動(dòng)量和角動(dòng)量習(xí)題

1、習(xí)題4-1. 如圖所示的圓錐擺，繩長為 l ，繩子一端固定，另一端系一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)，以勻角速 繞鉛直線作圓周運(yùn)動(dòng)，繩子與鉛直線的夾角為 。在質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 一周的過程中，試求：（ 1）質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量 I； （2）質(zhì)點(diǎn)所受張力 T 的沖量 IT。 解：tP（ 1）根據(jù)沖量定理：FdtdPP其中動(dòng)量的變化： mv mv0 在本題中，小球轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，速度沒有變化，動(dòng)量的變化就為0，沖量之和也為 0，所以本題中質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量I 為零（2）該質(zhì)點(diǎn)受的外力有重力和拉力，且兩者產(chǎn)生的沖量大小相等，方向相 反。重力產(chǎn)生的沖量 =mgT= 2 mg/ ；所以拉力產(chǎn)生的沖量 2 mg/ ，方向?yàn)樨Q

2、直 向上。4-2. 一物體在多個(gè)外力作用下作勻速直線運(yùn)動(dòng)， 速度 =4m/s。已知其中一力 F 方向恒與運(yùn)動(dòng)方向一致，大小隨時(shí)間變化內(nèi)關(guān)系曲線為半個(gè)橢圓，如圖。求：（1）力 F 在 1s到 3s 間所做的功；（ 2）其他力在 1s到 s 間所做的功。 解：（1）由做功的定義可知：（ 2）由動(dòng)能定理可知，當(dāng)物體速度不變時(shí)，外力做的總功為零，所以當(dāng)該F做的功為 125.6J 時(shí)，其他的力的功為 -125.6J。4-3. 質(zhì) 量 為 m 的 質(zhì) 點(diǎn) 在 Oxy 平 面 內(nèi) 運(yùn) 動(dòng) ， 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 程 為 r acos ti bsin tj ，求：（ 1）質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的動(dòng)量；（2）從 t 0到

3、t 2 / 的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受到的沖量。 解：（1）根據(jù)動(dòng)量的定義： P mv m（ asin tibcos tj）（ 2 ）從 t 0 到 t 2 / 的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受到的沖量等于它在這段時(shí)間內(nèi)動(dòng) 量的變化，因?yàn)閯?dòng)量沒變，所以沖量為零。4-4.質(zhì)量為 M=2.0kg 的物體（不考慮體積） ，用一根長為 l=1.0m 的細(xì)繩懸掛 在天花板上。今有一質(zhì)量為 m=20g 的子彈以 v0 =600m/s 的水平速度射穿物體。剛 射出物體時(shí)子彈的速度大小 v =30m/s ，設(shè)穿透時(shí)間極短。求：（1）子彈剛穿出時(shí)繩中張力的大??；（2）子彈在穿透過程中所受的沖量。 解：（ 1）解：由碰撞過程動(dòng)量守恒可得：mv

4、0 mv Mv1代入數(shù)據(jù) 0.02 600 0.02 30 2v1 可得： v1 5.7m/ s根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律： T-G=M vRT M g MvR184. 6N2）根據(jù)沖量定理可得：I mv mv00.02 570 11.4N s4-5. 一靜止的原子核經(jīng)放射性衰變產(chǎn)生出一個(gè)電子和一個(gè)中微子，巳知電子 的動(dòng)量為 1.2 10 22 kg m/s ，中微子的動(dòng)量為 6.4 10 23kg m/s ，兩動(dòng)量方向 彼此垂直。 （ 1）求核反沖動(dòng)量的大小和方向； （ 2）已知衰變后原子核的質(zhì)量為 5.8 10 26kg ，求其反沖動(dòng)能。由碰撞時(shí)，動(dòng)量守恒，分析示意圖，可寫成分量式：所以 P 1.

5、4 10 22kg m/s 151.92）反沖的動(dòng)能為：EkP22m0.17 10 18 J4-6. 一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時(shí)所受的合力大小為 F 400 4 105t /3，子 彈從槍口射出時(shí)的速率為 300m/s 。設(shè)子彈離開槍口處合力剛好為零。求：（1）子彈走完槍筒全長所用的時(shí)間 t ；（ 2）子彈在槍筒中所受力的沖量 I ；（ 3 ）子彈的質(zhì)量。解：（1）由 F 400 4 105t / 3和子彈離開槍口處合力剛好為零，則可以2）由沖量定義：3）由動(dòng)量定理：得到： F 400 4 105t /3 0算出 t=0.003s。0.003I Fdt P mv 0.6N s 所以： m 0.6

6、/ 300 0.002kg4-7. 有質(zhì)量為 2m的彈丸，從地面斜拋出去，它的落地點(diǎn)為xc 。如果它在飛 行到最高點(diǎn)處爆炸成質(zhì)量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水 平拋出，它們同時(shí)落地。問第二塊碎片落在何處。解：在爆炸的前后，質(zhì)心始終只受重力的作用，因此，質(zhì)心的軌跡為一拋物 線，它的落地點(diǎn)為 xc。xcm1x1 m2x2m1 m2因?yàn)?m1 m2 m ，x1xc2xcmxc 2mx24m,x2332xc4-8. 兩個(gè)質(zhì)量分別為接，放在光滑的水平面上。m1和 m2的木塊 A、B ，用一勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧連A 緊靠墻。今用力推 B 塊，使彈簧壓縮 x0 然后釋放。已知 m1 m

7、， m2 3m ）求：（1）釋放后 A、B 兩滑塊速度相等時(shí)的瞬時(shí) 速度的大??；（2）彈簧的最大伸長量。 解：分析題意，可知在彈簧由壓縮狀態(tài)回到原長時(shí)，是彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)換 為 B 木塊的動(dòng)能，然后 B 帶動(dòng) A 一起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)動(dòng)量守恒，可得到兩者相同的 速度 v ，并且此時(shí)就是彈簧伸長最大的位置，由機(jī)械能守恒可算出其量值。所以1 2 1 2 1 2（2） m2v20kx（ m1 m2）v2 0 2 21那么計(jì)算可得： x 1x024-9. 二質(zhì)量相同的小球， 一個(gè)靜止， 一個(gè)以速度 0與另一個(gè)小球作對心碰撞， 求碰撞后兩球的速度。 （ 1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的； （2）假設(shè)碰撞是完全彈性

8、的；（ 3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù) e 0.5.解：由碰撞過程動(dòng)量守恒以及附加條件，可得（ 1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同的速度前行：mv0 2mv所以：1v 2v0（2）假設(shè)碰撞是完全彈性的， 兩球交換速度， v1 0v2 v03）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù) e 0.5 ，也就是3v2v041所以： v1 1v044-10. 如圖， 光滑斜面與水平面的夾角為30 ，輕質(zhì)彈簧上端固定 今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為 M 1.0kg 的木塊， 木塊沿斜面從靜止開始向下 滑動(dòng)當(dāng)木塊向下滑 x 30cm 時(shí)，恰好有一質(zhì)量 m 0.01kg 的子彈，沿水平方向以速度 v 200m/s 射中木塊并陷在

9、其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為 k 25N/ m。求子彈打入木塊后它們的共同速度。解：由機(jī)械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿 斜面方向動(dòng)量守恒，可得：112Mv12 2kx2 Mgx sinv1 0.83 （碰撞前木快的速度 ）4-11. 水平路面上有一質(zhì)量 m1 5kg 的無動(dòng)力小車以勻速率 0 2m/s 運(yùn)動(dòng)。 小車由不可伸長的輕繩與另一質(zhì)量為 m2 25kg 的車廂連接， 車廂前端有質(zhì)量為 m3 20kg的物體，物體與車廂間摩擦系數(shù)為0.2 。開始時(shí)車廂靜止， 繩未拉緊。求：（1）當(dāng)小車、車廂、物體以共同速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體相對車廂的位移；（2）從繩繃緊到三者達(dá)到共同速度所

10、需要的時(shí)間。（車與路面間摩擦不計(jì)，取 g=10m/s2）解：（1）由碰撞過程動(dòng)量守恒，可得2) m3v m3gt0.20.2 100.1s4-12. 一質(zhì)量為 M 千克的木塊，系在一固定于墻壁的彈簧的末端，靜止在光 滑水平面上， 彈簧的勁度系數(shù)為 k .一質(zhì)量為 m 的子彈射入木塊后， 彈簧長度被壓 縮了 L .（1）求子彈的速度； （2）若子彈射入木塊的深度為 s ，求子彈所受的平均阻力。 解：（1）碰撞過程中子彈和木塊動(dòng)量守恒，碰撞結(jié)束后的運(yùn)動(dòng)由機(jī)械能守恒 條件可得，計(jì)算得到： v0 L k（ m M）m （2）子彈射入木快所受的阻力做功使子彈動(dòng)能減小，木塊動(dòng)能增加，兩次 作功的位移差為

11、s，所以：fx 1 Mv 2其中 x x s2所以：2MkL22ms4-13. 質(zhì)量為 M 、長為 l 的船浮在靜止的水面上，船上有一質(zhì)量為m 的人，開始時(shí)人與船也相對靜止，然后人以相對于船的速度 u 從船尾走到船頭，當(dāng)人走 到船頭后人就站在船頭上，經(jīng)長時(shí)間后，人與船又都靜止下來了。設(shè)船在運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力與船相對水的速度成正比， 即 fkv .求在整個(gè)過程中船的位移x.4-14 以初速度 0 將質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)以傾角 從坐標(biāo)原點(diǎn)處拋出。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在 Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算任一時(shí)刻：（ 1）作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩 M；（ 2）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 Lmgv02cos t

12、 2k解：（ 1） Mr Fmgv0 cos tkt2） L r mv Mdt04-15 人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)離地心 r1=2R，（R為地球半徑） ，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心 r2=4R。 求：（ 1）衛(wèi)星在近地點(diǎn)及遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速率1 和 2（用地球半徑 R 以及地球表面附近的重力加速度 g 來表示）；（ 2）衛(wèi)星運(yùn)行軌道在近地點(diǎn)處的軌跡的曲率半徑。解：利用角動(dòng)量守恒： L r1mv1 r2mv22v1 4v2同時(shí)利用衛(wèi)星的機(jī)械能守恒，所以：所以： v12R3g v2R6gMmv28（ 2） G0 2 m 可得到： R234-16 火箭以第二宇宙速度 v22Rg 沿地球表面切向飛出，如圖所示。在飛 離地球過程

13、中，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作，不計(jì)空氣阻力，求火箭在距地心 4R 的 A處的速度。解：第二宇宙速度 E 0 ，由機(jī)械 能守恒 :v2 2Rg 代入： 30思考題 44-1. 一 粒子初時(shí)沿 x軸負(fù)向以速度 v運(yùn)動(dòng)， 后被位于坐標(biāo)原點(diǎn)的金核所散射，使其沿與 x軸成 120 的方向運(yùn)動(dòng) （ 速庹大小不變 ）試用矢量在圖上表出粒 子所受到的沖量 I 的大小和方向。見圖 4-25 。4-2. 試用所學(xué)的力學(xué)原理解釋逆風(fēng)行舟的現(xiàn)象。 可用動(dòng)量定理來解釋。設(shè)風(fēng)沿與航向成角的方向從右前方吹來，以風(fēng)中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研究對象，m表示這塊空氣的質(zhì)量， v1和 v2分別表示它吹向帆面和離開帆面時(shí)的速度，由于帆

14、面比較光滑，風(fēng)速大小基本不變，但是由于 m 的速度方向改變了， 所以一定是受到帆的作用力， 根據(jù)牛頓第三定律， m 必然對帆有一個(gè)反作用力 f ，此力的方向偏向船前進(jìn)的方向，將 f 分解為 兩個(gè)分量，垂直船體的分量與水對船的阻力相平衡，與船的航向平行的分量就是 推動(dòng)帆及整個(gè)船體前進(jìn)的作用力。m14-3. 兩個(gè)有相互作用的質(zhì)點(diǎn) m1 和 m2（ m21 ），已知在不受外力時(shí)它們2的總動(dòng)量為零， m1 的軌跡如圖，試畫出 m2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。見圖 4-26 。4-4. 當(dāng)質(zhì)量為 m 的人造衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，常常列出下列三個(gè)方程： 試分析上述三個(gè)方程各在什么條件下成立。4-5. 在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南（斜向上）方向發(fā)射 一炮彈，對于炮車和炮彈這一系統(tǒng)，在此過程中（忽略冰面摩擦力及空氣阻力） 哪些量守恒？對于這個(gè)系統(tǒng)，能量守恒，因