2022屆福建省三明市第一中學(xué)（三明市）普通高中高三5月質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 21 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 21 頁2022屆福建省三明市普通高中高三5月質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)實(shí)數(shù)集為R，集合，則（）ABCD【答案】B【分析】解出B集合，得到B的補(bǔ)集的范圍，再與A取交集.【詳解】解得，故選：B.2已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，求即可.【詳解】由題設(shè)知：.故選：A3若，則（）ABCD【答案】A【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，倍角公式即可得出答案,【詳解】.故選：A.4

2、已知，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【分析】前者推后者可以用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，后者推不出前者舉反例【詳解】若，則為增函數(shù)所以，即即當(dāng)時，所以故選：A5已知，則（）ABCD【答案】B【分析】由分析知：，即可得出答案.【詳解】，因?yàn)?弧度在第二象限，所以，所以：.故選 :B.6某校為落實(shí)“雙減”政策.在課后服務(wù)時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動，現(xiàn)有甲乙丙丁四名同學(xué)擬參加籃球足球乒乓球羽毛球四項(xiàng)活動，由于受個人精力和時間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動，則恰有兩人參加同一項(xiàng)活動的概率為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)排列組

3、合知識計算出事件發(fā)生的種類數(shù)，再利用古典概型的概率公式求出概率.【詳解】每人有種選擇，四人共有種選擇，其中恰有兩人參加同一項(xiàng)活動共有種選擇，所以四人中恰有兩人參加同一項(xiàng)活動的概率為：故選：C.7已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則（）A-8B-3C-2D8【答案】B【分析】先由求,判斷出從第二項(xiàng)起為公比為-1的等比數(shù)列，得到，代入n=2022即可解出.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時，有，即.當(dāng)時，有，-得：，所以，即，所以從第二項(xiàng)起為公比為-1的等比數(shù)列.所以，即.因?yàn)?，所以，所?所以，解得：-3.故選：B8已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）ABCD【答案】D【分析】令，再參變分離得到，再求導(dǎo)

4、分析的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即有兩根，又，故可轉(zhuǎn)換為有兩根，令， 則，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)與時，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題，需要根據(jù)題意參變分離，再求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值，屬于難題二、多選題9的二項(xiàng)展開式中，第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）AB常數(shù)項(xiàng)為84C各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為512D系數(shù)最小項(xiàng)為第5項(xiàng)【答案】AC【分析】利用第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求出，判斷A選項(xiàng)；寫出展開式的通項(xiàng)公

5、式，求出常數(shù)項(xiàng)，判斷B選項(xiàng)，賦值法求解各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和，判斷C選項(xiàng)，由通項(xiàng)公式可判斷奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，故D選項(xiàng)錯誤.【詳解】由題意得：，所以，A正確；的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得：，故，B錯誤；各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為，C正確；由通項(xiàng)公式可知，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，故系數(shù)最小項(xiàng)不可能為第5項(xiàng)，D錯誤故選：AC10將函數(shù)（）的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則（）AB關(guān)于直線對稱C在區(qū)間上單調(diào)遞增D若在區(qū)間上存在零點(diǎn)和極值點(diǎn)，則整數(shù)a的最小值為2023【答案】BCD【分析】由已知得，將看作一個整體，即可求得函數(shù)的對稱軸，遞增區(qū)間，零點(diǎn)

6、與極值點(diǎn).【詳解】是偶函數(shù)，又，所以，所以對稱軸方程為，即，當(dāng)時，B正確；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，C正確；，在上的圖象與圖象相同，存在零點(diǎn)和極值點(diǎn)，又為整數(shù)，所以a的最小值為2023，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（）A的最小值為B若圓C關(guān)于直線l對稱，則C若，則或D若A，B，C，O四點(diǎn)共圓，則【答案】ACD【分析】判斷出直線過定點(diǎn)，結(jié)合勾股定理、圓的對稱性、點(diǎn)到直線的距離公式、四點(diǎn)共圓等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】直線過點(diǎn)，圓，即，圓心為，半徑為，由于，所以在圓內(nèi).，所以，此時，所以A選項(xiàng)正

7、確.若圓關(guān)于直線對稱，則直線過兩點(diǎn)，斜率為，所以B選項(xiàng)錯誤.設(shè)，則，此時三角形是等腰直角三角形，到直線的距離為，即，解得或，所以C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，若四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心為，的中點(diǎn)為，所以的垂直平分線為，則，圓的方程為，整理得，直線是圓和圓的交線，由-并整理得，將代入上式得，由解得，所以直線即直線的斜率為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求解直線和圓位置關(guān)系有關(guān)題目，首先要注意的是圓和直線的位置，是相交、相切還是相離.可通過點(diǎn)到直線的距離來判斷，也可以通過直線所過定點(diǎn)來進(jìn)行判斷.12已知棱長為4的正方體中，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動，且總滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A點(diǎn)P的軌跡所圍

8、成圖形的面積為5B點(diǎn)P的軌跡過棱上靠近的四等分點(diǎn)C點(diǎn)P的軌跡上有且僅有兩個點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6D直線與直線MP所成角的余弦值的最大值為【答案】ACD【分析】首先根據(jù)動點(diǎn)滿足的條件及正方體的結(jié)構(gòu)特征得到動點(diǎn)的軌跡，然后利用軌跡的特征判斷選項(xiàng)A，B，C，對于選項(xiàng)D，將線線角轉(zhuǎn)化為線面角，運(yùn)用線面角的定義找出線面角進(jìn)行求解.【詳解】如圖，過點(diǎn)M作，在上取一點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)作，連接，易知， 四點(diǎn)共面；又，面，即點(diǎn)的軌跡為矩形（不含點(diǎn)），設(shè)，則 又 解得 ，即， 對于A，矩形的面積為：，A正確；對于B，B錯誤；對于C， 在中，到的距離范圍是： 上存在一點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6；在中，到的距離范圍是： 上存在一

9、點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6；但在、中不存在到點(diǎn)C的距離為6的點(diǎn)，C正確；對于D，直線與直線所成的最小角就是直線與平面所成的角，直線與平面所成的即是直線與平面所成的角，延長交于點(diǎn)，則即是直線與平面所成的角， 在中， ，D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)軌跡，點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線線角、線面角以及幾何體中一些線段的最值，考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，屬于難題.三、填空題13已知函數(shù)，則_.【答案】-2【分析】由函數(shù)解析式，直接代入求解.【詳解】因?yàn)?，所以故答案為?214若單位向量，滿足，則與的夾角為_【答案】【分析】先將兩向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，再利用向量夾角公式求解.【詳解

10、】已知，由，得，即，所以，又，所以與的夾角故答案為：.【點(diǎn)睛】向量是解決垂直與平行問題的常用工具，幾何中常用到以下結(jié)論轉(zhuǎn)化向量的垂直與平行問題：；.15已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對稱的點(diǎn)為B，且滿足，則該雙曲線的離心率為_.【答案】【分析】利用雙曲線的定義，結(jié)合，且，由是矩形，且 ，利用勾股定理求解.【詳解】解：如圖所示：由雙曲線的定義得：，又，且，所以是矩形，且 ，又因?yàn)?，即，解得，故答案為?6孫子算經(jīng)是我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作.在孫子算經(jīng)中有“物不知數(shù)”問題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？意思是一個整除以三余二，除以五余三除

11、以七余二，求這個整數(shù).設(shè)這個整數(shù)為a，當(dāng)時，符合條件的a的個數(shù)為_.【答案】10【分析】根據(jù)“被3除余2、被5除余3、被7除余2”可構(gòu)成等差數(shù)列，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，5，7的最小公倍數(shù)為105，而滿足被3除余2、被5除余3、被7除余2的最小正整數(shù)為23，所以被3除余2、被5除余3、被7除余2的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23，公差為105的等差數(shù)列，記為數(shù)列，則，所以，則，又因?yàn)?，所以符合條件的a的個數(shù)為10.故答案為：10.四、解答題17已知等比數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公

12、式求出、，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；【詳解】(1)解：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，設(shè)公比為，所以，所以，所以；(2)解：因?yàn)?，所?8如圖，在中，已知，.Q為BC的中點(diǎn). (1)求AQ的長；(2)P是線段AC上的一點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時，.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：根據(jù)，兩邊平方求解；解法二：利用，再結(jié)合余弦定理求解（2）在中，先根據(jù)余弦定理求得，再在中，由余弦定理得的正余弦，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)角和，結(jié)合兩角和差的正弦公式求解，最后再在中，由正弦定理求得即可【詳解】(1)解法一：因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以所以，即解法二：在中，由余弦定理得，所以，即在中，根據(jù)余弦定

13、理得在中，根據(jù)余弦定理得因?yàn)?，所以解?(2)在中，由余弦定理得.所以，即在中，由余弦定理得所以，因?yàn)?，所?在中，由正弦定理得，所以，即當(dāng)時，.19為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，吸收前人在修身處世治國理政等方面的智慧和經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)浩然正氣，塑高尚人格，不斷提高學(xué)生的人文素質(zhì)和精神境界，某校舉行傳統(tǒng)文化知識競賽活動.競賽共有“儒”和“道”兩類題，每類各5題.其中每答對1題“儒”題得10分，答錯得0分；每答對1題“道”題得20分，答錯扣5分.每位參加競賽的同學(xué)從這兩類題中共抽出4題回答（每個題抽后不放回），要求“道”題中至少抽2題作答.已知小明同學(xué)“儒”題中有4題會作答，答對各個“道”題的概率均為.(1)若小

14、明同學(xué)在“儒”題中只抽1題作答，求他在這次競賽中得分為35分的概率；(2)若小明同學(xué)第1題是從“儒”題中抽出并回答正確，根據(jù)得分期望給他建議，應(yīng)從“道”題中抽取幾道題作答？【答案】(1)(2)小明應(yīng)從“道”題中抽取2道題作答【分析】（1）先分析出A表示“儒”題答錯，“道”題2對1錯，直接求概率；（2）設(shè)4題總得分為X，此時設(shè)“道”題中答對的題數(shù)為.分析出，得到.利用期望的線性運(yùn)算求出小明的總得分期望值； 當(dāng)小明選擇從“道”題中抽取3題作答，設(shè)答對題數(shù)為，4題總得分為Y，同理求出,比較，即可得到結(jié)論.【詳解】(1)記A=“小明在競賽中得3”，則A表示“儒”題答錯，“道”題2對1錯，所以(2)當(dāng)小

15、明選擇從“儒”題中抽取1題，“道”題中抽取2題作答時，設(shè)4題總得分為X，此時設(shè)“道”題中答對的題數(shù)為.則，.（i）“儒”題中的第二題答對時總得分（ii）“儒”題中的第二題答錯時總得分此時小明的總得分期望值當(dāng)小明選擇從“道”題中抽取3題作答，設(shè)答對題數(shù)為，4題總得分為Y，則，所以因?yàn)?，即小明?yīng)從“道”題中抽取12道題作答.20如圖，在五面體ABCDE中，已知，且，.(1)求證：平面平面ABC；(2)線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為，若存在，求CF的長度；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）證面面垂直，先證其中一個平面內(nèi)的直線AC垂直另一個平面BCD

16、；（2）由第一問結(jié)論，建立合適的坐標(biāo)系，用空間向量求解即可.【詳解】(1)取AC中點(diǎn)G，連接EG，因?yàn)椋?，所以四邊形EDCG為平行四邊形，所以，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?因?yàn)椋珺C，CD是平面BCD內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BCD，因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面平面BCD.(2)解法一：在平面BCD內(nèi)過點(diǎn)C作BC的垂線l，因?yàn)槠矫鍮CD，所以lCA，CB兩兩相互垂直，故以C為坐標(biāo)原點(diǎn).如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，則，設(shè)平面AEF的法向量.則，即，不妨令，則，所以.設(shè)平面ABE的一個法向量為，則，即不妨令，所以所以.化簡得：，解得或（舍去），

17、故，所以.所以存在點(diǎn)F，當(dāng)時，二面角的余弦值為.解法二：取BCAB的中點(diǎn)OH，連接OD，OH，因?yàn)?，O是BC中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍮CD，平面平面BCD且交于BC，所以平面ABC，因?yàn)镠是AB中點(diǎn)，即，所以，故DO，OH，BC兩兩互相垂直，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，則，.設(shè)平面AEF的一個法向量為，則，即，不妨令，則，所以.又因?yàn)?，所以，所以四邊形DEHO為平行四邊形，即，因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又因?yàn)椋琀是AB中點(diǎn)，所以，因?yàn)镋H，AB為平面ABE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面ABE，故

18、CH是平面ABE的一個法向量，因?yàn)?，所?化簡得：，解得或（舍去），故，所以，所以存在點(diǎn)F，當(dāng)時，二面角的余弦值為.解法三：取BCAB的中點(diǎn)OH，連接OD，OH，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫鍮CD，平面平面BCD且交于BC，所以平面ABC.因?yàn)?，所以，所以四邊形DEHO為平行四邊形，即，因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又因?yàn)椋琀是AB中點(diǎn)，所以，因?yàn)镋H，AB為平面ABE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面ABE，假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)F，使二面角的余弦值為，過F作于點(diǎn)M，則平面ABE，過M作于點(diǎn)N，連接NF，則為二面角的平面角.設(shè)，則，所以，在中，所以.化簡得，解得或（舍去），即，所以

19、，所以存在點(diǎn)F，當(dāng)時，二面角的余弦值為21如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，過直線l：左側(cè)且不在x軸上的動點(diǎn)P，作于點(diǎn)H，的角平分線交x軸于點(diǎn)M，且，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知曲線C與x軸正半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T滿足，其中，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，代入動點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡即可；（2）注意到S點(diǎn)在x軸上，所以，將作為橋梁，合理利用，即可求解.【詳解】(1)設(shè)，因?yàn)檩S，所以，因?yàn)镻M為的角平分線，所以，所以，即，所以.即，化簡整理得，因?yàn)镻不在x軸上，即曲線C的方程為(2)易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為.聯(lián)立方程組，消x整理得，所以，得或，設(shè)，則，.由得，所以，設(shè)，由，得，所以，所以，所以點(diǎn)在直線上，且，又因?yàn)榕c關(guān)于直線對稱，所以是等腰三角形，（或者證明直線TS與直線的斜率互為相反數(shù)）所以，因?yàn)?，所以，綜