2022屆海南省?？谑懈呷龑W(xué)生學(xué)能力診斷（二）數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 17 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁2022屆海南省海口市高三學(xué)生學(xué)能力診斷（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】A【分析】先求出集合，然后再根據(jù)交集和補(bǔ)集運(yùn)算得出答案.【詳解】由解得或，即.又或，所以故選：A2復(fù)數(shù)的虛部為（）ABCD【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由已知得，則復(fù)數(shù)的虛部為，故選：D.3已知x，且，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C

2、【分析】求出不等式的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】因?yàn)椋?，則“”兩邊同除以即可得到“”，反過來同乘以即可，故“”是“”的充要條件故選：C.4在核酸檢測時，為了讓標(biāo)本中DNA的數(shù)量達(dá)到核酸探針能檢測到的閾值，通常采用PCR技術(shù)對DNA進(jìn)行快速復(fù)制擴(kuò)增數(shù)量在此過程中，DNA的數(shù)量（單位：）與擴(kuò)增次數(shù)n滿足，其中為DNA的初始數(shù)量已知某待測標(biāo)本中DNA的初始數(shù)量為，核酸探針能檢測到的DNA數(shù)量最低值為，則應(yīng)對該標(biāo)本進(jìn)行PCR擴(kuò)增的次數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A5B10C15D20【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程，利用指數(shù)與對數(shù)的互化即可求解.【詳解】由題意知，令，

3、得，取以10為底的對數(shù)得，所以故選：B.5設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）A9B8C7D6【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡可得.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以故選：C.6已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為，以為圓心，為半徑的圓與E交于點(diǎn)P，若，則E的離心率為（）AB2CD3【答案】D【分析】設(shè)，設(shè)線段的中點(diǎn)為M，則，在中，可得，從而可得出答案.【詳解】設(shè) ，根據(jù)題意可得，為銳角則，設(shè)線段的中點(diǎn)為M，則在中，則，所以,即，即得E的離心率故選：D7如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，其面積為，兩個圓弧所在的圓半徑分別為2

4、和4，則該圓臺的體積為（）ABCD【答案】D【分析】由條件結(jié)合扇形面積公式可求圓臺的上下底面的半徑，結(jié)合圓臺的軸截面圖形可求圓臺的高，利用圓臺體積公式求其體積.【詳解】圓臺的側(cè)面展開圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為，則其面積為，得，所以扇環(huán)的兩個圓弧長分別為和，設(shè)圓臺的上底半徑，下底半徑分別為，圓臺的高為，則所以，又圓臺的母線長所以圓臺的高為，所以圓臺的體積為故選：D.8已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若，則（）ABCD【答案】B【分析】分析可知是偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義推導(dǎo)出，利用已知條件求出的值，即可求得的值.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱，則是偶函數(shù)，且，所以，對任意的恒成

5、立，所以，因?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，所以，因此，.故選：B.二、多選題9一組樣本數(shù)據(jù)，的平均數(shù)和中位數(shù)均為5，若去掉其中一個數(shù)據(jù)5，則（）A平均數(shù)不變B中位數(shù)不變C極差不變D方差不變【答案】AC【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差概念求解即可.【詳解】假設(shè)，則原來的中位數(shù)為，去掉后，平均數(shù)和極差不變，故A，C正確.中位數(shù)為，這個值不一定為5，所以B不正確對于D，原來的方差為，去掉后，新的方差，因?yàn)槿サ舻臄?shù)據(jù)恰好等于平均值，所以剩下的數(shù)據(jù)的方差不變或增大故選：AC10已知，則（）ABCD【答案】BD【分析】根據(jù)商的關(guān)系化簡條件可求，利用平方關(guān)系求，再由商的關(guān)系求，再利用，結(jié)合二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系

6、求，.【詳解】因?yàn)椋?所以，又 ，所以，故A錯誤，B正確，所以，故C錯誤，D正確故選：BD.11如圖所示，正方體的棱長為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，則（）A平面B平面C平面截正方體的截面面積為3D點(diǎn)D到平面的距離為【答案】AD【分析】如圖所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接GE和GA，GE與交于點(diǎn)I，連接與交于點(diǎn)H，連接HI平面截正方體所得的截面即，然后逐個分析判斷即可【詳解】如圖所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接GE, 和GA，GE與交于點(diǎn)I，連接與交于點(diǎn)H，連接HI平面截正方體所得的截面即因?yàn)樵谡襟w中，分別為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?/p>

7、平面， 平面，所以平面，故A正確；在矩形中可看出與HI不垂直，所以與平面不垂直，故B錯誤；截面是一個等腰梯形，上底，下底，在矩形中，所以，所以，故C錯誤；，所以,因?yàn)?，所以，所?設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為，則,，所以，得，即點(diǎn)D到平面的距離為，所以D正確，故選：AD12已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則（）A在上單調(diào)遞增B在上有極小值C的最小值為-1D的最小值為0【答案】ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求出函數(shù)的解析式，由此可得函數(shù)的解析式，再由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值的關(guān)系判斷各選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，所以（C為常數(shù)），所以，又，所以，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在處取得極

8、小值，因?yàn)椋裕栽谏嫌袠O小值可知A，B都正確，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以的極小值即最小值為，故C錯誤，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，而當(dāng)時，所以的最小值為0，故D正確故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于通過構(gòu)造函數(shù)，利用所給條件求出函數(shù)函數(shù)解析式.三、填空題13函數(shù)的最小正周期為_【答案】【分析】利用正弦函數(shù)的周期公式直接求解即可【詳解】的最小正周期為故答案為：14已知向量，的夾角為45，且，若，則_【答案】-2【分析】先利用數(shù)量積的運(yùn)算求解，再利用向量垂直數(shù)量積為0即可求解.【詳解】因?yàn)榈茫忠驗(yàn)?，所以，所以故答案為?2.15第二屆消博會（中國國際消費(fèi)品博覽會）于2022年5

9、月在海南國際會展中心舉辦，甲、乙兩人每人從A，B，C，D四個不同的消博會展館中選2個去參觀，則他們參觀的展館不完全相同但都參觀A展館的概率為_【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到全部基本事件為36種，再用列舉法列出符合條件的基本事件，即可得到答案.【詳解】甲選2個去參觀，有種方法，乙選2個去參觀，有種方法，所以共有種，他們參觀的展館不完全相同但都參觀A展館的情況有：，共6種，所以對應(yīng)的概率為故答案為：16已知拋物線的焦點(diǎn)為F，第一象限的A，B兩點(diǎn)在C上，若，則直線AB的斜率為_【答案】【分析】利用拋物線的幾何性質(zhì)，以為斜邊，構(gòu)建直角三角形即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)C的準(zhǔn)線為l，分別過A，B作l

10、的垂線，垂足分別為D，E，過A作于點(diǎn)P由拋物線的定義可知，所以又因?yàn)椋?，所以直線AB的斜率故答案為：.【點(diǎn)睛】四、解答題17在中，角的對邊分別為已知，(1)求；(2)若，邊的中點(diǎn)為，求【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及正弦定理即可求解；（1）根據(jù)已知及線段中點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】(1)在中，由正弦定理，得(2)由及，得，中，由余弦定理，得，即，解得或（舍），所以，又因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)為，所以即，在中，由余弦定理得，所以18已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)且互不相等，記為的前n項(xiàng)和，從下面中選取兩個作為條件，證明另外一個成立數(shù)列是等比數(shù)列；數(shù)列是等比數(shù)列；注：如選擇不同的組

11、合分別解答，則按第一個解答計分【答案】證明見解析【分析】選擇為條件，為結(jié)論根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比中項(xiàng)即可求解；選擇為條件，為結(jié)論，據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解；選擇為條件，為結(jié)論，據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出，再利用與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】選擇為條件，為結(jié)論證明過程如下：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知且則，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，展開整理得，所以，即選擇為條件，為結(jié)論，證明過程如下：設(shè)的公比為q，由題意知且因?yàn)?，即，因?yàn)椋运?，所以因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公

12、比為的等比數(shù)列選擇為條件，為結(jié)論，證明過程如下：設(shè)的公比為，由題意知且則，所以，又因?yàn)?，且，所以所以?dāng)時，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列19如圖，正三棱柱的高和底面邊長均為2，點(diǎn)P，Q分別為，BC的中點(diǎn)(1)證明：平面平面；(2)求直線BP與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由于是正三角形，為BC的中點(diǎn)，可得，再由正棱柱的性質(zhì)得，則由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）設(shè)線段AC，的中點(diǎn)分別為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，所在直線為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】(1)因?yàn)槭钦切危瑸锽C的中點(diǎn)，

13、所以，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?2)設(shè)線段AC，的中點(diǎn)分別為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，所在直線為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)檎庵牡酌孢呴L和高均為2，所以，所以，設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則設(shè)直線BP與平面所成角為，則，所以直線BP與平面所成角的正弦值為20為落實(shí)體育總局和教育部發(fā)布的關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見，某校組織學(xué)生加強(qiáng)100米短跑訓(xùn)練在某次短跑測試中，抽取100名男生作為樣本，統(tǒng)計他們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)）(1)若規(guī)定男生短跑成績小

14、于13.5秒為優(yōu)秀，求樣本中男生短跑成績優(yōu)秀的概率(2)估計樣本中男生短跑成績的平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(3)根據(jù)統(tǒng)計分析，該校男生的短跑成績X服從正態(tài)分布，以（2）中所求的樣本平均數(shù)作為的估計值若從該校男生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績在以外的人數(shù)為Y，求附：若，則【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先由頻率分布直方圖求出，然后可得出答案.(2)根據(jù)平均數(shù)的公式可得答案.(3) 由（2）知,由正態(tài)分布求出該校男生短跑成績在以外的概率，根據(jù)題意，從而可得答案.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得，解得，所以樣本中男生短跑成績優(yōu)秀的概率為(2)估計樣本中男生短跑成績的平

15、均數(shù)為(3)由（2）知，所以，所以該校男生短跑成績在以外的概率為根據(jù)題意，所以21已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)(1)求C的方程；(2)動直線l與圓相切，與C交于M，N兩點(diǎn)，求O到線段MN的中垂線的最大距離【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意列出方程組，再解方程組即可.（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，到中垂線的距離為0當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，根據(jù)直線與圓相切得到，求出中垂線得到到中垂線的距離為，再利用基本不等式即可得到答案.【詳解】(1)由題知：，解得.所以的方程為(2)當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，線段MN的中垂線為軸，此時到中垂線的距離為0當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，因?yàn)榕c圓相切，則到的距離為，所以聯(lián)立方程，得，則，可得的中點(diǎn)為則MN的中垂線方程為，即因此到中垂線的距離為（當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立）綜上所述，到線段MN的中垂線的最大距離為22已知函數(shù)，(1)若，求的最小值；(2)若當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍【答案】(1)1(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最小值，（2）設(shè)，由題意對任意恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值大于零即可【詳解】(1)當(dāng)時，