五章節(jié)彎曲應力課件

1、第五章 彎曲應力5-1 對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖5-2 梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖5-3 平面剛架和曲桿的內力圖5-4 梁橫截面上的正應力 梁的正應力強度條件5-5 梁橫截面上的切應力 梁的切應力強度條件5-6 梁的合理設計5-1 對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖一、 彎曲的概念受力特點： 桿件在包含其軸線的縱向平面內，承受垂直于軸線 的橫向外力或外力偶作用。變形特點： 桿件的軸線由直線變?yōu)榍€。 梁：以彎曲為主要變形形式的構件稱為梁。 梁的縱向對稱面：梁的橫截面豎向對稱軸與梁的軸線組成的平面?？v向對稱面ABFAFBF1F2FF（b）墻梁（a）樓板樓板傳動軸二、工程實例非對稱彎曲： 若梁不

2、具有縱向對稱面，或者梁雖然具有縱向對稱面但外力并不作用在縱向對稱面內，這種彎曲統稱為非對稱彎曲。 三、彎曲的分類平面彎曲： 當外力作用在縱向對稱平面內時，梁發(fā)生彎曲變形后，軸線也將保持在此對稱平面內，梁的軸線成為一條平面曲線，這種彎曲叫做對稱彎曲，也稱為平面彎曲。（本章只解決平面彎曲問題）(1) 支座的基本形式第四章 彎曲應力(a)固定鉸支座 FRy(c)固定端MFRyFRxFRyFRx(b)固定鉸支座 四、 梁的計算簡圖懸臂梁(2) 梁的基本形式簡支梁外伸梁靜定梁在豎直荷載作用下，所示梁的內力和反力均可由靜力平衡方程求出。（圖a，b，c）(3) 靜定梁和超靜定梁超靜定梁內力和反力不能完全由靜

3、力平衡方程確定。（圖d，e）第四章 彎曲應力1）集中力。 作用在梁上某點的橫向力，常用單位為N或kN。2）集中力偶。 作用在梁軸線上某點處，且矩矢垂直于梁的縱向對稱平面（常用單位為Nm或kNm）。3）分布力。 沿梁長度方向連續(xù)分布的橫向力。分布荷載的大小可用單位長度上的荷載，即荷載集度q來表示，其常用單位為N/m或kN/m。第四章 彎曲應力（4）梁的荷載MeFqq(x)5-2 梁的剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖一、梁的剪力和彎矩FAlBFRAFRBxmm(a)FRAFSM(b)FRBFSMF(c)梁在豎向荷載作用下，其橫截面上的內力可以通過截面法求出來。剪力FS：沿截面切線方向的內力。單位為N或kN

4、彎矩M：梁的橫截面上作用在縱向平面內的內力偶矩。單位是N.m或kN.m剪力、彎矩符號的規(guī)定FSFSFSFS(a)(b)MMMM(a)(b)1剪力符號規(guī)定 截面上的剪力如果有使考慮的脫離體有順時針轉動的趨勢則為正，反之為負。2彎矩符號規(guī)定 截面上的彎矩如果使考慮的脫離體下側縱向纖維受拉為正，反之如果使考慮的脫離體上側縱向纖維受拉為負。二、內力計算FAlBFRAFRBxmm(a)FRAFSM(b)FRBFSMF(c)梁在截面mm上內力可由脫離體的平衡條件求得。根據左段梁的平衡條件，由平衡方程：可得 對截面mm的形心O取矩可得 例題51 試求圖a所示梁D截面上的剪力和彎矩。l/2l/2l/2FABC

5、D(a)FABCFRCFRB(b)FSDFACDFRCMD(c)FSDBDFRBMD(d)解：（1）求支反力FRC和FRB（圖b）。由平衡方程，解得（2）計算D截面上的剪力FSD和彎矩MD得 對截面mm的形心O取矩l/2l/2l/2FABCD(a)FABCFRCFRB(b)FSDFACDFRCMD(c)FSDBDFRBMD(d)得（上側纖維受拉） (1) 橫截面上的剪力在數值上等于截面左側或右側梁段上外力的代數和。左側梁段上向上的外力或右側梁段上向下的外力將引起正值的剪力；反之，則引起負值的剪力。第四章 彎曲應力F1FSM(a)FSMF2(b)左端脫離體右端脫離體 2）截面左側梁段上順時針轉向

6、的外力偶引起正值的彎矩，而逆時針轉向的外力偶則引起負值的彎矩；截面右側梁段上的外力偶引起的彎矩，其正負與之相反。(2) 橫截面上的彎矩在數值上等于截面左側或右側梁段上外力對該截面形心的力矩之代數和。 1） 不論在左側梁段上或右側梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負值的彎矩。F1FSM(a)M1FSMF2(b)M2左端脫離體右端脫離體三、 列方程作內力圖 剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上剪力和彎矩隨截面位置變化的函數式，它們分別表示剪力或彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。例題52 圖a所示的簡支梁，在全梁上受集度為q的均布荷載作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。 (c) M圖q

7、l2/80.5lqxlBA(a)FRAFRB(b) FS圖ql/2ql/2解：（1）畫此梁的內力圖，求支座反力。利用平衡方程求得 取距左端為x的任意橫截面左側的梁段，則梁的剪力和彎矩方程分別為（2）列內力方程（3）最后由內力方程作內力圖。(c) M圖ql2/80.5lqxlBA(a)FRAFRB(b) FS圖ql/2ql/2彎矩方程是x的二次函數，所以彎矩圖是一條二次拋物線。 剪力方程是x的一次函數，所以剪力圖是一條傾斜直線段。梁在梁跨中橫截面上的彎矩值最大，為而兩支座內側截面上的剪力值最大，。 （a）剪力圖（b）彎矩圖例題53 圖a所示的簡支梁，在C點處受集中力F的作用，試作梁的剪力圖和彎矩

8、圖。解：（1）畫此梁的內力圖，求支座反力。利用平衡方程求得 (a)alBAFRBFRAbxFC 對于BC段梁對于AC段梁(a)(b) FS圖(c) M圖alBAFRBFRAbxFC（2）列內力方程（3）最后由內力方程作內力圖。兩段梁的彎矩圖各為一條斜直線段。由圖可見，集中力作用處橫截面上的彎矩值為最大.在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，并且此突變值等于集中力的大小。(a)(b) FS圖(c) M圖alBAFRBFRAbxFC兩段梁的剪力圖各為一條平行于梁軸線的直線段。 例題5-4 圖a所示簡支梁受集中荷載F 作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應力解：1. 求約束力alBAFRBFRAbxF

9、C(b) FS圖， 2. 列剪力方程和彎矩方程此梁上的集中荷載將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內任意橫截面同一側梁段上的外力顯然不同，可見這兩段梁的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。對于AC段梁，其剪力方程和彎矩方程分別為對于BC段梁，其剪力方程和彎矩方程分別為3. 作剪力圖和彎矩圖 如圖b及圖c。由圖可見，在b a的情況下，AC段梁在0 xa的情況下，C截面右側(x=a+)橫截面上的彎矩絕對值最大， 為 （負值)。彎矩圖在集中力偶作用處有突變，也是因為集中力偶實際上只是作用在梁上很短長度范圍內的分布力矩的簡化。第四章 彎曲應力三、彎矩、剪力與荷載集度之間的關系及其應用1. M(x)、

10、FS(x)、q(x)間微分關系導出第四章 彎曲應力FS(x)M(x)FS(x)+d FS(x)M(x)+d M(x)dxq(x)(b)q(x)AlBxdx(a)FO 第四章 彎曲應力 距左端為x處用相距dx的兩個橫截面，從梁中截出一個微段，因dx非常微小，所以在微段上的分布荷載可以看作是均勻分布的，注意分布荷載取向上為正。假設在微段左右截面上的剪力和彎矩分別為：Fs(x)、M(x)和Fs(x)+ dFs(x)、M(x)+d M(x)，如圖所示。根據平衡條件， 得: 整理后得 幾何意義為：剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。又由 （矩心O為微段右側截面的形心）得:整理后得 幾何意義

11、為：彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。由上兩式可以得到 常見荷載下FS，M圖的一些特征第四章 彎曲應力集中力作用處集中力偶作用處 若某截面的剪力FS(x)=0，根據 ，該截面的彎矩為極值。 第四章 彎曲應力 利用以上各點，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下： (1) 求支座約束力； (2) 分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀； (3) 求控制截面內力，根據微分關系繪剪力圖和彎矩圖； (4) 確定|FS|max和|M|max 。第四章 彎曲應力 例題： 一簡支梁在其中間部分受集度為 q=100 kN/

12、m向下的均布荷載作用，如圖a所示。試利用彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應力x+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq-而根據 可知，AC段內的剪力圖應當是水平直線。該段內梁的橫截面上剪力的值顯然為1. 校核剪力圖 解：此梁的荷載及約束力均與跨中對稱，故知約束力FA，FB為第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 該梁的AC段內無荷載， 對于該梁的CD段，分布荷載的集度q為常量，且因荷載系向下而在微分關系

13、中應為負值，即q=-100 kN/m。第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 根據 可知CD段內的剪力圖確應為向右下方傾斜的斜直線。由于C點處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故斜直線左端的縱坐標確為100 kN。根據斜直線的斜率為 ，可證實D截面處的剪力確應為 對于該梁的DB段，梁上無荷載，故剪力圖應該是水平直線；且由于D點處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故該水平直線的縱坐標確為-100 kN。作為復核，顯然支座B偏左橫截面上的剪力就是第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4

14、mq2. 校核彎矩圖這與圖中所示相符。 該梁的AC段內，剪力為常量，因而根據 常量可知此段梁的彎矩圖應為斜率為 的正值的斜直線。據此，由支座A處橫截面上的彎矩為零可知C截面處的彎矩為第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 事實上，這個彎矩值也可根據 此式中的 從幾何意義上來說，它就是AC段內剪力圖的面積。第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）通過積分來復核： 對于該梁的CD段，根據 可知： 彎矩圖是如圖(c)中所示曲率為負(即向下凸)的

15、二次曲線。因為梁上C點處無集中力偶作用，故彎矩圖在C截面處應該沒有突變；第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 由于C截面處剪力無突變，故CD段的彎矩圖在C處的切線的斜率應該與AC段梁彎矩圖在C處的斜率相等，即兩段梁的彎矩圖在C處應光滑連接。第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 在剪力為零的跨中截面E處，彎矩圖切線的斜率為零，而彎矩有極限值，其值為同樣，根據 可知，這些均與圖(c)中所示相符。第

16、四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm） 對于該梁的DB段，由于剪力為負值的常量，故彎矩圖應該是斜率為負的斜直線。因為梁上D點處無集中力偶作用，故彎矩圖在D截面處不應有突變，再考慮B支座處彎矩為零，即可證實圖(c)中此段梁的彎矩圖也無誤。第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq已知：圖中梁的約束力為思考：試指出圖示三根梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯誤。正確答案：第四章 彎曲應力(a)圖中梁的約束力為正確答案：第四章 彎曲應力(b)圖中梁的約束力

17、為正確答案：第四章 彎曲應力 (c) 四、按疊加原理作彎矩圖第四章 彎曲應力 (1) 在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時，我們都是按梁未變形時的原始尺寸進行計算的，例如對于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為第四章 彎曲應力(a) 這就是說，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨作用時(圖b和圖c)相應內力的代數和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。第四章 彎曲應力(b)(c) (a) (2) 疊加原理 當所求參數(約束力、內力、應力或位移)與梁上(或結構上)荷載成線性關系時，由幾種荷載共同作用所引起的某一參數之值，就等于每

18、種荷載單獨作用時所引起的該參數值的疊加。第四章 彎曲應力 (3) 示例 圖a所示受均布荷載q并在自由端受集中荷載 作用的懸臂梁，其剪力圖和彎矩圖顯然就是圖b和圖c所示，該梁分別受集中荷載F和均布荷載q作用時兩個剪力圖和兩個彎矩圖的疊加。第四章 彎曲應力F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)第四章 彎曲應力- F(a)-FF=ql/4(b)(c)F-第四章 彎曲應力 圖d為直接將圖b和圖c中兩個彎矩圖疊加后的圖形，將圖中斜直線作為彎矩圖的水平坐標軸時，它就是圖a中的彎矩圖。(c)-(d) 作剪力圖時雖然(如上所示)也可應用疊加原理，但由于梁上通常無集度變化的分布荷載，而剪力圖由直線段組成，作圖比較簡單，故往往只說按疊加原理作彎矩圖。 由圖a可見，該梁橫截面上的最大剪力為 (負值) ,最大彎矩為 (負值)，而極值彎矩 并非最大彎矩。第四章 彎曲應力- F(a)-F4-3 平面剛架和曲桿的內力圖一、平面剛架 平面剛架：由同一平面內不同取向的桿件相互間剛性連接的結構。 平面剛架桿件的內力：當荷載作用于剛架所在平面內時，桿件橫截面上的內力除剪力和彎矩外，還會有軸力。第四章 彎曲應力 作剛架內力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習慣上按下列約定： 彎矩圖，畫在各桿的受拉一側，不注明正、負號； 剪力圖及軸力圖，可畫在剛架軸線的任一側（通常正值畫在剛架外側）