《數學建?！返诙?初等模型

1、 第二章 初等模型講授內容 ：1 公平席位分配2 雙層玻璃功效3 動物身長與體重4 量綱分析1 席位分配問題 某校有200名學生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設20個席位，問三系各有多少個席位？按慣例分配席位方案，即按人數比例分配原則 表示某單位的席位數 表示某單位的人數 表示總人數 表示總席位數1.1 問題的提出20個席位的分配結果系別人數所占比例分配方案席位數甲100100/200(50/100)20=10乙6060/200(30/100)20=6丙40 40/200(20/100)20=4現丙系有6名學生分別轉到甲、乙系各3名。系別人數所占比例分配方案席位數甲10

2、3103/200=51.5%51.5 %20 =10.3乙6363/200=31.5%31.5%20=6.3丙34 34/200=17.0%17.0%20=3.410641064現象1 丙系雖少了6人，但席位仍為4個。（不公平?。榱嗽诒頉Q提案時可能出現10：10的平局，再設一個席位。21個席位的分配結果系別人數所占比例分配方案席位數甲103103/200=51.5%51.5 %21 =10.815乙6363/200=31.5%31.5%21=6.615丙34 34/200=17.0%17.0%21=3.5701173現象2 總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。T例分配方法：按比例分

3、配完取整數的名額后，剩下的名額按慣例分給小數部分較大者。存在不公平現象，能否給出更公平的分配席位的方案？1.2 建模分析目標：建立公平的分配方案。反映公平分配的數量指標可用每席位代表的人數來衡量。系別人數席位數每席位代表的人數公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34 434/4=8.5好系別人數席位數每席位代表的人數甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40 440/4=10系別人數席位數每席位代表的人數公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34 334/3=11.33差一般地，單位人數席位數每席位代表的人數A

4、B當席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標準來判斷。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標準。單位人數p席位數n每席位代表的人數絕對不公平標準A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大為改善！2） 相對不公平表示每個席位代表的人數，總人數一定時，此值越大，代表的人數就越多，分配的席位就越少。則A吃虧,或對A 是不公平的。定義“相對不公平”對A 的相對不公平值；同理，可定義對B 的相對不公平值為：對B 的相對不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數量指標制定席位分配方案的原則是使它們的盡

5、可能的小。1.3 建模若A、B兩方已占有席位數為用相對不公平值討論當席位增加1 個時，應該給A 還是B 方。不失一般性，有下面三種情形。情形1說明即使給A 單位增加1席，仍對A 不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說明當對A 不公平時，給A 單位增加1席，對B 又不公平。計算對B 的相對不公平值情形3說明當對A 不公平時，給B 單位增加1席，對A 不公平。計算對A 的相對不公平值則這一席位給A 單位，否則給B 單位。結論：當（*）成立時，增加的一個席位應分配給A 單位，反之，應分配給 B 單位。記則增加的一個席位應分配給Q值 較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。若A、B兩方已占有席位數為1.4 推廣 有m 方分配席位的情況設方人數為，已占有個席位，當總席位增加1 席時，計算則1 席應分給Q值最大的一方。從開始，即每方至少應得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，則把它排除在外。）1.5 舉例甲、乙、丙三系各有人數103，63，34，有21個席位，如何分配？按Q值方法：甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：42 雙層玻璃的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，如左圖所示，據說這樣做是為了保暖，即減少室內向室外的熱量流失。我們要建立一個模型來描述熱量通過