東南大學(xué)-數(shù)模期末試卷整理(含答案)

1、東南大學(xué)-數(shù)模期末試卷整理 （含答案）2009年6月.在本課程所介紹的若干模型中，請(qǐng)列舉至少4個(gè)你最感興趣的模型.迭代法是求非線性方程近似根的常用方法，已知y二/(1)，寫出求工=%附近的近似根的牛頓割線法公式。. 一.已知加密矩陣4=，求4”(mod23)。.已知(K,y)的三個(gè)觀察數(shù)據(jù)(1J),(2,4),(3,)，寫出其逐步線性插值的插值函數(shù).常微分方程 丁二 0.02.r(l-0.00l.t),A(0)二 100 的解為 O.考慮養(yǎng)老保險(xiǎn)問題，假如某人30歲起保，每月交保費(fèi)300元至60歲止，如果所交保費(fèi)： 的月利率為，寫出其第4的保費(fèi)本息和及所滿足的方程 0 II I!J ,；7.考

2、慮泛函J二(f+/f)M其對(duì)應(yīng)的歐拉方程為。I I ;F0.75 0.05 0.2：8考慮馬氏鏈(工.+ 1)用(4 + 1)內(nèi)俏+ 1) =偽(初以初馬)02 06 0.2 - ：0.4 0.2 0.4：則其平衡點(diǎn)為 (保留小數(shù)點(diǎn)后2位)。II II I二.量綱分析法建模問題(12分)考慮物體運(yùn)動(dòng),質(zhì)量為加的物體以初速度”拋出，證明下落的位移工與速度1入時(shí)間，及重力加速度g滿足關(guān)系J =卬6W %, gt/vQ) c三，層次分析法建模問題（14分）1已知成對(duì)比較矩陣4= 311/2 1/4 1 （1）將上述矩陣的元素補(bǔ)齊.（2）計(jì)算上述矩陣模最大特征值（精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）。（3）計(jì)算上述矩

3、陣的的隨機(jī)一致性比率（C知隨機(jī)一致性指標(biāo)為0.58）。五.常微分方程建模問題(14分)考慮兩種群的Vohcrra模型廠二。.051.00011|y = -0.1y + 0.000057(1)荏相平面上求解該方程(提示；求解生)。 dx(2)討論該向題的平衡點(diǎn)。(3)計(jì)算平均意義下y的百分比。答案:.層次分析法、hill密碼、logislic模型、傳染病模型、貸款模型、搶渡長江等。. % =-/(4處-%)/(/(”)-/6“) mod23)? ?3.r-2JA-214-5x,2x3工 x = 1000/( J%.6.=項(xiàng)(1 + 尸)+300 7. 2x-e-r =0 8.(0.55, 0.2

4、0, 0.45)二.翳解初=”,% = LTv = LT x = L,r = r,g= A*4 分0 1110 1A= 1 0 0 0 0 0，外=0,火(4) = 32分0-1-101-2 .基礎(chǔ)解系為：0,1,1,0,0,0,-叫,0,2 分無量綱物理量為：a = w01, a. = x/tva3 = g/ / v0有Backliam定律得/（見，匕x/g） = 與8（6，七，4）二等價(jià)。- 11/3 r三解 (1) 4= 3143分1/2 1/4 1/U)=|2-/11=(2-1)3-3(2-1)-13/6 = 03 分取九_(tái)3,迭代公式修+i=七一/(%)/5) A = 3.022+2

5、分a = ().0l,CR = 0.022十2 分Log(x)00.18230.33650.47000.6931Log(y)1.50411.58511.66581.74751.9095四解(1) 3分x與log（y）呈線性關(guān)系，經(jīng)驗(yàn)公式形式為y二次/4分(2) A =11.21.41.62,Log 二L5041.5851.6661.7481.910log(y)=L()98+0.4()6x,或者 y = 3d .5/c-201 JIM-.J00、 八 (e y (e x ) = cj) = 2巧燃 Xu、巧,c = /(1000,200)(2)平衡點(diǎn)為(2000, 500)(3) 20%六解(1

6、) =0.9, =0.6, n*=IA818,0.446. 4*= 036,t, =0.71.2011-2012-3A1本課程介紹的數(shù)學(xué)模型分類方法是()A.按照數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用領(lǐng)域；B按照建模的數(shù)學(xué)方法；C.按照建模的目的；D.按照模型的表現(xiàn)特征。.在非線性方程求近似根時(shí)，下列論述正確的是()A.二分法總是可以求出近似根；B.牛頓切線法總是可以求出近似根；C.牛頓割線法總是可以求出近似根；D.以上都不對(duì)。.下列論述正的的是()A.一致矩陣一定能通過一致性檢驗(yàn)：B,正互反矩陣一定是判斷矩陣：C.能通過一致性檢驗(yàn)的拉陣是一致矩陣；D.判斷矩陣一定是一致矩陣。.對(duì)于初值很小的阻滯增長模型的描述正確的

7、是()A.增長率一直變大：R增長率一直變?。篊.增氏率先增后減；D.增長率先減后增。If25.泛函J(x(/) = )2武，)+ -(/)/取極值的條件是()A. x-x+e = 0 ；C. x_x4e = 0； D.以上都不對(duì)。二.判斷題(母題3處，滅15分)止確的于J，小止佛時(shí)于JX。.用無量綱量表示一個(gè)物理規(guī)律時(shí)，最多可以減少3個(gè)變量。().線性最小二乘問題的標(biāo)準(zhǔn)模型為正規(guī)方程9 ()能通過一致性檢驗(yàn)的判斷知陣是一致矩陣。(). Leslie模型描述的種群存在有穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)。().壽命服從指數(shù)分布的元件存在預(yù)防性更換策略。0三.應(yīng)用跑(共70分)11. (12分)某食品店堅(jiān)果的銷售情況

8、及其每周的最大供應(yīng)量如下表所示:堅(jiān)果純利洞（元/公斤）最大供應(yīng)量（公斤/周）杏仁3050碧根果5(130腰果40100山核桃6080如果統(tǒng)計(jì)表明每周所有堅(jiān)果的銷售總量大約維持在200公斤,杏口腰果采購總量不 少于40公斤，但也不超過I2Q公斤，碧根果采購量不少于山核桃采購量的60%,為了使 得收益達(dá)到最大，請(qǐng)為他的供貨量建立合適的數(shù)學(xué)模型，并判斷該數(shù)學(xué)模型的類型。不需 耍求出具體數(shù)值結(jié)果。12 （12分）用無量綱化思想化簡下面的數(shù)學(xué)模型（假設(shè)所有的參數(shù)均為正常數(shù)），使得參 數(shù)個(gè)數(shù)盡可能減少。aydxdtdy=V ( - ex) dt13 (12 分) 求解 Logistic 模型./ = 0.

9、01*1 -x/10000),x(0)= 1000。(2)求該模型變化率最大時(shí)刻。（16分）變量丫與y的一組觀測數(shù)據(jù)如下, X 3456-70550.42 0.570.68 0.78(1)作半對(duì)數(shù)圖，確定適合的擬合函數(shù)形式。(2)用(用里確定的函數(shù)形式對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合(保留到小數(shù)點(diǎn)后lft)o（18分）某種動(dòng)物種群最大年齡為15歲，如果每5年為一個(gè)單位時(shí)段觀測一次種群 數(shù)量變化，各組在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)雌性后代的繁殖率分別為0.L 0.9, 1,5；前兩個(gè)年齡組 的死亡率分別為0.9, 0.2o（I）試建立合適的數(shù)學(xué)模型描述該種群的發(fā)展：（2）該種群會(huì)否絕滅？有沒有穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)？為什么？如果

10、有穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)，試求穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)和該種群平均每個(gè)時(shí)段的增長率。（3）由于環(huán)境條件限制，需要通過處理每個(gè)第2年齡組的存活率，問如何處理時(shí)，才 能種俳總量保持不變，此時(shí)穩(wěn)定情沆下的年齡結(jié)構(gòu)怎樣？2011-2012-3東南大學(xué)考試卷數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(A卷答案)-1 B 2A3A4C5A三.5. (X)7. (V)8. (X)9. (X)10. (X)11.解：設(shè)再%分別為表示他每周四種堅(jiān)果的供應(yīng)呈c f為總利潤，其數(shù)學(xué)模型為：max f = 30工| 十 50a 十 4O.r3 + 600 M $ 500 r, 300 0 月 S 1 000 x4 80*+ 4 +曰+憶 20040 0該模型

11、為線性規(guī)劃模型.積量定義正確2分，目標(biāo)函數(shù)2分，約束條件每個(gè)6分.年錯(cuò)(或少個(gè)扣1分。12解：可以利用時(shí)變顯Z施加變量代換的方法達(dá)到戰(zhàn)少3個(gè)參數(shù)的作用,最終模型有且僅有2個(gè)參數(shù)，可以出現(xiàn)在一個(gè)或兩個(gè)方程中，以下答案只是其中一種形式。引入無量綱量Y3K丁 - 上y，口，并引入兩個(gè)新參數(shù)，-,2，則化為dX ( Y=mX 1-ds 1 -t nX ;dY二 y(i-x)、ds減少一個(gè)參數(shù)2分(共6分),方程組自變量統(tǒng)一 3分.變量代換合理3分。1 1 113.解(1)(-+)dx = 0.01 加 10000 x 10000 - rln() = 0.01/ 十 c10000-xE) =10000(

12、2)當(dāng)工= 5000時(shí)，變化率最大 / = 200 In 3 o4.4、根據(jù)化曲為直的思想，令z = lnx,則變量y與z之間為線性關(guān)系y = az + /）。 分 C =（4,6）7,Z = Inx = 1.1,1.39J.61,1.79J.954、+2、In 3 1114（2） A = In 5In 6In 7正規(guī)方程為=12.747.847.84-4.49a =52.684、解得：a = 0.6488,-0.4813/，所以，擬合曲線為:/= 0.6488 In x-0.48 130.1 0.915 （18 分）解（1） A = 0.9000.21.50 ，7 z=L0807 , 04+

13、4分（2）穩(wěn)定情況F，該種群平均每個(gè)時(shí)段增長8.07%o2分n=l,0.833,0J544 分（3） 4 =0.1,為=0.81,四=0.27左，令人=4 +A+色=】得 = 0.3333n =1,0.9,0.06.4 分08-09-31.在本課程所介紹的若干模型中，請(qǐng)列舉至少4個(gè)你最感興趣的模型2,迭代法是求非線性方程近似根的常用方法，己知了二/卜），寫出求工二天附近的近似 根的牛頓割線法公式。.已知加密矩陣力二:；,求（mod 23）.已知的三個(gè)觀察數(shù)據(jù)（11）,（2,4）,（3廠1）,甘出其逐步線性插值的插值函數(shù)O.常微分方程工,=0.02.磯-0,00的工（0）=100的解為46,考慮

14、養(yǎng)老保險(xiǎn)問題，假如某人30歲起保，每月交保費(fèi)300元至60歲止，如果所交保費(fèi)的月利率為廣，寫出其第%的保費(fèi)本息和所滿足的方程。7.考慮泛函J=（./+/），其對(duì)應(yīng)的歐拉方程為。-0.75 0.05 0.2-8.考慮馬氏鏈（再（心1）,4+ 1）/3（%叫）二（國（均/2化）/3（月）0.20.60.2,0.4 0.2 0.4則其平衡點(diǎn)為（保留小數(shù)點(diǎn)后2位）。.量納分析法建模問題（12分）考慮拋體運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為加的物體以初速度埒拋出，證明下落的位移X與速度V、時(shí)間，及重力加速度g滿足美系X =埼夕（W %, 0 /玲）,.層次分析法建模問題（14分）-1 -已知成對(duì)比較矩陣4=311/2 1/4

15、1（1） 將上述矩陣的元素補(bǔ)齊。（2）計(jì)算上述矩陣模最大特征值（精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）。（3） 計(jì)算上述矩陣的的隨機(jī)一致性比率（已知隨機(jī)一致性指標(biāo)為0.58）。四.數(shù)值分析問題(14分) 已知的一組數(shù)據(jù)X1.01.21.41.62.0Y4.504.885.295.746.75(1)借助曲改直.方法確定經(jīng)驗(yàn)公式形式。(2)用最小二乘法確定經(jīng)驗(yàn)公式的參數(shù).五.常微分方程建模問題（14分）考慮兩種群的Viterra模型x = 0.05k 0.0003. RO） =1000,），（0） = 200V = _O1y +0.00005h,（1）在相平面上求解該方程（提示；求解生）。 dx（2）討論該問題的平

16、衡點(diǎn)。計(jì)算平均意義下y的百分比。六差分方程建模問題（14分，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）考慮某動(dòng)物種群年齡結(jié)構(gòu)問題。該種群最大年齡為14歲，將其按年齡等間隔分為3組，將5年作一次普位。相關(guān)數(shù)據(jù)分析說明其年齡結(jié)陶已經(jīng)檜定?，F(xiàn)有相鄰兩次的雎性個(gè)體觀 察數(shù)據(jù)如下：年齡0-4歲5-9歲10-14 歲第一次普查1000818446第二次普查1100900491（1）確定各年齡組存活率及穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)。（2）確定每個(gè)觀察時(shí)段的增長率a（3）如果該利群的各年齡段的1時(shí)段小牛率滿足九二0.5A，A = 0.5A.則其各段出生 率為多大.答案:13 1111 121.層次分析法、hill密碼、logistic模型、傳染

17、病模型、貸款模型、搶渡長江等。2-天-/小-4/)/(/(4)-/(玉)A )(mod23) =4二產(chǎn)-2,1425. /丁(/(皿產(chǎn))|14-5x,2 x3七八=/(l + r)+300 7. 2r-f =0 8.(0.55, 0.20, 0.45)二.解解河=M,v0 = LT-,v = Lrx = LM = r,g = LT-1 4 分 TOC o 1-5 h z -01110rzl= 100000，力= 0,R(4) = 32 分0-1-101-2一 基礎(chǔ)解系為：0,0,0,0,TO,1,TOMO,-L0,0,1,12 分無最綱物理量為：a =x%，6 =g%2分有 Backham 定

18、電得y,x,1,g) = 0與 gRz ,%,的)=。等價(jià)。據(jù)此得x = %/S(y/%，g%)。2 分 TOC o 1-5 h z 11/3 2三解(1)4二3143分1/2 1/4 1/(/)=(花 川1)3 3(2 1) 13/6 = 03 分取幾二3,迭代公式,|=.qf(*)/(4)% = 3.022+2 分C7=0.01,CK = 0.022+2 分(2) A =1 -15041.21.5851.4，Log(y)=1.6661.61.74821.91011111四解(1)3分Log(x)00.18230.33650.47000.6931Log(y)1.50411.58511.665

19、81.74751.9095x與log(y)呈線性關(guān)系，經(jīng)驗(yàn)公式形式為夕log(y)=1.098+0.406x,或者 y = 31S五解(1)dy j(x-200) i=x(100-20y)/ -20i 100z -x %200- 八(e y )(e x )= c4 分 TOC o 1-5 h z 記/(x, y) = (。一2卬。乂二/小),= i 000,200)2 分(2)平衡點(diǎn)為(2000, 500)(3) 20%3+3分六解(1)4=0.9向=0.6, n*=l/o.818/o.446.2 = 1.1,增長率 10%o4 分a =4 =036也=0.71.4 分10-11-3.數(shù)學(xué)建模

20、的一般步驟是 O.請(qǐng)列舉至少4個(gè)本課程中你最感興趣的數(shù)學(xué)模型 0.非線性方程/(.X)= 0的牛頓切線法公式為：.描述種群增長的Logistic方程為(=0,1x(1 x0000)，M0) = IO。，該種群增長最快的時(shí)刻為.考慮撲食與被鋪食模型,則其周期平均值為:x = 0.l 工-0.0001肛v = -0.5y + 0.00005.1/26.馬爾可夫鏈乃川二廝1/31/21/4 1/41/3 1/3 ,開“ =%也,q,4十及十C。二 1的平衡態(tài)1/4 1/4為： TOC o 1-5 h z .考慮種群增長模型x = r(x)工，下述哪個(gè)條件不是阻滯增長模型條件。()A o r(x) =

21、 -1 + 10.r-x2B o r(x) = -ln(x/IOOO)Co r(.v) = l+.v/1000D, r(x) = l-.v/1000.非線性差分方程M + l) = 3x(kXlf(k)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A. 0B01Co 2Do 3.泛函 1。)=工(不一比0)2修取極值的必要條件是()A ././_2代工2x = 0B0 tx-x0C.小”+2田2x二0Co txx = 010 .請(qǐng)寫出初值問題y(0) = 1（0 x0),則參數(shù)力的取值范用為。7記a(無)= (%(“),%(%)，%)考慮考氏鏈0.4a(k + I) = a(左)0.40.3其正平衡點(diǎn)為。0.3 0.

22、30.4 0,2 r a(0)=(0,30403)0.2 0.58輪渡船上甲板總面積為A。它能運(yùn)載小轎車，每輛小轎車所占甲板面枳為C ,能運(yùn)載卡 車，每輛卡車所占甲板面積為L o每輛小轎車要付渡船費(fèi)p元；每輛卡車要付q元。調(diào) 度想知道在渡船匕運(yùn)載多少輛小轎車(x)和多少輛卡車(y)才能獲取最大的利潤？ 下列哪一個(gè)選項(xiàng)給出利澗函數(shù)及需滿足的約束條件？()xp + yq ,滿足xL Axp + yq ,滿足 xC yL A(x + y)(p + q)，滿足xC + yL A(x+y)(p+q),滿足(x + yKC + ) 4 /9下面哪一個(gè)選項(xiàng)最接近小轎車從靜止開始起步的的速度變化模型？()A

23、1 一 J B(1 -X)2Ct -t2 D l + e-r10模型檢驗(yàn)是建模過程中的必要步驟，以下哪一個(gè)選項(xiàng)不是常見的模型檢驗(yàn)過程。()A已知數(shù)據(jù)回代B分析參數(shù)變化對(duì)結(jié)果影響C與相關(guān)模型作對(duì)比分析D對(duì)未來趨勢作預(yù)測二(10分)假設(shè)某種物資有10個(gè)產(chǎn)地，5個(gè)銷售地，第i個(gè)產(chǎn)地產(chǎn)量為力,第j個(gè)銷售地的 105Z ai 人i需求量為“，其中白 內(nèi)。由產(chǎn)地i到銷售地j的距離為%,問如何安排運(yùn)輸,才 能既滿足各地銷售要求，又使運(yùn)輸總噸公里數(shù)(噸公里指運(yùn)輸量x路程)最少？請(qǐng)建立該 問題的數(shù)學(xué)模型(不需求解，記產(chǎn)地i到銷售地j的運(yùn)輸局為x“ )2 4-三（12分）已知三階成對(duì)比較矩陣4=x（1）將矩陣A的元素補(bǔ)齊（2）如果A是一致矩陣，x = ?（3）當(dāng)* = 5時(shí),該矩陣一致性是否在可接受范圍內(nèi)? （ 3階隨機(jī)一致性指標(biāo)為0.58）四（12分）已知一組數(shù)據(jù)X13579y3.665.47&.1512.1718.15（1）已知y =用最小二乘法估計(jì)4 b侑（保留到小數(shù)點(diǎn)后2位）（2）估計(jì)x = 1 5時(shí)的y值o五(12分)假設(shè)存在某種藥物，當(dāng)其濃度不低于loo亳克/升時(shí)，q以治療疾病。剛