三函數(shù)的連續(xù)性

1、三函數(shù)的連續(xù)性一、 連續(xù)函數(shù)的概念 設(shè) 是連續(xù)函數(shù)，那么它的圖形是一條沒有連續(xù)點的連續(xù)曲線，如圖。 叫做函數(shù)的增量 由圖可知： 叫做自變量的增量 定義1 設(shè)函數(shù) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義 ，假設(shè)當自變量 的增量 趨于零時，相應(yīng)的函數(shù)的增量 也趨于零，即 那么稱函數(shù) 在點 處連續(xù)，點 叫做 的連續(xù)點。 例： 證明 在點 處連續(xù) 證： 因為 根據(jù)定義1，該函數(shù)在 處連續(xù) 因為： 所以由定義1可引出連續(xù)函數(shù)的第二個定義 。 定義2 設(shè)函數(shù) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義 ，且 ， 那么 在 連續(xù)。 即： 所以： 假設(shè) 那么稱 在 右連續(xù) 假設(shè) 那么稱 在 左連續(xù) 定義3 假設(shè) 在區(qū)間 內(nèi)每一點 都連續(xù)，那

2、么稱 在 內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，假設(shè) 在 內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，并且在 右連續(xù)，即 ，在 點左連續(xù)，即 ，那么稱 在 上連續(xù)。 例： 試證 在 內(nèi)連續(xù) 證明 設(shè) 是 內(nèi)任一點，且有 因為 所以 ， 該函數(shù)在 內(nèi)是連續(xù)函數(shù) 從以上三個定義可以看出，一個函數(shù)在 處連續(xù)必須滿員三個條件： 1、函數(shù) 在 及其附近有定義； 2、當 時， 的極限存在； 3、 在 的極限值等于函 數(shù) 在 的函數(shù)值。二、 初等函數(shù)的連續(xù)性定理1、 假設(shè)函數(shù) 和 在同一點 連續(xù)，那么函數(shù)在 點連續(xù)。換句話說：連續(xù)函數(shù)的和差積商仍為連續(xù)函數(shù)。定理2、 假設(shè)函數(shù) 是某個區(qū)間上的單調(diào) 連續(xù)函數(shù)，那么它的反函數(shù) 在相應(yīng)區(qū)間上也是單連續(xù)函數(shù)。定理3、

3、假設(shè)函數(shù) 在 點連續(xù)， 在 處連續(xù)，且 那么 在 點連續(xù)函數(shù)。也就是說連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性及上述三個定理得：一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。例例需要注意的一點，在復(fù)合函數(shù)求極限時，并不一定要求 在 點連續(xù)，只要 當 時極限存在，即 存在，它的極限值使的 連續(xù)即可。該函數(shù)是由復(fù)合而成在并不連續(xù)，但是存在，并且在 處連續(xù)。三、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1、有界性假設(shè)函數(shù) 在 連續(xù)，那么函數(shù) 在 上有界。即存在正數(shù)M，對于一切 有 。定理2、最大值、最小值假設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，那么函數(shù) 在 上必獲得最大值與最小值。例： 在 與 上不存在最大(小)值定理3、(介

4、值定理) 假設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，且在端點有不同的函數(shù)值， 那么對于 與 之間的任何一個數(shù) ，在 內(nèi)至少存在一點 ，使 。如圖特殊地假設(shè) 與 異號，那么在 內(nèi)至少存在一點 使例：證明方程 至少有一個小于2的 正根。 證明 設(shè) 那么有 函數(shù)值異號 此函數(shù)在 連續(xù)，根據(jù)定理3知在 之間至少存在一點 ，使得即方程 在 內(nèi)至少存在一個小于2的正根。 四、函數(shù)的連續(xù)點 函數(shù) 在 點不滿足連續(xù)函數(shù)三個條件當中其中一個條件，我們就說 在 點不連續(xù)，并把 點叫做 的連續(xù)點或不連續(xù)點。例1 在 處無意義，也就是沒有 定義，所以該函數(shù)在 處不連續(xù)。 但是 把這樣的連續(xù)點叫做函數(shù)的無窮型連續(xù)點或無窮型不連續(xù)點。例2

5、討論 在 處是否連續(xù) 因為 那么有 但是 所以 是該函數(shù)的不連續(xù)點或連續(xù)點 但是假設(shè)我們把這個函數(shù)修改成如下： 連續(xù)點 就變成了連續(xù)點，我們把這種經(jīng)過修改或補充能變成連續(xù)點的連續(xù)點，叫做可去型連續(xù)點。 例3 討論 在 處是否連續(xù)？ 解 因為該函數(shù)在 無定義， 是連續(xù)點。但 假設(shè)我們補充定義： 這樣 就變成了連續(xù)點，所以該連續(xù)點叫做可去型連續(xù)點。 例4 在 處的連續(xù)性 討論 該函數(shù)在 處有定義，但 解 所以 不存在 所以該函數(shù)在 處不連續(xù)，但該函數(shù)在 處曲線產(chǎn)生跳躍，我們把這種連續(xù)點叫做跳躍型連續(xù)點。我們把各種連續(xù)點分為兩類： 但凡左右極限都存在的連續(xù)點叫做第一類間斷點，除此之外的連續(xù)點都叫做第二類連續(xù)點。其中第一類連續(xù)點中，左右極限不相等者稱為跳躍型連續(xù)點，左右極限相等者稱為可去型連續(xù)點。練習1 在 處是否連續(xù)？ 練習2 在 是否連續(xù)？ 練習1 在 處是否連續(xù)？ 解 該函數(shù)在 處無定義，所以在該點 不連續(xù)。 但是 我們可以補充定義