彈性力學(xué)應(yīng)變分析

1、 第三章 應(yīng)變分析 外力作用下，物體各點(diǎn)發(fā)生位移，但是某點(diǎn)位移的大小并不能確定該處應(yīng)力的大小，它與物體的整體約束有關(guān)。應(yīng)變反映局部各點(diǎn)相對(duì)位置的變化，與應(yīng)力直接相關(guān)，變形體力學(xué)中彈性力學(xué)對(duì)這種關(guān)系作了最為簡(jiǎn)化的假設(shè)，在各向同性線彈性的條件下，彈性常數(shù)只有兩個(gè)。第一節(jié) 位移與應(yīng)變第二節(jié) 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系1 在外力作用下，物體整體發(fā)生位置和形狀的變化，我們?nèi)绾蝸?lái)描述？2第三章 應(yīng)變分析第一節(jié) 位移與應(yīng)變 在外力作用下，物體整體發(fā)生位置和形狀的變化，一般說(shuō)來(lái)各點(diǎn)的位移不同。3第三章 應(yīng)變分析第一節(jié) 位移與應(yīng)變 如果各點(diǎn)的位移完全相同，物體發(fā)生剛體平移； 如果各點(diǎn)的位移不同，但各點(diǎn)間的相對(duì)距離保持不變

2、，物體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)等剛體移動(dòng)。4 如果各點(diǎn)(或部分點(diǎn)）間的相對(duì)距離發(fā)生變化，則物體發(fā)生了變形。這種變形一方面表現(xiàn)在微線段長(zhǎng)度的變化，稱為線應(yīng)變；一方面表現(xiàn)在微線段間夾角的變化，稱為切應(yīng)變。5 我們從物體中取出x方向上長(zhǎng)dx的線段PA，變形后為PA，P點(diǎn)的位移為(u,v)，A點(diǎn)x方向的位移為y方向上的位移為dxdx6PA的正應(yīng)變?cè)谛∽冃螘r(shí)是由x方向的位移所引起的，因此PA正應(yīng)變?yōu)镻A的轉(zhuǎn)角為dxdx7 我們從物體中取出y方向上長(zhǎng)dy的線段PB，變形后為PB，B點(diǎn)y方向的位移為x方向上的位移為PB的正應(yīng)變?cè)谛∽冃螘r(shí)是由y方向的位移所引起的，因此PB正應(yīng)變?yōu)?線段PA的轉(zhuǎn)角是線段PB的轉(zhuǎn)角是于是，直

3、角APB的改變量為A有時(shí)用張量分量PAB9 這樣，平面上一點(diǎn)的變形我們用該點(diǎn)x方向上的正應(yīng)變、y方向上的正應(yīng)變和xy方向構(gòu)成的直角的變化切應(yīng)力來(lái)描述，稱為應(yīng)變分量。10 同樣，空間一點(diǎn)的變形我們用該點(diǎn)x、y、z方向上的正應(yīng)變和xy、yz、zx方向構(gòu)成的直角的變化切應(yīng)變來(lái)描述。張量形式為11 空間的應(yīng)變分量共九個(gè)分量，是一個(gè)對(duì)稱張量，和應(yīng)力張量一樣，它們遵從坐標(biāo)變換規(guī)則，同樣存在著三個(gè)互相垂直的主方向，對(duì)應(yīng)的主應(yīng)變值是該張量的特征值。這些互相垂直的主方向構(gòu)成的直角在該應(yīng)變張量的變形時(shí)，角度不變，由主平面組成的單元體，由正方體變?yōu)橹苯情L(zhǎng)方體。在主方向構(gòu)成的坐標(biāo)系中，張量分量構(gòu)成對(duì)角陣，切應(yīng)變分量為

4、零。12第三章 應(yīng)變分析 第二節(jié) 應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變的物理關(guān)系: 在線彈性力學(xué)中，應(yīng)力應(yīng)變的物理關(guān)系成線性的廣義胡克關(guān)系，對(duì)于各向同性材料，其中，只有兩個(gè)彈性常數(shù).張量形式為13 當(dāng)坐標(biāo)系為主方向時(shí)，切應(yīng)力為零，切應(yīng)變也為零，公式簡(jiǎn)化為上三式相加可得到：其中分別為體積應(yīng)變和體積應(yīng)力。14如果用應(yīng)變來(lái)表示應(yīng)力，有下列關(guān)系：其中稱為拉密常數(shù)。張量形式為15其矩陣形式為= D 注意這里我們假定材料是線彈性、各向同性的，于是應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系是線性的，其中彈性常數(shù)只有兩個(gè)。在各向異性的情況下，D的上述表達(dá)式不再成立，具有更多的彈性常數(shù)。其中16 總 結(jié) 應(yīng)力是物體內(nèi)部的內(nèi)力，是看不見(jiàn)的，而變形是可以測(cè)

5、量和觀察的，尤其在平面應(yīng)力狀態(tài)，我們經(jīng)常通過(guò)實(shí)驗(yàn)的辦法，測(cè)出應(yīng)變，然后，通過(guò)應(yīng)力應(yīng)變的物理關(guān)系，求得應(yīng)力。通過(guò)加力前后物體表面網(wǎng)格的變化，也可大致判斷應(yīng)變的大小等情況，從而判斷應(yīng)力的情況。17應(yīng)變和位移的關(guān)系： 已知位移，可以通過(guò)微分關(guān)系很方便的求得應(yīng)變，但是反過(guò)來(lái)，已知應(yīng)變求位移就要通過(guò)積分，困難大得多。 有應(yīng)變就有位移，但是有位移不一定就有應(yīng)變，應(yīng)變是位置的相對(duì)變化決定的，位移中有剛體位移和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與相對(duì)位置的變化同時(shí)發(fā)生，這就給分析帶來(lái)很大的困難。18 若記坐標(biāo)變形前后的坐標(biāo)x, y, z為Xi、xi，位移為ui=Xi-xi,上式可以縮記為：一般稱為Cauchy應(yīng)變，保留的是一階項(xiàng)，適用于小應(yīng)變的情況，在有限變形時(shí)，應(yīng)變有多種定義，常見(jiàn)的有：GreenAlmansiEuler19 對(duì)于應(yīng)力應(yīng)變= D的這種較為簡(jiǎn)單的關(guān)系，注意這里我們假定材料是線彈性、各向同性的，于是應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系是線性的，其中彈性常數(shù)只有兩個(gè)。在各向異性的情況下，D的上述表達(dá)式不再成立，具有更多的彈性常數(shù)。其中橫觀各向同性是常見(jiàn)的一種。 在一定條件下，材料不再保持為彈性變形，將出現(xiàn)塑性變形，這時(shí)應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系，不再是上述的簡(jiǎn)單關(guān)系，這將是塑性力學(xué)研究的內(nèi)容。20 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系通常是十分復(fù)雜的，線彈性是一種簡(jiǎn)化方法。對(duì)于很多工程問(wèn)題