等比數(shù)列的前n項和教學(xué)案例設(shè)計

1、等比數(shù)列的前n項和教學(xué)案例設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)（5）（人教版）第二章第5節(jié)第一課時。從在教材中的地位與作用來：看等比數(shù)列的前n項和是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析從學(xué)生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思

2、維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學(xué)對象是剛進入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。三、設(shè)計思想新課程改革綱要提出，要“改變課程實施過于強調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”。對這一目標(biāo)本人認(rèn)為更加注重培養(yǎng)學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的能動性、獨立性、創(chuàng)造性、發(fā)展性。心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，922歲的學(xué)生正處

3、于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)期，高中生正好處于這一關(guān)鍵年齡段，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)因勢力導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。利用問題探究式的方法對新課加以鞏固理解。在生生、師生交流的過程中，體現(xiàn)對弱勢學(xué)生更多的關(guān)心。四、教學(xué)目標(biāo)理解并掌握等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題。通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，滲透事物之間等價轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點。五、教學(xué)重點、難點教學(xué)重點是公式的推導(dǎo)、公式的

4、特點和公式的運用。教學(xué)難點是公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運用。公式推導(dǎo)所使用的“錯位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點也是難點。教學(xué)準(zhǔn)備：包括資源的收集、課件的制作、活動的準(zhǔn)備等1.全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）第一冊（上）2.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)（必修）5及配套光盤3.兩種教材的主要差異對比4.課件等比數(shù)列的前n項和改編六、教學(xué)過程設(shè)計：學(xué)生是認(rèn)知的主體，設(shè)計教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地讓學(xué)生去經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點，我設(shè)計了如下的教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際

5、象棋，當(dāng)時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？【設(shè)計意圖】：設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性。故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點。此時我問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù) 。帶著這樣的問題，學(xué)生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和。這時我對他們的這種思路給予肯定?！驹O(shè)計意圖】：在實際教學(xué)中，由于受課堂時間限制，教師舍不

6、得花時間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙。同時，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆。（二）師生互動，探究問題在肯定他們的思路后，我接著問： 是什么數(shù)列？有何特征？ 應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？【學(xué)情預(yù)設(shè)】：探討1：設(shè) ，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）探討2： 如果我們把每

7、一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有 ，記為（2）式。比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？【設(shè)計意圖】：留出時間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機。經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到： 。老師指出：這就是錯位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？【設(shè)計意圖】：經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了

8、！讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。（三）類比聯(lián)想，解決問題這時我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列，首項為，公比為，如何求前n項和？這里，讓學(xué)生自主完成，并喊一名學(xué)生上黑板，然后對個別學(xué)生進行指導(dǎo)?！驹O(shè)計意圖】：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。【學(xué)情預(yù)設(shè)】：在學(xué)生推導(dǎo)完成后，我再問：由得對不對？這里的能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？時是什么數(shù)列？此時？（這里引導(dǎo)學(xué)生對進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)。）再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項

9、公式,如何把用、表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）【設(shè)計意圖】：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認(rèn)識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。（四）討論交流，延伸拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道,那么我們能否利用這個關(guān)系而求出呢？根據(jù)等比數(shù)列的定義又有，能否聯(lián)想到等比定理從而求出呢？【設(shè)計意圖】：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營造一個讓學(xué)生主動觀察、思考、討論的氛圍. 以上兩種方法都可以化歸到,

10、這其實就是關(guān)于的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學(xué)生的思維發(fā)展有促進作用.（五）變式訓(xùn)練,深化認(rèn)識例1：求等比數(shù)列前8項和； 變式 1、等比數(shù)列前多少項的和是； 變式2、等比數(shù)列求第5項到第10項的和； 變式3、等比數(shù)列求前2n項中所有偶數(shù)項的和。首先，學(xué)生獨立思考，自主解題，再請學(xué)生上臺來幻燈演示他們的解答，其它同學(xué)進行評價，然后師生共同進行總結(jié)。【設(shè)計意圖】：采用變式教學(xué)設(shè)計題組，深化學(xué)生對公式的認(rèn)識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。通過以上形式，讓

11、全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識和競爭意識。（六）例題講解，形成技能例2：求和【設(shè)計意圖】：解題時，以學(xué)生分析為主，教師適時給予點撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生對含有參數(shù)的問題進行分類討論的數(shù)學(xué)思想。（七）總結(jié)歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)?！驹O(shè)計意圖】：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力，歸納概括能力。（八）故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.841019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍

12、，顯然國王兌現(xiàn)不了他的承諾。 【設(shè)計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學(xué)生克服疲倦、繼續(xù)積極思維。（九）課后作業(yè)，分層練習(xí)必做：P66練習(xí)1：(1)、(2)；2選作：思考題：（1）求和（2）“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？【設(shè)計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間。七、教學(xué)反思：對公式的教學(xué)，要使學(xué)生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系。在教學(xué)中，我采用“問題探究”的教學(xué)模式，把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個階段。點評：本節(jié)課開始，設(shè)置了“棋盤上的數(shù)學(xué)”一例，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，引起學(xué)生的興趣，挑起學(xué)生探索新知識的欲望，進而提出了等比數(shù)列求和的問題。教學(xué)設(shè)計重視“過程與方法”，符合新課標(biāo)的理念，把重點放在公式的推導(dǎo)上。在探索公式的過程中，用到了許多重要的數(shù)學(xué)方法，如錯位相減：變加為減，等價轉(zhuǎn)化；遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；等比定理：回歸定義，自然樸實。學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會到推導(dǎo)過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，這個推導(dǎo)過程有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性，培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力。本節(jié)課例子設(shè)計精巧。