2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三第三模擬考試數(shù)學（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 17 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三第三模擬考試數(shù)學（理）試題一、單選題1如圖，全集，則陰影部分表示的集合為（）ABCD【答案】D【分析】利用交集和補集的定義即可求解.【詳解】由圖示可知，陰影部分可表示為,故選：.2在復平面內，復數(shù)所對應的點關于虛軸對稱，若，則復數(shù)（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)對應的點的特征直接求出即可.【詳解】因為對應的點為，所對應的點關于虛軸對稱，所以對應的點為，所以.故選：B.3已知命題；命題，則下

2、列為真命題的是（）ABCD【答案】B【分析】先判斷命題的真假，結合選項可得答案.【詳解】因為當時，所以為假命題；因為當時，所以為真命題；所以為真命題.故選：B.4如圖，直三棱柱中，若，則異面直線所成角的大小是（）ABCD【答案】C【分析】連接，則即為異面直線所成角，再分別求出的邊長即可求出，得到答案【詳解】如圖所示，連接 ,即為異面直線所成角， 又， 在中， 是正三角形 故選：C5幾何原本是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學巨著，大約成書于公元前300年漢語的最早譯本是由中國明代數(shù)學家、天文學家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年.該書前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊

3、形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內容某高校要求數(shù)學專業(yè)的學生從這7章里任選4章進行選修，則學生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為（）ABCD【答案】B【分析】先求出從這7章里任選4章進行選修的選法總數(shù)，再求出學生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的選法總數(shù)，由古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】數(shù)學專業(yè)的學生從這7章里任選4章進行選修共有：種選法；學生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章共有：種選法，故學生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為：.故選：B.6已知，則（）ABCD【答案】A【分析】利用誘導公式化簡可以得到，再將化為

4、齊次式，采用“弦化切”，代入即可得到答案【詳解】 ， 故選：A7已知定義域為的函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，且當時，若，則（）ABCD【答案】C【分析】由已知結合函數(shù)對稱性可求出，進而求得結果.【詳解】解：因為定義域為的函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，且當時，若，則.故，即.故選：C.8如圖是計算的一個程序框圖，其中判斷框內可以填入的條件為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)求和的項數(shù)以及循環(huán)條件可得答案.【詳解】因為，共有1011項，所以時，應該退出循環(huán)體.故選：C.9已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與相交于兩點（在第一象限）.若四點共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（）ABCD【答案】B【分

5、析】依據(jù)四點共圓，且直線的傾斜角為，利用橢圓定義可得，進而求得橢圓的離心率【詳解】根據(jù)題意四邊形為平行四邊形，又由四點共圓，可得平行四邊形為矩形，即又直線的傾斜角為，則有則，則，即則橢圓的離心率故選：B10現(xiàn)收集到變量的六組觀測數(shù)據(jù)為：，用最小二乘法計算得其回歸直線為，相關系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析后發(fā)現(xiàn)為離群點（對應殘差絕對值過大的點），剔除后，用剩下的五組數(shù)據(jù)計算得其回歸直線為，相關系數(shù)為.則下列結論不正確的是（）ABCD去掉離群點后，殘差平方和變小【答案】B【分析】根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求解，然后逐項判斷.【詳解】解：由數(shù)據(jù)得：，則，剔除離群點后：，則，A. ，故正確；B. ，故錯誤

6、；C. 剔除離群點后，相關程度越大，所以相關系數(shù)，故正確；D.剔除離群點后，相關程度越大，所以殘差平方和變小，故正確.故選：B.11已知定義在上的函數(shù)，對任意，當時，都有，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的最大值為（）ABCD【答案】B【分析】依題意可得在上單調遞增，則不等式等價于，即，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可求出函數(shù)的最大值，從而得解；【詳解】解：因為對任意，當時，都有，所以在上單調遞增，則等價于，即，令，因為，所以，所以，所以在上單調遞減，所以，即，所以的最大值為；故選：B12設，則（）ABCD【答案】D【分析】令，求導研究函數(shù)的單調性，從而得到，利用不等式的性質比較得出，從而求得答

7、案.【詳解】令，可以判斷在上單調遞增，所以，所以，又因為，所以，即，所以，故選：D.二、填空題13已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則其離心率為_【答案】【分析】先由雙曲線的兩條漸近線互相垂直求得b的值，進而求得c的值，從而求得雙曲線的離心率的值【詳解】雙曲線的漸近線為，則由兩條漸近線互相垂直，有 ，解之得又，則，則雙曲線的離心率故答案為：14已知單位向量，滿足，則向量的夾角為_【答案】【分析】首先根據(jù)平面向量的運算律求出，再根據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】由單位向量，滿足，所以，所以，解得，所以，又，所以，故答案為：.15已知分別為銳角的內角的對邊，若，則面積的最大值為_【答案】【分析】先由正弦

8、定理求得，再由余弦定理求出，即可求出面積的最大值.【詳解】因為，由正弦定理可得：，所以.又為銳角三角形，所以.由余弦定理得：（當且僅當a=b時等號成立）即，所以（當且僅當a=b，即為等邊三角形時等號成立）.所以面積的最大值為.故答案為：.16如圖，在正方形中，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，在翻折到的過程中，下列說法正確的是_（將正確說法的序號都寫上）點的軌跡為圓??；存在某一翻折位置，使得；棱的中點為，則的長為定值；【答案】【分析】依據(jù)翻折過程中，均不變，判定點的軌跡為圓弧，從而判斷正確；利用反證法否定；求得翻折過程中的長恒為，從而判斷正確.【詳解】設正方形邊長為a,在正方形中，過點D作于H，

9、則在翻折到的過程中，均不變，則點的軌跡為以H為圓心，以為半徑的圓弧.判斷正確；假設存在某一翻折位置，使得.在PAM內，過點P作于N，連接BN，由，可得平面PBN又平面PBN，則，則又在正方形中，.二者互相矛盾，故假設不成立，即不存在某一翻折位置，使得.判斷錯誤；棱的中點為.取PA中點K，連接EK，CE，MK， 則則有，則，則四邊形為平行四邊形，則，又，則，即的長為定值.判斷正確.故答案為：三、解答題17已知正項數(shù)列的前項和滿足：，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求證：數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用可證是公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)成等差數(shù)列，利用等差

10、中項和等比數(shù)列通項求解；（2）整理，利用裂項相消求和證明【詳解】(1)由題意：，兩式相減得到，又，是首項為，公比為的等比數(shù)列，再由成等差數(shù)列得，得，即，則， 的通項公式為.(2)由題意知，18北京冬奧會于2022年2月4日至20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動某高校組織了20000名學生參加線上冰雪運動知識競賽活動，并抽取了100名參賽學生的成績制作了如下表格： 競賽得分頻率(1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，在為“優(yōu)秀”，以這10

11、0名參賽學生中競賽得分的頻率作為全校知識競賽中得分在相應區(qū)間的學生被抽中的概率現(xiàn)從該校參加知識競賽的學生中隨機抽取3人，記競賽得分結果為“良好”及以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望；(2)已知此次知識競賽全校學生成績近似服從正態(tài)分布，若學校要對成績不低于分的學生進行表彰，請估計獲得表彰的學生人數(shù)附：若隨機變量，則.【答案】(1)分布列見解析，(2)27人【分析】（1）服從二項分布，的可能取值0，1，2，3，求出相應的概率，得到分布列，從而得到期望.（2）求出成績不低于分的學生的概率，即可得出答案.【詳解】(1)由題意知，的可能取值0，1，2，3由題可知，任意1名學生競賽得分“良好”及以

12、上的概率為，競賽得分是“良好”以下的概率為若以頻率估計概率，則服從二項分布；所以的分布列為:（或）(2)估計獲得表彰的學生人數(shù)為人.19如圖，在水平放置的直角梯形中，.以所在直線為軸，將向上旋轉角得到，其中.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面的夾角余弦值不超過，求的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先利用線面垂直的判定定理證明平面，又由可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理可證平面平面；（2）根據(jù)題意，旋轉角即，建立空間直角坐標系，分別求出平面BCE和平面ADF的法向量，利用夾角余弦值不超過列出關于的不等式，即可求出的范圍.【詳解】(1)證明：由題意，且平面，平面；又，平面

13、，而平面，所以平面平面；(2)根據(jù)題意，旋轉角即，以A為原點，在平面ADF內，作AD的垂線為z軸，AD，AB所在直線分別作為x，y軸，建立空間直角坐標系，則，設為平面BCE的一個法向量，則，取，平面ADF的一個法向量為，記平面ADF與平面BCE的夾角為，則，化簡得，所以，即，又，得.20已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點與圓的圓心重合，為上一動點，點.若的最小值為.(1)求拋物線的標準方程；(2)過焦點的直線與拋物線和圓從左向右依次交于四點，且滿足，求直線的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）由圓的方程可確定焦點坐標，設拋物線為；過作拋物線準線的垂線，由拋物線定義知的最小值即為到準線的距離，由

14、此構造方程求得即可；（2）結合拋物線焦半徑公式可化簡為，設直線，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，并推導得到，代入整理可構造方程求得，由此可得直線方程.【詳解】(1)由圓的方程知：，則拋物線方程可設為：，在拋物線開口內部，過作拋物線準線的垂線，垂足為，由拋物線定義知：，（當且僅當三點共線時取等號），解得：，拋物線的標準方程為：.(2)為圓直徑，又，；由題意知：直線斜率存在，可設，由得：，則，；，解得：，直線的方程為.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線的綜合應用問題，解題基本思路是能夠利用拋物線定義，將已知中的距離平方和轉化為直線與拋物線交點坐標之間的關系，從而利用韋達定理構造方程求得變量

15、.21已知函數(shù)(1)若，求的最大值；(2)若，證明：有兩個零點【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求導數(shù)，結合導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，利用單調性求解的最大值；（2）構造函數(shù)，結合導數(shù)判斷零點個數(shù)，從而得到證明.【詳解】(1)；令，由函數(shù)的圖像可知 ，存在唯一，滿足，且，；時，；故在上單調遞增，在上單調遞減，（），又，則，代入（）得：；(2)證明：，令，則；因為是關于的單調函數(shù)，則與的零點個數(shù)相同；又，故是的一個零點；得，且單調遞減，當時，單調遞增；當時，單調遞減，因為，所以；又當時，故在上存在唯一的零點；故在上存在唯一零點，在上存在唯一零點0，即在上有兩個零點，所以在有兩個零點.【點睛】利用導數(shù)求解函數(shù)最值時，一般先求解極值，結合函數(shù)單調性來求解；函數(shù)零點問題通常轉化為兩個函數(shù)的交點問題，借助導數(shù)隱零點可以求解.22在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)若點為曲線上任意一點，求點到直線距離的最小值【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去參數(shù)t得直線普通方程，將代