結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)word版

1、1/37第十一章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)？本章的問題：什么是動(dòng)力荷載？結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的主要區(qū)別在哪？本章自由度的概念與幾何組成分析中的自由度概念有何不同？建立振動(dòng)微分方程的方法有幾種？什么是體系的自振頻率、周期？什么是單自由度體系的自由振動(dòng)？什么是單自由度體系的受迫振動(dòng)？什么是多自由度體系的自由振動(dòng)？什么是多自由度體系的受迫振動(dòng)？什么叫動(dòng)力系數(shù)？動(dòng)力系數(shù)的大小與哪些因素有關(guān)？單自由度體系位移的動(dòng)力系數(shù)與內(nèi)力的動(dòng)力系數(shù)是否一樣？在振動(dòng)過程中產(chǎn)生阻尼的原因有哪些？111 概 述 前面各章都是結(jié)構(gòu)在靜力荷載作用下的計(jì)算，在實(shí)際工程中往往還遇到另外一類荷載，即荷載的大小和方向隨時(shí)間而改變，這一章我們將討論

2、這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的反應(yīng)。荷載分：靜力荷載：是指施力過程緩慢，不致使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的加速度，因而可以略去慣性力影響的荷載。在靜力荷載作用下，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，荷載的大小、方向、作用點(diǎn)及由它所引起的結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等各種量值都不隨時(shí)間而變化。動(dòng)力荷載：在動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動(dòng)，各種量值均隨時(shí)間而變化，因而其計(jì)算與靜力荷載作用下有所不同，二者的主要差別就在于是否考慮慣性力的影響。有時(shí)確定荷載是靜荷載還是動(dòng)荷載要根據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)的反應(yīng)情況來確定，若在荷載作用下將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不容忽視的加速度，即動(dòng)力效應(yīng)，就應(yīng)按動(dòng)荷載考慮。在工程結(jié)構(gòu)中，除了結(jié)構(gòu)自重及一些永久性荷載外，其他荷載都具有或大或小的動(dòng)力作用。當(dāng)荷載

3、變化很慢，其變化周期遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)的自振周期時(shí)，其動(dòng)力作用是很小的，這時(shí)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以將它作為靜力荷載處理。在工程中作為動(dòng)力荷載來考慮的是那些變化激烈、動(dòng)力作用顯著的荷載。如風(fēng)荷載對(duì)一般的結(jié)構(gòu)可當(dāng)做靜荷載，而對(duì)一些特殊結(jié)構(gòu)往往當(dāng)做動(dòng)荷載考慮。荷載按動(dòng)力作用的變化規(guī)律，又可分為如下幾種： (1) 簡(jiǎn)諧周期荷載 這是指荷載隨時(shí)間按正弦(或余弦)規(guī)律改變大小的周期性荷載，例如具有旋轉(zhuǎn)部件的機(jī)器在等速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)其偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心力對(duì)結(jié)構(gòu)的影響就是這種荷載。這類荷載在工程中見的較多。 (2) 沖擊荷載 這是指荷載很快地全部作用于結(jié)構(gòu)，而作用時(shí)間很短即行消失的荷載，例： 如打樁機(jī)的樁錘對(duì)樁的沖擊、車輪對(duì)軌道

4、接頭處的撞擊等。 (3) 突加荷載 在一瞬間施加于結(jié)構(gòu)上并繼續(xù)留在結(jié)構(gòu)上的荷載，例如糧食口袋卸落在 倉(cāng)庫(kù)地板上時(shí)就是這種荷載。這種荷載包括對(duì)結(jié)構(gòu)的突然加載和突然卸載。這里要注意突加荷載、和沖擊荷載的區(qū)別。 (4) 快速移動(dòng)的荷載 例如高速通過橋梁的列車、汽車等。 (5) 隨機(jī)荷載 例如風(fēng)力的脈動(dòng)作用、波浪對(duì)碼頭的拍擊、地震對(duì)建筑物的激振等，這 種荷載的變化極不規(guī)則，在任一時(shí)刻的數(shù)值無法預(yù)測(cè)，其變化規(guī)律不能用確定的函數(shù)關(guān)系來 表達(dá)，只能用概率的方法尋求其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 3、 如果結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)，而在以后的振動(dòng)過程中不再受外部干擾力作用，這種振動(dòng)就稱為自由振動(dòng)；若在振動(dòng)過程中還不斷受到外

5、部干擾力作用，則稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。研究自由振動(dòng)是研究強(qiáng)迫振動(dòng)的基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的目的：在于確定動(dòng)力荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等量值隨時(shí)間而變化的規(guī)律，從而找出其最大值以作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。因此，研究強(qiáng)迫振動(dòng)就成為動(dòng)力計(jì)算的一項(xiàng)根本任務(wù)。然而，結(jié)構(gòu)在強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)各截面的最大內(nèi)力和位移都與結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)的頻率和振動(dòng)形式密切有關(guān)，因而尋求結(jié)構(gòu)自振頻率和振型就成為研究強(qiáng)迫振動(dòng)的前提。 112 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度在動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生彈性變形，其上的質(zhì)點(diǎn)將隨結(jié)構(gòu)的變形而振動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)過程中任一瞬時(shí)的位置，可以用某種獨(dú)立的參數(shù)來表示。例如圖111a所示簡(jiǎn)支梁在跨中固定著一個(gè)重量較大的物體，如果梁本身的自重較

6、小而可略去，并把重物簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，則得到圖111b所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖。如果不考慮質(zhì)點(diǎn)m的轉(zhuǎn)動(dòng)和梁軸的伸縮，則質(zhì)點(diǎn)m的位置只要用一個(gè)參數(shù)y就能確定。我們把結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目，稱為該結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度。據(jù)此，圖11l所示的梁在振動(dòng)中將只具有一個(gè)自由度。結(jié)構(gòu)振動(dòng)自由度的數(shù)目，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中具有很重要的意義。具有一個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)稱為單自由度結(jié)構(gòu)，自由度大于1的結(jié)構(gòu)則稱為多自由度結(jié)構(gòu)。圖 11-1在確定結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度時(shí)， 應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：不能根據(jù)結(jié)構(gòu)有幾個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)就判定它有幾個(gè)自由度，而應(yīng)該由確定質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立參數(shù)數(shù)目來判定。例如圖112a所示結(jié)構(gòu)，在絕對(duì)剛性

7、的桿件上附有三個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，它們的位置只需一個(gè)參數(shù)，即桿件的轉(zhuǎn)角。便能確定，故其自由度為1。又如圖112b所示簡(jiǎn)支梁上附有三個(gè)集中質(zhì)量，若梁本身的質(zhì)量可以略去，又不考慮梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，則其自由度為3，因?yàn)楸M管梁的變形曲線可以有無限多種形式，但其上三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置卻只需由撓度y1、y2，、y3，就可確定。又如圖112c所示剛架，雖然只有一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，但其位置需由水平位移y1和豎直位移y2：兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)才能確定，因此自由度為2。圖11-2在確定剛架的自由度時(shí)，我們?nèi)砸檬軓澲睏U上任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變的假定。根據(jù)這個(gè)假定并加入最少數(shù)量的鏈桿以限制剛架上所有質(zhì)點(diǎn)的位置，則該剛架的自由度數(shù)目

8、即等于所加入鏈桿的數(shù)目。例如圖112d所示剛架上雖有四個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，但只需加入三根鏈桿便可限制其全部質(zhì)點(diǎn)的位置(112)，故其自由度為3。由此可見，自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目，也與結(jié)構(gòu)是否靜定或超靜定無關(guān)。當(dāng)然，自由度的數(shù)目是隨計(jì)算要求的精確度不同而有所改變的。如果考慮到質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，則相應(yīng)地還要增加控制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，才能確定自由度數(shù)。以上是對(duì)于具有離散質(zhì)點(diǎn)的情況而言的。但是，在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，質(zhì)量的分布總是比較復(fù)雜的，除了有較大的集中質(zhì)量外，一般還會(huì)有連續(xù)分布的質(zhì)量。例如圖112f所示的梁，其分布質(zhì)量集度為m(kgm)，此時(shí)，可看作是無窮多個(gè)mdx的集中質(zhì)量，所以它是無限自由度。當(dāng)然完全按

9、實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，情況會(huì)變得很復(fù)雜。因此我們常常針對(duì)某些具體問題，采用一定的簡(jiǎn)化措施，把實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為單個(gè)或多個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。例如圖113a所示機(jī)器的塊式基礎(chǔ)，當(dāng)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，基礎(chǔ)將產(chǎn)生垂直振動(dòng)?若用彈簧表示地基的彈性，用個(gè)集中質(zhì)量代表基礎(chǔ)的質(zhì)量，就可簡(jiǎn)化為圖示的支承集中質(zhì)量的彈簧，使結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為單自由度結(jié)構(gòu)。又如圖113b所示的水塔，頂部水池較重，塔身重量較輕，在略去次要因素后，就可簡(jiǎn)化為圖示的直立懸臂梁在頂端支承集中質(zhì)量的單自由度結(jié)構(gòu)。圖11-3113 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算，我們先從單自由度的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)開始。 所謂自由振動(dòng)，是指結(jié)構(gòu)在振動(dòng)進(jìn)程中不受外部干擾力作用的那種

10、振動(dòng)。產(chǎn)生自由振動(dòng)的原因只是由于在初始時(shí)刻的干擾。初始的干擾有兩種情況：（1）由于結(jié)構(gòu)具有初始位移；（2）由于結(jié)構(gòu)具有初始速度；或者這兩種干擾同時(shí)存在。例如圖114所示，在跨中支承集中質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁，若把質(zhì)點(diǎn)m拉離其原有的彈性平衡位置，達(dá)到圖中虛線所示的偏離位置，然后突然放松，則質(zhì)點(diǎn)將在原有平衡位置附近往復(fù)振動(dòng)。由于在振動(dòng)進(jìn)程中不再受到外來干擾，所以這時(shí)的振動(dòng)就是自由振動(dòng)。這是由于結(jié)構(gòu)具有初始位移而引起自由振動(dòng)的例子。又如若對(duì)圖114的質(zhì)點(diǎn)施加瞬時(shí)沖擊作用，在極短的時(shí)間內(nèi)使其獲得一定的初速度，當(dāng)它還來不及發(fā)生顯著的位移時(shí)，外力又突然消失，這樣引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)，便是初始速度干擾下產(chǎn)生自由振動(dòng)的例子。

11、圖11-4影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)的因素很多，阻尼是其中之一，為簡(jiǎn)單起見不妨先略去阻尼的影響。1、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng) 對(duì)于各種單自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)狀態(tài)，都可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)彈簧模型來描述，如圖115a所示，彈簧下端懸掛一質(zhì)量為m的重物。我們?nèi)〈酥匚锏撵o力平衡位置為計(jì)算位移y的原點(diǎn)，并規(guī)定位移y和質(zhì)點(diǎn)所受的力都以向下為正。設(shè)彈簧發(fā)生單位位移時(shí)所需加的力為系為K11,稱為彈簧的剛度；而在單位力作用下產(chǎn)生的位移為，稱為彈簧的柔度，但兩者的關(guān)系為圖 11-5為了尋求結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)其位移以及各種量值隨時(shí)間變化的規(guī)律，應(yīng)先建立振動(dòng)微分方程， 然后求解。建立振動(dòng)微分方程有兩種基本方法： （ 1）是根據(jù)達(dá)朗伯原理(動(dòng)靜法

12、)列出動(dòng)力平衡方程，又稱剛度法； （ 2）是列位移方程，又稱柔度法。下面分別討論。 (1) 列動(dòng)力平衡方程 設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在振動(dòng)中的任一時(shí)刻位移為y，取該質(zhì)點(diǎn)為隔離體(圖115b)，若不考慮質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的阻力，則作用于其上的外力有： (a) 彈簧拉力 負(fù)號(hào)表示其實(shí)際方向恒與位移y的方向相反，亦即永遠(yuǎn)指向靜力平衡位置。此力有把質(zhì)點(diǎn)m拉回到靜力平衡位置的趨勢(shì)，故又稱為恢復(fù)力。 (b) 慣性力 它的方向總是與加速度的方向相反，故有一負(fù)號(hào)。 至于彈簧處于靜力平衡位置時(shí)的初拉力，則恒與質(zhì)點(diǎn)的重量mg相平衡而抵消，故在振動(dòng)過程中這兩個(gè)力都毋須考慮。 質(zhì)點(diǎn)在慣性力I與彈簧的恢復(fù)力S作用下將維持動(dòng)力平衡，故應(yīng)有

13、 I+S0 將I和S的算式代入即得 或 命 (111) 則有 (112) 這就是單自由度結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)時(shí)的微分方程。 (2) 列位移方程 上述振動(dòng)微分方程也可以按下述方法來建立：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m振動(dòng)時(shí)，把慣性力看作是一個(gè)靜力荷載，則在其作用下結(jié)構(gòu)在質(zhì)點(diǎn)處的位移y應(yīng)等于(圖115c)： 亦即 可見與方法1結(jié)果相同。 式(112)是一個(gè)具有常系數(shù)的線性齊次微分方程，其通解形式由高等數(shù)學(xué)知： (b) 取y對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，則得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的速度 (c) 此兩式中的積分常數(shù)Al和A2可由振動(dòng)的初始條件來確定。 若當(dāng) t0時(shí)， 位移 yyo， 速度 則有 A1y0 ，因此 其中y。稱為初位移，稱為初速度。再

14、考察結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)曲線，由位移曲線知：是由兩部分組成：（1 ）是由初位移y。引起的，表現(xiàn)為余弦規(guī)律；（2） 是由初速度引起的，表現(xiàn)為正弦規(guī)律 (圖116a、b)。二者之間的相位差為一直角，后者落后于前者900詳見下圖 （116）圖 11-6若令 （d）。 (e) 顯然有 則位移方程可寫成： 且有 可見這種振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)(圖116c)，式中a表示質(zhì)點(diǎn)的最大位移，稱為振幅，稱為初相角。由于和cost都是周期性函數(shù)，它們每經(jīng)歷一定時(shí)間就出現(xiàn)相同的數(shù)值，若給時(shí)間t一個(gè)增量，則位移y和速度的數(shù)值均不變，故T稱為周期，其常用單位為秒(s)；周期的倒數(shù)代表每秒鐘內(nèi)所完成的振動(dòng)次數(shù)，稱為工程頻率；而即為2秒內(nèi)

15、完成的振動(dòng)次數(shù)，稱為圓頻率，通常用得較多，又簡(jiǎn)稱為頻率，其單位為次(2 秒) 頻率也可用下式計(jì)算： （11.8） 式中g(shù)表示重力加速度，表示由于重量mg所產(chǎn)生的靜力位移。 結(jié)論：計(jì)算單自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，只需算出剛度k11或柔度或位移，代入式(118) 即可求得。由該式可知，結(jié)構(gòu)自振頻率隨剛度k11的增大和質(zhì)量m的減小而增大，這一特點(diǎn)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中對(duì)如何控制結(jié)構(gòu)自振頻率有重要意義。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的自振頻率只取決于它自身的質(zhì)量和剛度，所以它反映著結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)力特性（即為固有頻率）。外部干擾力只能影響振幅和初相角的大小而不能改變結(jié)構(gòu)的自振頻率。如果兩個(gè)結(jié)構(gòu)具有相同的自振頻率，則它們對(duì)動(dòng)力荷載的反應(yīng)也將

16、是相同的。公式表明， 隨的增大而減小，也就是說，若把質(zhì)點(diǎn)安放在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大位移處，則可得到最低的自振頻率和最大的振動(dòng)周期。圖 11-7 例111： 圖117所示三種支承情況的梁，其跨度都為l，且El都相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量m。當(dāng)不考慮梁的自重時(shí)，試比較這三者的自振頻率。 解：由式(118)可知，在計(jì)算單自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，可先求出該結(jié)構(gòu)在重量p=mg作用下的靜力位移。根據(jù)以前學(xué)過的位移計(jì)算的方法，可求出這三種情況相應(yīng)的靜力位移分別為： 代入式(118) 即可求得三種情況的自振頻率分別為： 據(jù)此可得 . 此例說明隨著結(jié)構(gòu)剛度的加大，其自振頻率也相應(yīng)地增高。前面的計(jì)算沒有考慮阻尼的影響，實(shí)

17、際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)是有阻尼的影響的，下面予以考慮。 2考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng) 物體的自由振動(dòng)由于各種阻力的作用將逐漸衰減下去，而不能無限延續(xù)。阻尼力可分為兩種：（1）是外部介質(zhì)的阻力，例如空氣和液體的阻力、支承的摩擦等；（2）來源于物體內(nèi)部的作用，例如材料分子之間的摩擦和粘著性等。由于內(nèi)外阻尼的規(guī)律不同，且與各種建筑材料的性質(zhì)有關(guān)，因而確切估計(jì)阻尼的作用是一個(gè)很復(fù)雜的問題。對(duì)此，人們提出過許多不同的建議，為使計(jì)算較簡(jiǎn)單，通常是引用福格第(Voigt)假定，即近似認(rèn)為振動(dòng)中物體所受的阻尼力與其振動(dòng)速度成正比，這稱為粘滯阻尼力，即 (f) 式中稱為阻尼系數(shù)，負(fù)號(hào)表示阻力它的方向恒與速度的方向相反。圖

18、11-8 當(dāng)考慮阻尼力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m上所受的力將如圖118所示，增加阻尼一項(xiàng)?？紤]其動(dòng)力平衡，應(yīng)有 I+R+S0 (g) 仍令 并令 (h) 則有： (129) 這是一個(gè)線性常系數(shù)齊次微分方程，設(shè)其解的形式為 代入原微分方程(119)，可得確定r的特征方程 其兩個(gè)根分別為： 根據(jù)阻尼大小不同的情況有以下三種情況：(1) 即小阻尼情況 此時(shí)特征根、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，式(119)的通解為 （i） 其中 (1110) 稱為有阻尼自振頻率。常數(shù)、可由初始條件確定：將時(shí)和代入式（i） 可得 ， 故 (1111) 上式也可寫為 (1112) 其中 (1113) (1114) 式(1112)的位移時(shí)間曲線如圖119所

19、示，即為衰減的正弦曲線，其振幅按的規(guī)律減小，故稱為衰減系數(shù)。圖 11-9在工程中還經(jīng)常采用阻尼比 作為阻尼的基本參數(shù)。由式(1110)有 (1115) 可見隨阻尼的增大而減小。在一般建筑結(jié)構(gòu)中是一個(gè)很小的數(shù)，約在0.010.1之間，因此有阻尼自振頻率與無阻尼自振頻率很接近，可認(rèn)為 (k) 若在某一時(shí)刻振幅為，經(jīng)過一個(gè)周期后的振幅為，則有 上式兩邊取對(duì)數(shù)得 (1115)稱為振幅的對(duì)數(shù)遞減量。同理，當(dāng)經(jīng)過j個(gè)周期后，有 (1115a) 若由實(shí)驗(yàn)測(cè)出及或，則可由式(1115)或式(1115a)求出阻尼比。 (2) 即大阻尼情況 此時(shí)特征根、為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，式(119)的通解為 這是非周期函數(shù)，因此不會(huì)

20、產(chǎn)生振動(dòng)，結(jié)構(gòu)受初始干擾偏離平衡位置后將緩慢地回復(fù)到原有位置。 (3) 即臨界阻尼情況 此時(shí)特征根是一對(duì)重根，式(119)的通解為 這也是非周期函數(shù)，故也不發(fā)生振動(dòng)。這是由振動(dòng)過渡到非振動(dòng)狀態(tài)之間的臨界情況，此時(shí)阻尼比，相應(yīng)的值稱為臨界阻尼系數(shù)，用表示。在式(h)中，令可得 (l)由式(j)及(h)、(1)又有 表明阻尼比即為阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。 114 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)，是指結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載及外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。若干擾力直接作用在質(zhì)點(diǎn)m上，則質(zhì)點(diǎn)受力將如圖11l0所示。同理由動(dòng)力平衡條件得： 即 或 (1116)圖 11-10這個(gè)微分方程的解也包括

21、兩部分：（1）為相應(yīng)齊次方程的通解y0，它由上一節(jié)式(i)表示為（2） 是與干擾力p(t) 相適應(yīng)的特解。它將隨干擾力的不同而異。本節(jié)先來討論干擾力為簡(jiǎn)諧周期荷載時(shí)的情況。具有轉(zhuǎn)動(dòng)部件的機(jī)器在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于不平衡質(zhì)量所產(chǎn)生的離心力的豎直或水平分力就是這種荷載的例子，它一般可表為 P(t) Psin (1117) 其中為干擾力的頻率，p為干擾力的最大值。代入微分方程解出如教材所述結(jié)果。表達(dá)式較繁，實(shí)際應(yīng)用只應(yīng)用平穩(wěn)階段。由上述推導(dǎo)可知，振動(dòng)系由三部分組成：是由初始條件決定的自由振動(dòng)；第二部分是與初始條件無關(guān)而伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動(dòng)，但其頻率與體系的自振頻率一致，稱為伴生自由振動(dòng)。由于這兩部

22、分振動(dòng)都含有因子，故它們將隨時(shí)間的推移而很快衰減掉；最后只剩下按干擾力頻率而振動(dòng)的第三部分，稱為純強(qiáng)迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)(圖1111)。我們把振動(dòng)開始的一段時(shí)間內(nèi)，幾種振動(dòng)同時(shí)存在的階段稱為過渡階段；而把后面只剩下純強(qiáng)迫振動(dòng)的階段稱為平穩(wěn)階段。通常過渡階段比較短，因而在實(shí)際問題中平穩(wěn)階段比較重要，故一般只著重討論純強(qiáng)迫振動(dòng)。下面仍分別就考慮和不考慮阻尼兩種情況來討論。圖 11-11 1不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng) 此時(shí)因0，由式(1119)的第三項(xiàng)可知純強(qiáng)迫振動(dòng)方程成為 (1120) 因此，最大的動(dòng)力位移(即振幅)為 (1121) 但是，代入上式，得： (1121a) 式中，代表將振動(dòng)荷載的最大值p

23、作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)上時(shí)所引起的靜力位移，而 (1122)承位移動(dòng)力系數(shù) ：為最大的動(dòng)力位移與靜力位移之比值 。 若我們求出了內(nèi)力的動(dòng)力系數(shù)，也可仿此計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的最大內(nèi)力。需要指出：在單自由度結(jié)構(gòu)上，當(dāng)干擾力與慣性力的作用點(diǎn)重合時(shí)，位移動(dòng)力系數(shù)和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)是完全一樣的，此時(shí)對(duì)這兩類動(dòng)力系數(shù)可不作區(qū)分而統(tǒng)稱為動(dòng)力系數(shù)。由式(1122)可知，動(dòng)力系數(shù)隨比值而變化。當(dāng)干擾力的頻率接近于結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，動(dòng)力系數(shù)就迅速增大；當(dāng)二者無限接近時(shí)，理論上將成為無窮大，此時(shí)內(nèi)力和位移都將無限增加。對(duì)結(jié)構(gòu)來說，這種情形是危險(xiǎn)的。此時(shí)所發(fā)生的振動(dòng)情況稱為共振。 但實(shí)際上由于阻尼力的存在，共振時(shí)內(nèi)

24、力和位移雖然很大，但并不會(huì)趨于無窮大，而且共振時(shí)的振動(dòng)也是逐漸由小變大，而不是一下就變得很大的。但是，內(nèi)力和位移的值過大也是不利的，因此，在設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免發(fā)生共振。2考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng) 取式(1119)的第三項(xiàng)，并命 （e）則將有 （1123）式中A為有阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅，是位移與荷載之間的相位差。由式（e）得：振幅 （1124）動(dòng)力系數(shù) （1125）可見動(dòng)力系數(shù)不僅與和的比值有關(guān)，而且還與阻尼比有關(guān)，這種關(guān)系可繪成圖11-12所示的曲線。圖 11-12 現(xiàn)在，結(jié)合圖1112來研究隨而變化的情況，并對(duì)位移與荷載的相位關(guān)系作一簡(jiǎn)單討論。(1) 當(dāng)遠(yuǎn)小于時(shí)，則很小，因而接近于1。這表明可近

25、似地將作為靜力荷載來計(jì)算。這時(shí)由于振動(dòng)很慢，因而慣性力和阻尼力都很小，動(dòng)力荷載主要由結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力所平衡。由式(1123)可知，位移與荷載之間有一個(gè)相位差，也就是說在有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)中，位移要比荷載落后一個(gè)相位；然而在無阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)中，由式(1120)可知，位移與荷載是同步的(當(dāng)時(shí))，或是相差亦即方向相反的(當(dāng)時(shí))。這是有無阻尼的重大差別。不過在目前的有阻尼振動(dòng)中，由于遠(yuǎn)小于，故從式(1125)可知，此時(shí)相位差也很小，因而位移基本上與荷載同步。 (2) 當(dāng)遠(yuǎn)大于時(shí)，則很小，這表明質(zhì)量近似于不動(dòng)或只作振幅很微小的顫動(dòng)。這 時(shí)由于振動(dòng)很快，因而慣性力很大，結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力和阻尼力相對(duì)地說可以忽略，此時(shí)

26、動(dòng)力荷載主要由慣性力來平衡。由于慣性力是與位移同相位的，所以動(dòng)力荷載的方向只能是與位移的方向相反才能平衡。由式(1125)亦可知，此時(shí)相位差差1800。圖 11-13下面通過一個(gè)例題來說明方法的應(yīng)用。例112 重量Q35kN的發(fā)電機(jī)置于簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)上 (圖1113)，并知梁的慣性矩I8.8105m4，E210GPa，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其離心力的垂直分力為Psint，且p10kN。若不考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為500rmin時(shí)，梁的最大彎矩和撓度(梁的自重可略去不計(jì))。 解：在發(fā)電機(jī)的重量作用下，梁中點(diǎn)的最大靜力位移為故自振頻率為 干擾力的頻率為 根據(jù)公式可計(jì)算出動(dòng)力系數(shù) 求得跨中點(diǎn)最大彎矩

27、 梁中點(diǎn)最大撓度為 圖 11-14以上的分析都是干擾力p(t)直接作用在質(zhì)點(diǎn)m上的情形。在實(shí)際問題中，也可能有干擾力p(t)不直接作用在質(zhì)點(diǎn)上。例如上圖1114a所示簡(jiǎn)支梁，集中質(zhì)點(diǎn)m在點(diǎn)1處，而干擾力則作用在點(diǎn)2處。建立質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)方程時(shí)，用柔度法較簡(jiǎn)便，現(xiàn)討論如下。設(shè)單位力作用在點(diǎn)1時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位移為；單位力作用在點(diǎn)2時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位移為：(圖1114b、c)。若在任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)m處的位移為y，則作用在質(zhì)點(diǎn)m上的慣性力為 ，在慣性力I和干擾力p共同作用下，如圖1114d所示，質(zhì)點(diǎn)m處的位移將為：即： (11.28)這就是質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)微分方程。由此可見，對(duì)于這種情況，本節(jié)前面導(dǎo)出的各個(gè)計(jì)算公

28、式都是適用的，只不過須將公式中的p(t) 用 來代替。115 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)下面討論幾種特殊荷載的作用。1、瞬時(shí)沖量：該荷載就是荷載p只在極短的時(shí)間內(nèi)給予振動(dòng)物體的沖量。如圖1115a所示，設(shè)荷載的大小p，作用的時(shí)間為，則其沖量以QP來計(jì)算，即圖中陰影線所表示的面積。圖 11-15 設(shè)在t0時(shí)，有沖量Q作用于單自由度質(zhì)點(diǎn)上，且假定沖擊以前質(zhì)點(diǎn)原來的初位移和初速度均為零，則在瞬時(shí)沖量作用下質(zhì)點(diǎn)m將獲得初速度，此時(shí)沖量Q全部轉(zhuǎn)移給質(zhì)點(diǎn)，使其增加動(dòng)量，動(dòng)量增值即為，故由可得 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)獲得初速度后還未產(chǎn)生位移時(shí)，沖量即行消失，所以質(zhì)點(diǎn)在這種沖擊下將產(chǎn)生自由振動(dòng)。將和代入式(111

29、1)，便得到瞬時(shí)沖量Q作用下質(zhì)點(diǎn)m的位移方程為 (1129)如不考慮阻尼則有 (1134) 有了式(1131)(1134)各式，只須把已知的干擾力代入進(jìn)行積分運(yùn)算，便可解算此種干擾力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。下面研究?jī)煞N特殊荷載作用下的解答。圖 11-16(1) 突加荷載 這是指突然施加于結(jié)構(gòu)上并保持常量繼續(xù)作用的荷載，我們以加載那一 瞬間作為時(shí)間的起點(diǎn)，其變化規(guī)律如圖1116a 所示，設(shè)結(jié)構(gòu)在加載前處于靜止?fàn)顟B(tài)，則可將代入式(1631)進(jìn)行積分求得 將此式對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零。即可求得產(chǎn)生位移極值的各時(shí)刻。當(dāng)時(shí)，最大動(dòng)力位移為 由此可得動(dòng)力系數(shù)為 若不考慮阻尼影響，則，式（16-35）成為 （

30、11-38）最大動(dòng)力位移為 結(jié)論：即在突加荷載作用下，最大動(dòng)力位移為靜止位移的兩倍。圖11-16b給出了式（11-38）所示的振動(dòng)曲線，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)在靜力平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。116 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)多自由度體系的振動(dòng)和單自由度體系類似，要解微分方程組，所以計(jì)算較繁。用到一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)。重點(diǎn)要理解力學(xué)原理和處理的方法，不要為數(shù)學(xué)知識(shí)所迷惑。1振動(dòng)微分方程的建立多自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程，同樣可按前述兩種基本方法來建立：（1）列動(dòng)力平衡方程，即剛度法 （2）列位移方程，即柔度法 圖 11-18設(shè)圖1118a所示無重量的簡(jiǎn)支梁支承著n個(gè)集中質(zhì)量m1、m2、mn，若略去梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)

31、，則為n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。設(shè)在振動(dòng)中任一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移分別為y1，y2、yn。按剛度法建立振動(dòng)微分方程時(shí)，可以采取類似于位移法的步驟來處理。首先加入附加鏈桿阻止所有質(zhì)點(diǎn)的位移(圖1118b)，則在各質(zhì)點(diǎn)的慣性力1、2、n）作用下，各鏈桿的反力即等于；其次令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點(diǎn)實(shí)際位置相同的位移 (圖1118c)，此時(shí)各鏈桿上所需施加的力為(i1、2、n)。若不考慮各質(zhì)點(diǎn)所受的阻尼力，則將上述兩情況疊加，各附加鏈桿上的總反力應(yīng)等于零，由此便可列出各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力平衡方程。以質(zhì)點(diǎn)為例，有 （a）而Ri的大小取決于結(jié)構(gòu)的剛度和各質(zhì)點(diǎn)的位移值，由疊加原理，它可寫為 (b)式中、等是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，它們物理意

32、義見圖1618d、e。例如為j點(diǎn)發(fā)生單位位移(其余各點(diǎn)位移均為零)時(shí)i點(diǎn)處附加鏈桿的反力。把式(b)代入(a)，有 (c)同理，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都列出這樣一個(gè)動(dòng)力平衡方程，于是可建立n個(gè)方程如下： （1143）寫成矩陣形式為 （1143）或簡(jiǎn)寫為 （1143）其中M為質(zhì)量矩陣，在集中質(zhì)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)中它是對(duì)角矩陣；K為剛度矩陣，根據(jù)反力互等定理，它是對(duì)稱矩陣；為加速度列向量；Y為位移列向量。式(1143)或式(1143)就是按剛度法建立的多自由度結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程。圖 11-19如果按柔度法來建立振動(dòng)微分方程，則可將各質(zhì)點(diǎn)的慣性力看作是靜力荷載(圖11- 19a)，在這些荷載作用下，結(jié)構(gòu)上任一質(zhì)

33、點(diǎn)mi處的位移應(yīng)為 (d)式中、等是結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)，它們的物理意義見圖1119b、c所示。據(jù)此，我們可以建立n個(gè)位移方程： (11-44)寫出矩陣形式，就有 (11-44)或簡(jiǎn)寫為 (11-44)其中為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，根據(jù)位移互等定理，它也是對(duì)稱矩陣。式(1144)或(1144)就是按柔度法建立的多自由度結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程。若對(duì)式(1144”)左乘以，則有 (e)與式(1243”)對(duì)比，顯然應(yīng)有 (1145)即柔度矩陣和剛度矩陣是互為逆陣的。可見不論按剛度法或柔度法來建立結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程，實(shí)質(zhì)都一樣，只是表現(xiàn)形式不同而已。當(dāng)結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)比剛度系數(shù)較易求得時(shí)，宜采用柔度法，反之則宜

34、采用剛度法。2按柔度法求解現(xiàn)在討論按柔度法建立的振動(dòng)微分方程的求解。設(shè)式(1644)的特解取如下形式： (g)亦即設(shè)所有質(zhì)點(diǎn)都按同一頻率同一相位作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但各質(zhì)點(diǎn)的振幅值各不相同。將式 (g)代入式(1644)并消去公因子可得 (11-46)寫成矩陣形式則為 （1146）這里 為振幅列向量，E是單位矩陣。式(1146)為振幅，且A1、A2、An的齊次方程，稱為振幅方程。當(dāng)Al、A2、An全為零時(shí)該式滿足，但這對(duì)應(yīng)于無振動(dòng)的靜止?fàn)顟B(tài)。要得到A1、A2、An不全為零的解答，則必須是該方程組的系數(shù)行列式等于零，即： (11-47)或?qū)懗?（11-47）將行列式展開，可得到一個(gè)含的n次代數(shù)方程，

35、由此可解出的n個(gè)正實(shí)根，從而得出n個(gè)自振頻率、，若按它們的數(shù)值由小到大依次排列，則分別稱為第一、第二、第n頻率，并總稱為結(jié)構(gòu)自振的頻譜。我們把用以確定數(shù)值的式(1647)或式(1647)稱為頻率方程。將n個(gè)自振頻率中的任一個(gè)代入式(g)，即得特解為 (1148)此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但各質(zhì)點(diǎn)的位移相互間的比值卻并不隨時(shí)間而變化，也就是說在任何時(shí)刻結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都保持同一形狀，整個(gè)結(jié)構(gòu)就像一個(gè) 單自由度結(jié)構(gòu)一樣在振動(dòng)。我們把多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率進(jìn)行的簡(jiǎn)諧振動(dòng)稱為主振動(dòng)，而其相應(yīng)的特定振動(dòng)形式稱為主振型或簡(jiǎn)稱振型。要確定振型便要確定各質(zhì)點(diǎn)振幅間的比值。為此，可將值代回振幅方程(1146)而得 (11-49)或?qū)憺?(11-49)由于此時(shí)式(