《高等幾何》復(fù)習(xí)大綱及樣題

1、(0464 )高等幾旦復(fù)習(xí)大綱仿射坐標(biāo)與仿射變換一、要求1.掌握透視仿射對應(yīng)概念和性質(zhì)，以及仿射坐標(biāo)的定義和性質(zhì)。熟練掌握單比的定義和坐標(biāo)表示。2.掌握仿射變換的兩 種等價定義；熟練掌握仿射變換的代數(shù)表示，以及幾種特殊的仿射變 換的代數(shù)表示。3.掌握圖形的仿射性質(zhì)和仿射不變量。二、考試內(nèi)容1.單比的定義和求法。2.仿射變換的代數(shù)表示式，以及圖形的仿射性質(zhì)和仿射不變量。3.仿射變換的不變點和不 變直線的求法。射影平面一、要求 1.掌握中心射影與無窮遠(yuǎn)元素的基本概念，理解無窮 遠(yuǎn)元素的引入。.熟練掌握笛薩格(Desargues)定理及其逆定理的應(yīng)用。3.熟練掌 握齊次點坐標(biāo)的概念及其有關(guān)性質(zhì)。4.

2、理解線坐標(biāo)、點方程的概念和 有關(guān)性質(zhì)。5.掌握對偶命題、對偶原則的理論。二、考核內(nèi)容1.中心投影與無窮遠(yuǎn)元素：中心投影，無窮遠(yuǎn)元素，圖形的射影性質(zhì)。.笛薩格(Desargues)定理：應(yīng)用笛薩格(Desargues)定理及其逆 定理證明有關(guān)結(jié)論。.齊次點坐標(biāo)：齊次點坐標(biāo)的計算及其應(yīng)用。4.線坐標(biāo)：線坐標(biāo)的計 算及其應(yīng)用。.對偶原則：作對偶圖形，寫對偶命題，對偶原則和代數(shù)對偶的應(yīng)用。亦即 12x+7x -26x =0為所求切線方程。1235、解：設(shè)漸近線的方程為a x +a x +a x + k(a x +a x +a x) = 011 1 12213312 1 22 2 32 3根據(jù)(2. 9

3、)有 一3%2 + 2% + 1 = 0解之，得k =1,k=-L所以漸近線方程為123工 + 丁 + 1+(工-3-2)=0和工 +1-1 (x-3y-2)=03化簡，得所求為2x-2y-1 =0和2x + 6y + 5 = 0。6、解:因為A312 -22 0=4,A =一322 -22 0=-4代入（4.11）,得主軸為代入（4.11）,得主軸為4(2x + 2y-2) + 4(2x + 2y)=0解方程解方程2x + 2y-1 = 02x2 + 4xy + 2y2 -4x+1 = 02x + 2y -1 = 0得頂點之坐標(biāo)為（2,5。8 87、解：設(shè)所求仿射變換為I x -a x+a

4、y+a(111213y - a x +a y +al212223于是有2 a133 a23解此方程組，得2=a +a +a111213= +a +a212223-a -a +a1112 137 = a a + ci212223c c 11a =2，a =3，a =_，a =_，13231 1 2122a = -4， a - 6212210,J 1故所求的仿射變換為r 2*2y+2yr = -4x + 6y + 3三、解：因為12 35-12二0110 71 2 3且 5 -1 2 = 06 1 5線。設(shè)C = A + XB,D = A + XB TOC o 1-5 h z 12由11 =1 +

5、 2x5,o =2 + 2x(1)7 =3 + 2x2%得 九=2叵J理可得Z =1 所以(AB CD) = 1=2127 T2四、證明：射影平面上建立了射影坐標(biāo)后，設(shè)兩個線束的方程分別為:a 一九p = 0(1)a，-=0(2)由于它們是射影對應(yīng)，所以兒九，滿足：cikTJ + bX + cXr + d = 0 (ad - be w 0)( 3 )從(1), (2), (3)中消去九得 a a a a d(那屋土綿)+年)+建。即aaaZ + bap，+ ca、+ d 陌=0(1.3)這里a, 0,a，, W都是關(guān)于 了,%的一次齊次式，所以(1.3)式表1,23示一條二階曲線。由于a =0

6、,0 = 0的交點坐標(biāo)和a，= 0,0，= 0的交點坐標(biāo)都滿足(1.3)。所以形成二階曲線的兩個線束的中心也在這條二階曲 線上。11射影變換與射影坐標(biāo)一、要求.熟練掌握共線四點與共點四線的交比與調(diào)和比的基本概念、性質(zhì)和 應(yīng)用。.掌握完全四點形與完全四線形的調(diào)和性及其應(yīng)用。.掌握一維射影變換的概念、性質(zhì)，代數(shù)表示式和參數(shù)表示式。.掌握二維射影變換的概念、性質(zhì)以及代數(shù)表示式。.理解一維、二維射影坐標(biāo)的概念以及它們與仿射坐標(biāo)、笛氏坐標(biāo)的 關(guān)系。二、考試內(nèi)容.交比與調(diào)和比：交比的定義、基本性質(zhì)及其計算方法，調(diào)和比的概 念及其性質(zhì)。.完全四點形與完全四線形：完全四點形與完全四線形的概念及其調(diào) 和性。.

7、一維基本形的射影對應(yīng)：一維射影對應(yīng)的性質(zhì)，與透視對應(yīng)的關(guān)系， 以及代數(shù)表示式。.二維射影變換5.二維射影對應(yīng)（變換）與非奇線性對應(yīng)的關(guān)系。6.射影坐標(biāo)：一維射影坐標(biāo)、二維射影坐標(biāo)。7.一維、二維射影變換的不變元素：求一維射影變換的不變點，二維射影變換的 不變點和不變直線。變換群與幾何學(xué)、要求、要求. 了解變換群的概念。.理解幾何學(xué)的群論觀點。3.弄清歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何之間的關(guān)系及其各自的研究對 象。二、考試內(nèi)容1.變換群與幾何學(xué)的關(guān)系。2仿射幾何、射影幾何學(xué)相應(yīng)的變換群、研究對象基本不變量和基本 不變性。二次曲線的射影理論一、要求 1.掌握二隊（級）曲線的射影定義、二階曲線與直線的

8、相關(guān)位置，二階曲線的切線，二階曲線與二級曲線的關(guān)系。2.掌握巴 斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。.掌握極點，極線的概念和計算方法，熟練掌握配極原則。4.了解 二階曲線的射影分類。二、考試內(nèi)容1.二階（級）曲線的概念，性質(zhì)和互化，求二階曲 線的主程和切線方程。.應(yīng)用巴勞動保護(hù)加定理和布利安桑定理及其特殊情形證明有關(guān)問 題，解決相在的作圖問題。.二階曲線的射影分類。二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)一、要求和考試內(nèi)容 1.掌握二次曲線的中心、直徑、共班直徑、 漸近線等概念和性質(zhì)。（0464 ）高等幾何樣題及答案一、填空題（每題2分，共10分）1、平行四邊形的仿射對應(yīng)圖形為： ;2、線坐標(biāo)（

9、1, 2, 1）的直線的齊次方程為： ； TOC o 1-5 h z 3、直線3% +2x =0上的無窮遠(yuǎn)點坐標(biāo)為：；124、設(shè)（AB,CD）=2,則點偶調(diào)和分割點偶；5、兩個射影點列成透視的充要條件是；二、作圖題（每題6分，共6分）1、敘述下列圖形中的點線結(jié)合關(guān)系及其對偶命題，并畫出對偶圖形。三、計算題（每題10分，共30分）求仿射變換式使直線x + 2y 1 = 0上的每個點都不變，且使點（1, -1）變?yōu)椋?1, 2）求射影變換用=”的固定元素。, K=%2 pxr =x I 333、敘述二次曲線的中心、直徑，共輾直徑漸近線等概念，并舉例說明。四、證明題（每題12分，共24分）1、敘述并

10、證明布利安桑定理。2、設(shè)（AB、CD）=-1,。為CD的中點，則0C2=0A0B （此題為有向線段）參考答案一、填空題1、平行四邊形 2、x +2% +x =0 3、（2, -3, 0） 4、AC , BD 5、 123保持公共元素不變二、作圖題1、每三點不共線的五個點，兩兩連線。對偶：沒三線不共點的五條線，兩兩相交。對偶圖形 就是自己 三、計算題1解 設(shè)所求仿射變換為鼠一。 + b y + c 在已知直線x+2yT=0 TOC o 1-5 h z V1119 = a x + h y + cl222上任取兩點，例如?。?, 0）、（3, -1）,在仿射變換下，此二點不變。而點（1, T）變?yōu)椋?/p>

11、T, 2）,把它們分別代入所設(shè)仿射變換式，得丁丁1，產(chǎn)+1=3=-1 由la +c =03a -b +c =-1la -b +c = 21 2 212221 2 22以上方程聯(lián)立解得：a =2, b=2, C=-l ,111 3, _o 3a - 一 , b - 乙 ，C -2222 2xf=2x + 2y-1故所求的仿射變換為：L，_ . _2y+3 y ox 十22解由題設(shè)的射影變換式，得a = -1 ,a = 0,a = 0,oc =0,a =1,a =0,a =0,a = 0,a =1 把它們 111213212223313233代入射影變換的固定方程組6.5公式(2), 即(a. -

12、u)x +a x +a x =0 1 112 213 3v a x+ (a -u)x +a x = 021 1 +a 227 223 3a x x + (a u)x = 0l 31 132 2333(-1 -u)x =0得(1“卜2 =0(1 u)x = 0I 3(-1 -u)x =0得(1“卜2 =0(1 u)x = 0I 31 v00由此得特征方程為：01-00=0, 即001-u(1+u) (l-u)2=0 角窣得U=1 (二重I艮),u=1將u=1代入固定點方程組，即得固定點為(1, 0, 0)將u=l代入固定點方程組，得xl二0這是一固定點列即直線AA上的每一點都是固定點。把的值代入

13、射影變換的固定直線方程 2 3ij組6o 5公式(5),即3-丫)？+。2凡+%=得舊閔S=則特au + (a -v)u +a u =00 即 OC2=OA / OB高等幾何試題、填空題（每題3分，共27分） TOC o 1-5 h z 1、兩個三角形面積之比是（）o2、相交于影消線的二直線必射影成（）。3、如果兩個三點形的對應(yīng)頂點連線共點，則這個點叫做（ ）o4、一點=（x,x,%衽一直線比上的充要條件是 123123（）o5、已知（p p） = 3,則（p p ,p p ）二（），（p 卯）二（）。123 44 32 113 246、如果四直線p ,p ,p ,p滿足（pp ,則稱線偶p

14、,p和p12341 23 43412（ ）。7、兩個點列間的對應(yīng)是射線對應(yīng)的充要條件是（）o8、不在二階曲線上的兩個點P（pp p），）關(guān)于二階曲線1 2 31 2 3S三Z 6ZXX =0成共粗點的充要條件是（）oU i J9、仿射變換成為相似變換的充要條件是（）0二、計算題（每題8分，共56分）1、計算橢圓的面積（橢圓方程：三4一 0） 。2+ 2b22、求共點四線/ y = kx I ： y = k x， I ： y = k x，=的父比。 TOC o 1-5 h z 112233443、求射影變換.7二一、的不變元素。v px = X 22pxf = X1334、求二階曲線6x2 %

15、2 24x2+11x% =0經(jīng)過點尸（1,2,1）的切線方程。 1232 35、求雙曲線%2 + 2盯-3y2 + 2%-4y = 0的漸近線方程。6、求拋物線2%2+ 4孫+ 2一 4%+1=0的主軸和頂點。7、求使三點0(0,oo)，(1,1)，尸(1,-1)順次變到點O，(2,3)，(2,5)，尸(3,-7) 的仿射變換。三、已知 A(1,2,3)，8(5,-1,2)，C(11Q7)，(6,1,5)，驗證它們共線并求 (ab,cd)0Wo (8 分)四、求證：兩個不同中心的射影對應(yīng)線束對應(yīng)直線的交點構(gòu)成一條二階曲線。(9分)答案一、1、仿射不變量2、平行直線 3、透視中心 4、UX+ U

16、X +U X = 01 12 2335、3 26、調(diào)和分離7、任何四個對應(yīng)點的交比相等 8、S =0 pq9、這個變換使圓點保持不變二、1、解：設(shè)在笛氏直角坐標(biāo)系下橢圓的方程為.+1三1。2 b 2經(jīng)過仿射變換y = yJ f Jb其對應(yīng)圖形為圓。2+.2 =成在仿射變換之下，AfA, BfB, OtO，所為A03對應(yīng)nAO?, 其中AM1根據(jù)定理3. 6推論2,有1 SriAOB口4。夕所以橢圓面積兀。2cib 。222因此所給橢圓的面積為兀ah o2、解：化為齊次方程：I ：x -kx =0121 1I ： x 一左 x = 0323 1取Q :% = 0/： = 0為基線，則有 21I:x -kx=0222 1I ：x -kx=Q424 1I (a-kb) J (a-kb) J (a-kb) J (a- kb)11223344由定理i.n的推論，得 (/,/)=上二 1 2 3 4，(一4 +攵)(一左 +