。天體運(yùn)動(dòng)星系1924年美國(guó)天文學(xué)家埃德溫哈勃根據(jù)形態(tài)將星系分成4類,被稱為“哈勃音叉圖”，后來又略有補(bǔ)充。理 論 上 認(rèn) 為銀行系中心有一質(zhì)量超大的黑洞，質(zhì)量約為太陽(yáng)400萬倍，銀河系的質(zhì)量相當(dāng)于1000億倍太陽(yáng)的質(zhì)量，（為1、988X 10八41kg）,正就是由于萬有引力的緣故，才使分散的恒星聚在一起。恒星 恒星誕生于以氫為主，并且有氨與微量其她重元素的云氣坍 縮。一旦核心有足夠的密度，有些氫就可以經(jīng)由核聚變轉(zhuǎn)換成氨。

13、恒 星內(nèi)部多余的能量經(jīng)過輻射與對(duì)流組合的攜帶作用傳輸出來。恒星內(nèi)部的壓力則阻止了恒星在自身引力下的崩潰。 一旦在核心的氫燃料耗 盡，質(zhì)量不少于0、5太陽(yáng)質(zhì)量的恒星，將膨脹成為紅巨星，在某些情況 下更重的化學(xué)元素會(huì)在核心或包圍著核心的幾層燃燒。 這樣的恒星將 發(fā)展進(jìn)入簡(jiǎn)并狀態(tài)，部分 被回收進(jìn)入星際空間環(huán) 境的物質(zhì)，將使下一代恒 星誕生時(shí)重元素的比例 增加。大部分恒星就是成群結(jié)隊(duì)的，組成星團(tuán)，也有獨(dú)來獨(dú)往的，例如太 陽(yáng)就就是。有的恒星結(jié)伴而行，稱為雙星，一般就是質(zhì)量相近的兩顆恒星組成的1844年,德國(guó)天文學(xué)家貝塞爾根據(jù)它的移動(dòng)路徑出現(xiàn)的波浪圖形推斷天狼星就是一顆雙星，因?yàn)樵撔窃诟浇臻g中沿一條呈波

14、形的軌跡運(yùn)動(dòng)。天狼星及其伴星都在偏心率頗大的軌道上互相繞轉(zhuǎn)，繞轉(zhuǎn)的 周期就是49、9年，平均距離約為日地距離的20倍。盡管亮星光芒四射，用大望遠(yuǎn)鏡還就是不難瞧到那顆 7等的伴星。伴星的質(zhì)量與太陽(yáng)差不多，它的半徑卻只有太陽(yáng)的1/50,密度則比太陽(yáng)大得多，平均密度為30 kg/立方厘米，就是第一顆被發(fā)現(xiàn)的白矮星。通過計(jì)算，我們不難得出一些簡(jiǎn)單的結(jié)論(簡(jiǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)):雙星的軌道半徑之比n?m?F=Gmm/L 2=mw2r ?=n？2r ?所以 r?r ?=n?m?1:1L就是雙星距離，所以n?軌道半徑r?=Ln?(m ?+n?),r ?=Lm/(m?+m) (2)雙星的周期、角速度之比兩者轉(zhuǎn)速相同

15、mW2r?=Grmm7L2算出w就就是雙星的角速度雙星的線速度之比v?=wr?v?=wr?v?v ?=r?r彗星彗星,就是進(jìn)入太陽(yáng)系內(nèi)亮度與形狀會(huì)隨日距變化而變化的繞日運(yùn)動(dòng)的天體，呈云霧狀 的獨(dú)特外貌。彗星分為彗 核、彗發(fā)、彗尾三部分。彗 核由冰物質(zhì)構(gòu)成，當(dāng)彗星接近恒星時(shí)，彗星物質(zhì)升華，在冰核周圍形成朦朧的彗發(fā)與一條稀薄物質(zhì) 流構(gòu)成的彗尾。由于太陽(yáng)風(fēng)的壓力，彗尾總就是指向背離太陽(yáng)的方向 形成一條很長(zhǎng)的彗尾。彗尾一般長(zhǎng)幾千萬千米，最長(zhǎng)可達(dá)幾億千米。 彗星的形狀像掃帚，所以俗稱掃帚星。彗星的運(yùn)行軌道多為拋物線或 雙曲線，少數(shù)為橢圓。目前人們已發(fā)現(xiàn)繞太陽(yáng)運(yùn)行的彗星有1600多顆。最負(fù)盛名的彗星就是哈雷彗星，由英國(guó)天文學(xué)家哈雷首先認(rèn)識(shí)到 就是同一顆彗星的回歸，她的再次回歸要等到2061年左右。萬有引力的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用，就是人類科技的一大進(jìn)步與發(fā)展，它為我 們揭示了浩瀚天空背后的奧秘，以及天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，也人類更加深入 地認(rèn)識(shí)到自己在宇宙中的地位，啟發(fā)人們?nèi)ヌ剿鞲鼜V袤的宇宙空間。*部分摘自百度百科、科學(xué)世界雜志、NASA官網(wǎng)等?？偨Y(jié)與反思萬有引力就是四種基本力之一，對(duì)