2022年人教A版選修1-1教案：32立體幾何中的向量方法第2課時

1、 3.2.2 空間角與距離的運算舉例【學情分析】：教學對象是高二的同學,同學已經(jīng)具備空間向量與立方體幾何的相關(guān)學問 , 上次課已經(jīng)學習了直線的方向向量和平面的法向量,所以本節(jié)課是通過舉例來求空間的距離和角；我們可以將空間中的有關(guān)距離和角的問題,轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量積來解決；【教學目標】：（1）學問與技能：能用向量方法進行有關(guān)距離的運算；能用向量方法解決線線、線面與面面的夾角的運算問題 . （2）過程與方法： 在解決問題中,通過數(shù)形結(jié)合的思想方法,加深對相關(guān)學問的懂得；（3）情感態(tài)度與價值觀：體會把立方體幾何幾何轉(zhuǎn)化為向量問題優(yōu)勢,培育探究精神；【教學重點】：將空間角與距離的運算轉(zhuǎn)化為向量的夾角

2、與模來運算 . 【教學難點】：將空間角與距離的運算轉(zhuǎn)化為向量的夾角與模來運算 . 【教學過程設(shè)計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設(shè)計意圖一、復(fù)習引1 兩個向量的數(shù)量積如何運算？為探究新學問做準入2 向量的模與向量的數(shù)量積是什么關(guān)系？備. 3 向量的加法法就；二、探究與一、用空間向量解決立體幾何問題的“ 三步曲”讓同學通過回憶尋練習同學回憶用平面對量解決平面幾何問題的“ 三步曲”,與老師共同得找將立體幾何問題出用空間向量解決立體幾何問題的“ 三步曲”：轉(zhuǎn)化為向量問題的（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題中涉及的步驟；點、直線、平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向

3、量運算,討論點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題； （進行向量運算）（3）把向量的運算結(jié)果“ 翻譯” 成相應(yīng)的幾何意義；二、例題（回到圖形問題）例 1：如圖 1：一個結(jié)晶體的外形為四棱柱,其中,以頂點 A 為端點的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是 點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？60 ,那么以這個頂點為端解： 如圖 1,設(shè)BADBAA 1DAA 160范,簡單把握,可ABAA 1AD1,以讓同學很好地體會 向 量 解 題 的 優(yōu)化為向量問題AC 1ABADAA 1勢；依據(jù)向量的加法法就,進行向量運算AA 12AC 12ABAD2 AB2 ADAA 122 ABAD

4、ABAA 1ADAA 1 1112cos60cos60cos606|AC 1|6AA1 D1BB1C1D 圖1 C 回到圖形問題這個晶體的對角線AC 1的長是棱長的6倍；提示同學不能缺少摸索：這一步；（1）此題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關(guān)系？分析 :BD 1BABCBB 1,B 1BC60轉(zhuǎn)化為向量；其中ABCABB 1120（ 2）假如一個四棱柱的各條棱長都相等,并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于 , 那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎. 分析 : x,BADBAA 1DAA 1這是例題 1 的推廣,設(shè)AC 1a,ABADAA 1方法類似,同學進一步體會 . ABA

5、DAB就由AC1ABADAA 1AA 1ADAA 1AC12AB2AD2AA 122即a23x2232 xcosx31a6cos 這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長；（ 3）此題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？（提示：求 兩個平行平面的距離,通常歸結(jié)為求兩點間的距離）分析： 面面距離點面距離向量的模.回來圖形讓同學體會空間距解：過A 1 點作A 1 H平面AC于點H.就A 1H為所求相對兩個面之間的距離由A 1ABA 1ADBAD且ABADAA 1離的轉(zhuǎn)化；H在 AC 上.AC2ABBC2112cos603BCAC3cos 601 .及 時 進 行 類 比 訓AA 1ACAA 1ABB

6、CAA 1ABAA 1cos 60cosA 1ACAA 1AC1sinA 1AC6|AA 1|AC|3A 1HAA 1sinA 1AC633所求的距離是6；3練,鞏固所學方法練習 : 和技能；如圖 2,空間四邊形OABC各邊以及 AC,BO的長都是 1,點 D,E 分別是邊 OA, BC 的中點,連結(jié) DE,運算 DE的長OD C A E 例 2 是關(guān)于角的有 關(guān)問題,引導(dǎo)同學 找到相應(yīng)的向量進 行轉(zhuǎn)化；圖2B 例 2：如圖 3,甲站在水庫底面上的點A 處,乙站在水壩斜面上的點B處；從 A, B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和 BD分別為a 和 b,CD 的長為 c, AB 的長為 d；

7、求庫底與水壩所成二面角的余弦值B 解： 如圖ACa,BDC c,ABD 以下設(shè)計與例1 類A 圖3d.似；b,CD化為向量問題依據(jù)向量的加法法就ABACCDDBDBCDDB進行向量運算CDDB2d2AB2ACCDACAB2CD2BD22ACa22 cb22ACDBa22 cb22 CADBb 2c2d22 CADBa2設(shè)向量 CA 與 DB 的夾角為,就是庫底與水壩所成的二面角；因此2 abcosa22b2ac2d2.2d2.cosa2bc2d2.2ab2回到圖形問題b2c庫底與水壩所成二面角的余弦值為2 ab摸索：（ 1）此題中假如夾角可以測出,而AB未知,其他條件不變,可以運算出 AB的長

8、嗎？分析：由AB2AC2CDDB2ACCDACDBCDDBAB2CD2BD22a2cb22 abcos 可算出 AB 的長；（2）假如已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長,并且以同一 頂點為端點的各棱間的夾角都相等,那么可以確定各棱之間夾角的余弦 值嗎？分析：如圖,設(shè)以頂點A 為端點的對角線長為d,三條棱長分別為a,b,c,各棱間夾角為. D1 C 1 A 1 B1 A 2A 1D ABACB C C2就dCC12a22 cb22 abbcaccoscosd2a2b2c22 abbcac （ 3）假如已知一個四棱柱的各棱長都等a,并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于,那么可以確定這個四棱

9、柱相鄰兩個夾角的余 弦值嗎？分析： 二面角平面角向量的夾角回來圖形A A 1 D 1 C 1 B1 C D E B F 解：如圖, 在平面 AB1 內(nèi)過 A1 作 A1EAB 于點 E,在平面 AC 內(nèi) 作 CFAB 于 F ；就A 1ECFasin,AEBFacosBFcosa22 coscoscosEA 1,FCcosA 1 E,CFA 1 ECFA 1AAE CB|a2sin2|A 1 E|CFcosa2cosa2coscosa2a2sin2cos 1 cos可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值；練習：（ 1）如圖 4,60 的二面角的棱上有A、B 兩點,直線AC、 BD分別在這個二面

10、角的兩個半平面內(nèi),且都垂直 8,求 CD的長；CD 圖4A 2）三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面是邊長為2 的正三角形,A1AB45 , A1AC60 ,求二面角B-A A1-C 的平面角的余弦值；A 1C1B1A CB圖5三、小結(jié)1 用空間向量解決立體幾何問題的“ 三步曲 ” ；反思歸納四、作業(yè)2 面面距離點面距離向量的模回來圖形二面角平面角向量的夾角回來圖形課本 P112 第 2、4 題；練習與測試：（基礎(chǔ)題）1 正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1,就側(cè)棱與底面所成的角為（）A 75B 60C45D30答： C；2如圖,在棱長為 2 的正方體ABCDA 1B 1C 1D 1中,O 是底面

11、 ABCD 的中心,A1FD1DOB1BC1E、 F 分別是CC 、AD 的中點；那么異面直線OE 和FD 所成的角的余弦值等E于（）A10B15C4D2 3AC555答： B；3,把正方形 ABCD 沿對角線 AC 折起 ,當以 A、B、C、D 四點為頂點的棱錐體積最大時,直線 BD 和平面ABC 所成的角的大小為）A 90B 60C,45D 30答： C；4,已知 AB 是兩條異面直線AC BD 的公垂線段,AB1,ACBD10,CD301,就AC BD所成的角為答：0 60 或0 120 ；（中等題）5,一條線段夾在一個直二面角的兩個面內(nèi),它和兩個面所成的角都是30 ,P 在棱CC上,且這條線段與這個二面角的棱所成的角為；答：4506,棱長為4 的正方體ABCDA B C D 中, O 是正方形A B C D 的中心,點D1 O C1 CC 14