2015年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章圓錐曲線第62課橢圓及其標準方程文含解析

1、PAGE PAGE 7第62課 橢圓及其標準方程1橢圓的定義 在平面內(nèi)與兩定點，的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡叫橢圓這兩定點叫做橢圓的焦點， 兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.點滿足，其中，為正常數(shù) (1)若_，則點的軌跡為橢圓；(2)若_，則點的軌跡為線段；(3)若_，則點的軌跡不存在練習(xí)：、是定點，動點滿足，其中當 時，點的軌跡是橢圓 ；當 時，點的軌跡是線段；當時，點的軌跡不存在2橢圓的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程焦點在坐標軸上時的方程焦點，焦距，其中，的關(guān)系【例1】橢圓的焦點為、，點在橢圓上，且，則的度數(shù)為（ ）A. B C D. 【解析】橢圓化為，所以，在中，所

2、以【變式】在橢圓中， ， ， ，焦點坐標為 ， 。若、是這個橢圓上的上點，過點，那么的周長是 【解析】橢圓化為，所以，所以，焦點坐標為，的周長為 【例2】（1）已知，是橢圓的兩個焦點，過且垂直于軸的直線交于，兩點，且，求橢圓的方程【解析】法1. 設(shè)橢圓的方程為（）由已知，得,即，故橢圓C的方程為法2.由題意知橢圓焦點在x軸上，設(shè)橢圓的方程為（），則在橢圓上，又，所以 解得 故橢圓C的方程為.（2）已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，求橢圓的方程【解析】設(shè)橢圓方程為橢圓經(jīng)過兩點，則 解得所求橢圓方程為【變式】求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標分別是、，橢圓上一點

3、到兩焦點距離的和等于；（2）橢圓的長軸長等于短軸長的倍，并且經(jīng)過點【解析】（1）設(shè)橢圓的標準方程為（），橢圓的標準方程為（2）橢圓的長軸長等于短軸長的倍，并且經(jīng)過點；當焦點在軸上時，；橢圓的標準方程為當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為橢圓的標準方程為，或【例3】已知橢圓的左右兩個焦點分別為、,過點的直線與橢圓相交于兩點,且,求直線的方程【解析】容易求得當直線的斜率不存在時,其方程為,不符合題意； 當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為. 由 ，得.設(shè),則 ，, , 解得,即. 故直線的方程為或.第62課 橢圓及其標準方程的課后作業(yè)1. 到兩定點、的距離之和等于的點的軌跡是（ ） A橢圓 B圓 C線段

4、 D射線【答案】C2橢圓的右焦點到直線的距離是 ()A. B. C D. 【解析】橢圓化為，所以，右焦點，.選B3. 將橢圓的一個焦點坐標為，那么實數(shù)的值為（ ）A. B C D. 【解析】橢圓標準方程為，焦點坐標為，即4.橢圓的焦距為，則的值是。A B或 C或 D【解析】由已知，得，即當時，即當時，即5.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是()A. B C D. 【解析】依題意，解得.故選C.6.橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上任一點，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】D【解析】設(shè)，則， 7已知下列各條件，求橢圓的標準方程（1）焦點與，過的直線交橢圓于，兩點，且ABF2

5、的周長為（2）焦點與，且橢圓過點（3）已知橢圓經(jīng)過點和【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為（），則焦點與， ABF2的周長為，即，所以橢圓的方程為（2）設(shè)橢圓的標準方程為（），則由，得，解得，所以橢圓的標準方程為（3）設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以橢圓的方程為8. 已知直線與橢圓與橢圓有兩個交點，為坐標原點，且求直線的方程【解析】由消去，得.，解得 由根與系數(shù)的關(guān)系得， ， ，即 把代入，得，即所以直線的方程或21如圖15，設(shè)橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點D在橢圓上，DF1F1F2，eq f(|F1F2|,|DF1|)2eq r(2)，DF1

6、F2的面積為eq f(r(2),2).(1)求該橢圓的標準方程(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由圖1521解：(1)設(shè)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c2a2b2.由eq f(|F1F2|,|DF1|)2eq r(2)，得|DF1|eq f(|F1F2|,2r(2)eq f(r(2),2)c.從而SDF1F2eq f(1,2)|DF1|F1F2|eq f(r(2),2)c2eq f(r(2),2)，故c1.從而|DF1|eq f(r(2),2).由DF1F1F2

7、得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2eq f(9,2)，因此|DF2|eq f(3r(2),2)，所以2a|DF1|DF2|2eq r(2)，故aeq r(2)，b2a2c21.因此，所求橢圓的標準方程為eq f(x2,2)y21.(2)如圖所示，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓eq f(x2,2)y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，y10，y20，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1F2P2.由圓和橢圓的對稱性，易知，x2x1，y1y2.由(1)知F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以eq o(F1P1,sup6()(x11，y1)，eq o(F2P2,sup6(

8、)(x11，y1)再由F1P1F2P2得(x11)2yeq oal(2,1)0.由橢圓方程得1eq f(xeq oal(2,1),2)(x11)2，即3xeq oal(2,1)4x10，解得x1eq f(4,3)或x10.當x10時，P1，P2重合，題設(shè)要求的圓不存在當x1eq f(4,3)時，過P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心C.設(shè)C(0，y0)，由CP1F1P1，得eq f(y1y0,x1)eq f(y1,x11)1.而y1|x11|eq f(1,3)，故y0eq f(5,3).圓C的半徑|CP1|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)sup12(