1.11-位移分量與應(yīng)變分量-幾何方程

1、第十節(jié) 位移分量與應(yīng)變分量 幾何方程 由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響， 物體內(nèi)各點在空間的位置將發(fā)生變化， 就是產(chǎn)生位移。 這個移動過程，彈性體將可能同時發(fā)生兩種位移變化。第一種位移是位置的改變，但是物體內(nèi)部各個點仍然保持初始狀態(tài)的相對位置不變，這種位移是 物體在空間做剛體運動引起的，因此稱為 剛體位移 。第二種位移是彈性體形狀的變化， 位移發(fā)生時不僅改變物體的絕對位置，而且改變了物體內(nèi)部各 個點的相對位置，這是物體變形引起的位移，稱為 變形位移 。一般來說，上述兩種位移是同時出現(xiàn)的，當(dāng)然對于彈性力學(xué)的研究，主要是討論后一種位移，因 為變形位移與彈性體的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。根據(jù)連續(xù)性

2、假設(shè)， 彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。 那么彈性體中某點在變形過程中由M（x，y，z）移動至 M（x， y，z），這一過程也將是連續(xù)的 ,如圖 11.1 所示圖 10.1在數(shù)學(xué)上 ，x，y，z 必為 x， y， z的單值連續(xù)函數(shù)。設(shè) MM= S為位移矢量，其三個分量 u，v，w 為位移 分量。則u=x （ x，y， z） -x=u （x，y，z）v=y （ x，y， z） -y=v （x，y，z）w=z （x，y，z）-z=w（x，y，z） 顯然，位移分量 u，v，w 也是 x， y， z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù) 導(dǎo)數(shù)。為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況，假

3、設(shè)從彈性體中分割出一個微分六面體單元，其六個面分別與三個 坐標(biāo)軸垂直。對于微分單元體的變形，將分為兩個部分討論。一是微分單元體棱邊的伸長和縮短；二是棱邊之 間夾角的變化。彈性力學(xué)分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。對于微分平行六面體單元，設(shè)其變形前與x，y，z 座標(biāo)軸平行的棱邊分別為 MA ，MB ，MC ，變形后分別變?yōu)?MA ，MB，MC 。假設(shè)分別用 x y z表示 x，y，z 軸方向棱邊的相對伸長度，即正應(yīng)變； 分別用 xy yz zx表示 x和 y，y和 z，z和 x軸之間的夾角變化，即切應(yīng)變。則對于小變形問題，為了簡化分析，將微分單元體分別投影到Oxy， Oyz， Ozx 平面

4、來討論。顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動，但我們討論的是小 變形問題，這種轉(zhuǎn)動所帶來的影響較小。特別是物體位移中不影響變形的計算，假設(shè)各點的位移僅為自身 的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線段的轉(zhuǎn)動的誤差是十分微小的，不會導(dǎo)致微分單元體的變形有 明顯的變化。首先討論 Oxy 面上投影的變形。設(shè)ma，mb分別為 MA，MB的投影， ma，mb分別為 MA ， MB ，即變形后的 MA，MB的投影。 微分單元體的棱邊長為 dx，dy，dz，M 點的坐標(biāo)為（ x， y，z）， u（ x，y， z）， v（ x, y, z）分別表示 M 點 x， y 方向的位移分量

5、。則A 點的位移為 u（x+dx，y，z），v（x+dx，y，z）,B點的位移為 u（x，y+dy，z），v（x，y+dy，z）。 按泰勒級數(shù)將 A，B 兩點的位移展開，并且略去二階以上的小量，則A， B 點的位移分別為因為所以同理可得由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點微分線段的相對伸長度，即 正應(yīng)變。 顯然微分線段伸長，則正應(yīng)變 x, y, z 大于零，反之則小于零。 以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系假設(shè) yx為與 x 軸平行的微分線段 ma 向 y 軸轉(zhuǎn)過的角度， xy為與 y 軸平行的 mb向 x 軸轉(zhuǎn)過的角 度。則切應(yīng)變因為x 方向上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同理可得y

6、x和 xy可為正或為負(fù)，其正負(fù)號的幾何意義為： yx大于零，表示位移 v隨坐標(biāo) x 而增加， 的微分線段正向向 y 軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表達(dá)式，則同理可得切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程。柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已知位移，由位移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得 應(yīng)變；但是如果已知應(yīng)變，由于六個應(yīng)變分量對應(yīng)三個位移分量，則其求解將相對復(fù)雜。 這個問題以后 作專門討論。幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。如果使用張量符號，則幾何方程可以表達(dá)為則應(yīng)變分量 ij 將滿足二階張量的座標(biāo)變換

7、關(guān)系，應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為第十一節(jié) 純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動位移學(xué)習(xí)思路 : 應(yīng)變分量通過位移的偏導(dǎo)數(shù)描述了一點的變形，對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間 夾角的改變做出定義。 但是這還不能完全描述彈性體的變形， 原因是沒有考慮微分單元體的剛體轉(zhuǎn)動。 通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動位移與純變形位移之間的關(guān)系。 剛體轉(zhuǎn)動通過轉(zhuǎn)動分量描述。 剛性轉(zhuǎn)動位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點沒有變形，則無限鄰近它的任意一點的位移由兩部 分組成，平動位移和轉(zhuǎn)動位移。如果發(fā)生變形，位移中還包括純變形位移。應(yīng)變可以描述一點的變形，即對微分平行六面體單元棱邊的伸長

8、以及棱邊之間夾角的改變做出定義。 但是這還不足以完全描述彈性體的變形，原因是應(yīng)變分析僅僅討論了棱邊伸長和夾角變化，而沒有考慮微 分單元體位置的改變，即單元體的剛體轉(zhuǎn)動。通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動位移與純變形位移之間的關(guān)系。 設(shè) P 點無限鄰近 O 點，P 點及其附近區(qū)域繞 O 作剛性轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)過微小角度。設(shè)轉(zhuǎn)動矢量為 ， OP 之間的距離矢量為 ，如圖 12.1 所示圖 11.1則引入拉普拉斯算符矢量10S =ui +vj +wk設(shè) P 點的位移矢量為 S，有由于位移矢量可以表示為 S = 所以11M 點的坐標(biāo) 位移為（ u+du，其中x, y, z為轉(zhuǎn)動分量，是

9、坐標(biāo)的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動。設(shè) 為（ x， y， z），位移（ u，v， w）。與 M 點鄰近的 N 點，坐標(biāo)為（ x+dx，y+dy，z+dz）， v+dv，w+dw）。則 MN 兩點的相對位移為（ du， dv， dw）。因為位移為坐標(biāo)的函數(shù)，所以12同理可得以上位移增量公式中，前三項為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項是某點鄰近區(qū)域的材料繞該點像 剛體一樣轉(zhuǎn)動的剛性轉(zhuǎn)動位移。剛性轉(zhuǎn)動位移的物理意義為， 如果彈性體中某點及鄰近區(qū)域沒有變形， 則無限鄰近這一點的位移， 根據(jù)剛體動力學(xué)可知，是由兩部分組成。分別是隨這點的平動位移和繞這點的轉(zhuǎn)動位移。對于彈性體中某 一點，一般還要發(fā)

10、生變形，因此位移中還包括純變形位移?？偟膩碇v，與 M 點無限鄰近的 N 點的位移由三部分組成的：131 隨同 M 點作平動位移。2 繞 M點作剛性轉(zhuǎn)動在 N點產(chǎn)生的位移。3 由于 M 點及其鄰近區(qū)域的變形在 N 點引起的位移。轉(zhuǎn)動分量 x, y， z 對于微分單元體，描述的是剛性轉(zhuǎn)動，但其對于整個彈性體來講，仍屬于 變形的一部分。三個轉(zhuǎn)動分量和六個應(yīng)變分量合在一起，不僅確定了微分單元體形狀的變化，而且確定了 方位的變化。位移增量公式如果使用矩陣形式表示，可得顯然，位移的增量是由兩部分組成的，一部分是轉(zhuǎn)動分量引起的剛體轉(zhuǎn)動位移，另一部分是應(yīng)變分量引起的變形位移增量。第十二節(jié) 應(yīng)變的坐標(biāo)變換與應(yīng)變

11、張量上一節(jié)我們引入了應(yīng)變分量，本節(jié)將討論不同坐標(biāo)系下一點的應(yīng)變分量的關(guān)系。與坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸時的應(yīng) 力分量的變換一樣，我們將建立應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸的變換公式，即已知 ij 在舊坐標(biāo)系中的分量，求其在新坐 標(biāo)系中的各分量 ij 。14根據(jù)幾何方程，坐標(biāo)平動將不會影響應(yīng)變分量。因此只需坐標(biāo)轉(zhuǎn)動時的應(yīng)變分量變換關(guān)系，設(shè)新坐標(biāo)系 Oxyz 是舊坐標(biāo)系 Oxyz 經(jīng)過轉(zhuǎn)動得到的，如圖 13.1 所示圖 12.1新舊坐標(biāo)軸之間的夾角的方向余弦為如圖所示，設(shè)變形前的 M 點，變形后移至 M點，設(shè)其位移矢量 MM = S，則15所以, 新坐標(biāo)系的位移分量為，根據(jù)幾何方程，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分關(guān)系16同理推導(dǎo)可得其余五個應(yīng)變分

12、量的變換公式，即3)表示新舊坐標(biāo)系之間的夾角的如果以 nij( i，j=1，2， 方向余弦，并注意到應(yīng)變張量表達(dá)式，則上述應(yīng)變分量變換公式可以寫作ij=nii njj ij 因此，如果將應(yīng)變分量寫作下列形式17則應(yīng)變分量滿足張量變換關(guān)系。與應(yīng)力張量相同，應(yīng)變張量也是二階對稱張量。由公式可知，一點的六個獨立的應(yīng)變分量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即一 點的應(yīng)變狀態(tài)就完全確定了。不難理解，坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但它們作為一個整體，所描 述的一點的應(yīng)變狀態(tài)是不會改變的。第十三節(jié) 體積應(yīng)變本節(jié)介紹物體變形后的單位體積變化，即體積應(yīng)變。 討論微分平行六面體單元，如圖 14.1 所

13、示圖 13.1 變形前，單元體的三條棱邊分別為MA，MB，MC，長 dx，dy，dz，其體積為： V= dxdydz設(shè)M 點坐標(biāo)為（ x， y，z），則 A，B，C點坐標(biāo)分別為（ x+dx，y，z），（x，y+dy，z）和（x，y，z+dz）。18彈性體變形后，其三條棱邊分別變?yōu)镸A， MB ， MC 。其中若用 V 表示變形后的微分單元體體積，則將行列式展開并忽略二階以上的高階小量，則19若用 e 表示單位體積的變化即體積應(yīng)變，則由上式可得VVV 顯然體積應(yīng)變 e 就是應(yīng)變張量的第一不變量xyzJ1。因此 e 常寫作uvweJ1xyz處處為零，體積應(yīng)變 e 大于零表示微分單元體膨脹，小于零則

14、表示單元體受壓縮。若彈性體內(nèi) e則物體變形后的體積是不變的。第十四節(jié) 主應(yīng)變和應(yīng)變不變量彈性體內(nèi)任一點的六個應(yīng)變分量，即應(yīng)變張量隨著坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)而改變。因此是否可以像應(yīng)力張量一 樣，對于某一個確定點，在某個坐標(biāo)系下所有的切應(yīng)變分量都為零，僅有正應(yīng)變分量不等于。即能否找到 三個相互垂直的方向，在這三個方向上的微分線段在物體變形后只是各自改變長度，而其夾角仍為直 角。 答案是肯定的。n1, n2, n3。 的長度 , 則在任何應(yīng)變狀態(tài)下，至少可以找到三個這樣的垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱恪?具有該性質(zhì)的方向，稱為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的應(yīng)變稱為 主應(yīng)變。 設(shè) ij 為物體內(nèi)某點在

15、已知坐標(biāo)系的應(yīng)變張量，求其主應(yīng)變1 ， 2， 3 及應(yīng)變主軸方向設(shè) MN 為 M 點的主軸之一，其變形前的方向余弦為l， m， n，主應(yīng)變?yōu)?。令 d 表示 MNMN 相對伸長為 d ，如圖 15.1 所示20圖 14.1設(shè)M 點的位移為（ u，v，w），則 N點的位移為（ u+du，v+dv，w+dw）。因為 du=在 x 方向的變形位移分量 +剛性轉(zhuǎn)動位移在 x 方向的分量= l d + 剛性轉(zhuǎn)動位移在 x 方向的分量根據(jù)公式即 du 等于純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動位移在 x 方向的分量之和。根據(jù)上述公式，可得21或者寫作同理可得22上述公式是關(guān)于 l，m，n 的齊次線性方程組。對于 l，m，n

16、 的齊次線性方程組，其非零解的條件為其系數(shù) 行列式的值為零。即將上式展開，可得求解主應(yīng)變得特征方程，其中23顯然與應(yīng)力不變量相同， J1，J2，J3 為應(yīng)變不變量，分別稱為第一，第二和第三應(yīng)變不變量。 根據(jù)特征方程，可以求解得到三個主應(yīng)變。將求解后的主應(yīng)變代入公式，并注意到任意一點三個 方向余弦的平方和等于 1，則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。由應(yīng)力張量和應(yīng)變張量，應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量之間的公式的比較可知，主應(yīng)變和應(yīng)變主軸的 特性與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是類似的。第十五節(jié) 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程學(xué)習(xí)思路 : 變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義是：要使以三個位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不矛盾，則應(yīng)變分 量必須滿足的必要條件

17、。應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)性質(zhì)作出解釋。如果變形不滿足一定的關(guān)系， 變形后的物體將出現(xiàn)縫隙或嵌入現(xiàn)象，不能重新組合成連續(xù)體。為使變形后的微分單元體連續(xù)，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，又 稱圣維南( Saint Venant )方程。假如彈性體是單連通域的 , 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。 利用位移函數(shù)的微分沿任意路徑重新積分可以確定的位移必然是單值位移的條件，可以證明應(yīng)變 協(xié)調(diào)方程。對于多連通域問題，應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)的必要條件，只有加上位移連續(xù)補 充條件作為充分條件。幾何方程表明， 六個應(yīng)變分量是通過三

18、個位移分量表示的， 因此六個應(yīng)變分量將不可能是互不相關(guān)的， 應(yīng)變分量之間必然存在某種聯(lián)系。這個問題對于彈性力學(xué)分析是非常重要的。因為如果已知位移分量，容易通過幾何方程的求導(dǎo)過 程獲得應(yīng)變分量；但是反之，如果已知應(yīng)變分量，則幾何方程的六個方程將僅面對三個未知的位移函數(shù)， 方程數(shù)顯然超過未知函數(shù)的個數(shù)，方程組將可能是矛盾的。隨意給出六個應(yīng)變分量，不一定能求出對應(yīng)的位移。例如：24例 1 設(shè) 應(yīng) 變 分 量 為，求其位移解：25顯然該應(yīng)變分量沒有對應(yīng)的位移。 要使這一方程組不矛盾，則六個應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。 以下我們將著手建立這一條件。首先從幾何方程中消去位移分量，把幾何方程的第一式和第二式

19、分別對 x 和 y 求二階偏導(dǎo)數(shù)，然后相加，并利用第四式，可得26然后四和六兩式相加并減去第五式，若將幾何方程的第四， 五，六式分別對 z，x，y 求一階偏導(dǎo)數(shù)， 則將上式對 x 求一階偏導(dǎo)數(shù)，則27分別輪換 x,y,z，則可得如下六個關(guān)系式，上述方程稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或者變形協(xié)調(diào)方程，又稱圣維南(Saint Venant )方程 .變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義是：要使三個位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾，則應(yīng)變分量必須滿 足的必要條件。應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)作出解釋。假如物體分割成無數(shù)個微分六面體 單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單

20、元體將不能重新組合成 連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的微分單元體仍能重新組合成連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。假如彈性體是單連通域的 , 則應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充 分條件。為證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形體連續(xù)的必要和充分條件，我們可利用彈性體變形連續(xù)的物理意義， 反映在數(shù)學(xué)上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。我們的目的就是證明：如果已知應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對于單連通域，就一定可以通過 幾何方程的積分求得單值連續(xù)的位移分量。28下面我們推導(dǎo)單連通域的變形協(xié)調(diào)關(guān)系。所謂的單連通域，是指該物體內(nèi)任一條閉曲線可以收

21、縮到一點而不越出界外。設(shè)應(yīng)變分量ij 單值連續(xù)，并有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則由輪換 x, y, z 計算，可得 dv， dw 和 d y， d z 如果能夠通過積分，計算出上述位移和轉(zhuǎn)動分量如果是單值連續(xù)的，則可得到彈性體的位移單值連續(xù)的條件。保證上述位移單值連續(xù)的條件是其積分與積分路徑P0P 無關(guān)。其充分與必要條件為29根據(jù)上述公式的第三式，可得同理根據(jù)上述公式的第四和第八式，可得x對 y， z的偏導(dǎo)數(shù)。即30將計算 x對 y， z的偏導(dǎo)數(shù)回代到公式的第一式，則可以得到轉(zhuǎn)動分量x 表達(dá)式。如使 x 單值連續(xù)，其必要與充分條件是或?qū)懽?1同理討論 y和 z的單值連續(xù)條件可得出類似的四個公式。 將單值

22、連續(xù)的 x, y和 z 代入位移計 算公式，則可得到單值連續(xù)的位移u， v， w。由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件。 如果彈性體中的一條封閉曲線，若收縮至一點必須越出域外，則為 :多連通域物體一個多連通域物體，可用若干個截面將物體部分的截開，使之成為單連通域。如果所需的截面數(shù)為 n ，則物體為 n+1 連域。平面為有兩個環(huán)形孔的物體，兩個截面即可使其成為單連通域，所以為三連域。對于多連通域問題，應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程并不能確保位移在分割后的單連通域內(nèi)單值連續(xù)。因 為當(dāng)位移分別從截面兩側(cè)趨近于截面上的某一點時，一般的說其將趨于不同的值。分別用 u+ ，v+ ，w+和 u-

23、， v-， w-表示截面兩側(cè)的位移，則多連通域的位移單值連續(xù)條件還需要32補充條件u+=u- ， v+=v- ， w+=w- 因此，對于多連通域問題，應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)的必要條件，只有加上上述 補充條件后，條件才是充分的。第十六節(jié) 彈性應(yīng)變能函數(shù)彈性體受外力作用后，不可避免地要產(chǎn)生變形，同時外力的勢能也要發(fā)生變化。當(dāng)外力緩慢地（ 不致引起物體產(chǎn)生加速運動 ） 加到物體上時，視作靜力，便可略而不計系統(tǒng)的動能，同時也略去其他能量（ 如熱能等）的消耗，則外力勢能的變化就全部轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能（ 一種勢能 ）儲存于物體的內(nèi)部。我們給出單位體積應(yīng)變能的表達(dá)式。為此，以x作用在微小單元 ABCD兩對邊為例來說明 （圖 18.1） 。圖 16.1由圖可知，作用在 ABCD單元上的外33x dydzdu , xdydz 在 CB邊單位應(yīng)變力為 AD與 CB邊的 x。而 xdydz 在 AD邊單位應(yīng)變上所做的功為 上所做的功為 x