線性代數(shù)第11講

1、線性代數(shù)第11講向量空間與線性變換8/21/202214.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標(biāo)8/21/20222Rn中的n個單位向量e1=1,0,0,.,0e2=0,1,0,.,0.en=0,0,0,.,1是線性無關(guān)的一個n階實矩陣A=aijnn, 如果|A|0, 則A的n個行向量和n個列向量也都是線性無關(guān)的. 此外, Rn中任何n+1個向量都是線性相關(guān)的, 因此Rn中任一向量a都可用Rn中n個線性無關(guān)的向量來表示, 且表示法唯一. 由此給出基和坐標(biāo)的概念.8/21/20223定義1 設(shè)有序向量組B=b1,b2,.,bnRn, 如果B線性無關(guān), 則任給aRn有a=a1b1+a2b2+.+anbn,

2、(4.1)就稱B是Rn的一組基(或基底), 有序數(shù)組(a1,a2,.,an)是向量a關(guān)于基B(或說在基B下)的坐標(biāo), 記作aB=a1,a2,.,an或aB=a1,a2,.,anT,并稱之為a的坐標(biāo)向量.顯然Rn的基不是唯一的, 而a關(guān)于給定的基的坐標(biāo)是唯一的. 以后把n個單位向量組成的基稱為自然基或標(biāo)準(zhǔn)基.8/21/20224在三維幾何向量空間R3中, i,j,k是一組標(biāo)準(zhǔn)基, R3中任一向量a可唯一地表示為a=xi+yj+zk,這里有序數(shù)組(x,y,z)稱為a在基i,j,k下的坐標(biāo). 如果a的起點在原點, (x,y,z)就是a的終點P的直角坐標(biāo). (以后常用R3中向量a與空間點P的一一對應(yīng)關(guān)

3、系, 對Rn中的一些問題及其結(jié)論在R3中作幾何解釋).8/21/20225為討論方便, 對向量及其坐標(biāo)常采用列向量的形式a1,a2,.,anT, 則式子 a=a1b1+a2b2+.+anbn,(4.1)可表示為分塊矩陣相乘的形式8/21/20226設(shè)B1=a1,a2,.,an和B2=h1,h2,.,hn是Rn的兩組基, 則h1,h2,.,hn也都能被B1唯一地表示可用分塊矩陣表示為8/21/20227定義2 設(shè)Rn的兩組基B1=a1,a2,.,an和B2=h1,h2,.,hn滿足矩陣A稱為舊基B1到新基B2的過渡矩陣.過渡矩陣一定是可逆的.8/21/20228定理2 設(shè)向量a在兩組基B1=a1

4、,a2,.,an和B2=h1,h2,.,hn下的坐標(biāo)向量分別為x=x1,x2,.,xnT和y=y1,y2,.,ynT.基B1到基B2的過渡矩陣為A, 則Ay=x或 y=A-1x.證 由已知條件, 有(4.6)式成立, 且a=x1a1+x2a2+.+xnan =y1h1+y2h2+.+ynhn, 故8/21/20229由于a在基a1,a2,.,an下的坐標(biāo)是唯一的, 所以Ay=x 或 y=A-1x.8/21/202210在R2中, 任意兩個不在一條直線上(線性無關(guān))的向量a1,a2都可以構(gòu)成一斜角坐標(biāo)系:a1a28/21/202211但是在實際應(yīng)用中更希望獲得直角的坐標(biāo)系, 即希望a1,a2相互

5、垂直, 且a1和a2的長度都是1.a1a28/21/2022124.2 Rn中向量的內(nèi)積 標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交矩陣4.2.1 n維實向量的內(nèi)積, 歐氏空間8/21/202213前面討論n維實向量空間中只定義了向量的線性運算, 它不能描述向量的度量性質(zhì), 如長度, 夾角等. 在三維幾何空間中, 向量的內(nèi)積(即點積或數(shù)量積)描述了內(nèi)積與向量的長度及夾角間的關(guān)系. 由內(nèi)積定義可以得到8/21/202214若a=a1i+a2j+a3k, 簡記為a=(a1,a2,a3),b=b1i+b2j+b3k, 簡記為b=(b1,b2,b3).由內(nèi)積的運算性質(zhì)和內(nèi)積的定義, 可得a b=a1b1+a2b2+a3b3.現(xiàn)

6、在把三維向量的內(nèi)積推廣到n維實向量, 在n維實向量空間中定義內(nèi)積運算, 進而定義向量的長度和夾角, 使n維實向量具有度量性.8/21/202215定義1 設(shè)a=a1,a2,.,anT和b=b1,b2,.,bnTRn, 規(guī)定a與b的內(nèi)積為:(a,b)=a1b1+a2b2+.+anbn當(dāng)a,b為列向量時, (a,b)=aTb=bTa.根據(jù)定義, 容易證明內(nèi)積具有以下的運算性質(zhì):(i) (a,b)=(b,a)(ii) (a+b,g)=(a,g)+(b,g)(4.8)(iii) (ka,b)=k(a,b);(iv) (a,a)0, 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a=0其中a,b,gRn, kR由于性質(zhì)(iv), 可

7、用內(nèi)積定義n維向量a的長度.8/21/202216定義2 向量a的長度定理1 向量的內(nèi)積滿足|(a,b)|a| |b|.(4.10)(4.10)式稱為Couchy-Schwarz(柯西-許瓦茲)不等式.8/21/202217證 當(dāng)b=0時, (a,b)=0, |b|=0, (4.10)式顯然成立.當(dāng)b0時, 作向量a+tb(tR), 由性質(zhì)(iv)得(a+tb, a+tb)0.再由性質(zhì)(i),(ii),(iii)得:(a,a)+2(a,b)t+(b,b)t20.上式左端是t的二次三項式, 且t2系數(shù)(b,b)0, 因此 4(a,b)2-4(a,a)(b,b)0,即(a,b)2(a,a)(b,b

8、)=|a|2|b|2,故|(a,b)|a|b|.不難證明(4.10)式等號成立的充分必要條件為a與b線性相關(guān).8/21/202218當(dāng)a=a1,a2,.,anT, b=b1,b2,.,bnT時, 利用定理1可得由于內(nèi)積滿足Cauchy-Schwarz不等式, 于是可以利用內(nèi)積定義向量之間的夾角.定義3 向量a,b之間的夾角8/21/202219定理2 非零向量a,b正交(或垂直)的充分必要條件是(a,b)=0.由于零向量與任何向量的內(nèi)積為0, 因此, 也說零向量與任何向量正交.在三維幾何空間中, 向量a,b,a+b構(gòu)成三角形, 三個向量的長度滿足三角形不等式|a+b|a|+|b|.(4.13)

9、當(dāng)ab時, 滿足勾股定理|a+b|2=|a|2+|b|2.(4.14)8/21/202220下面證明, 在定義了內(nèi)積運算的n維向量空間中, 三角形不等式和勾股定理仍然成立. 下面給出它們的證明:|a+b|2=(a+b,a+b)=(a,a)+2(a,b)+(b,b)(1)|a|2+2|a|b|+|b|2(2)=(|a|+|b|)2,故|a+b|a|+|b|上面的(1)到(2)利用了Cauchy-Schwarz不等式.當(dāng)ab時, (1)式中的(a,b)=0, 于是就有|a+b|2=|a|2+|b|2.8/21/202221定義4 定義了內(nèi)積運算的n維實向量空間稱為n維歐氏空間, 仍記作Rn.8/2

10、1/2022224.2.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基在n維歐氏空間Rn中, 長度為1的單位向量組e1=1,0,0,.,0T,e2=0,1,0,.,0T, ., en=0,0,0,.,1T.顯然是兩兩正交的線性無關(guān)的向量組, 稱它為Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 然而, n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基不是唯一的, 為了說清楚這個問題, 首先證明兩兩正交不含零向量的向量組線性無關(guān), 再給出標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義, 最后給出由Rn中n個線性無關(guān)的向量構(gòu)造成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的施密特正交化方法.8/21/202223定理3 Rn中兩兩正交且不含零向量的向量組(稱為非零正交向量組)a1,a2,.,as是線性無關(guān)的.證 設(shè)k1a1+k2a2+

11、.+ksas=0,則由于(ai,ai)0, 故ki=0, i=1,2,.,s. 因此, a1,a2,.,as線性無關(guān).8/21/202224定義5 設(shè)a1,a2,.,anRn, 若則稱a1,a2,.,an是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.8/21/202225例1 設(shè)B=a1,a2,.,an是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 求Rn中向量b在基B下的坐標(biāo).解 設(shè)b=x1a1+x2a2+.+xnan,將上式兩邊對aj(j=1,2,.,n)分別求內(nèi)積, 得故b在標(biāo)準(zhǔn)正交基a1,a2,.,an下的坐標(biāo)向量的第j個分量為xj=(b,aj), j=1,2,.,n.8/21/202226在R3中取i,j,k為標(biāo)準(zhǔn)正交基, 例

12、1中的x1,x2,x3就是a在i,j,k上的投影.4.2.3 施密特(Schmidt)正交化方法施密特正交化方法是將Rn中一組線性無關(guān)的向量a1,a2,.,an, 作一種特定的線性運算, 構(gòu)造出一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的方法.先從R3的一組基a1,a2,a3構(gòu)造出一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 以揭示施密特正交化方法的思路和過程.8/21/202227令b1=a1, 將a2在b1上的投影向量記作g12=k12b1再取 b2=a2-g12=a2-k12b1, 則b2b1Og12a1=b1a2b2=a2-g128/21/202228由于a3與a1,a2不共面, 所以a3與b1,b2不共面, 如果記a3在b1,b2平面

13、上的投影向量為g3, 即g3=g13+g23=k13b1+k23b2.并取b3=a3-g3=a3-k13b1-k23b2,則b3b1, b3b2.a3b2b1b3=a3-g3g13g23g38/21/202229如此求得的b1,b2,b3是兩兩正交的非零向量組. 再將b1,b2,b3單位化, 即取則h1, h2, h3就是R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.8/21/202230由Rn中線性無關(guān)向量組a1,a2,.,am也可類似地構(gòu)造出一組標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組h1,h2,.,hm, 步驟為: 取b1=a1,b2=a2+k12b1,由于b1,a2線性無關(guān), 所以b2O, 為使b1,b2正交, 即(b2,b1)=(

14、a2+k12b1,b1)=(a2,b1)+k12(b1,b1)=0,便得8/21/202231再取 b3=a3+k23b2+k13b1,使(b3,b1)=(b3,b2)=0, 又得假定已求出兩兩正交的非零向量b1,b2,.,bj-1, 再取 bj=aj+kj-1,jbj-1+.+k2jb2+k1jb1,為使bj與bi(i=1,2,.,j-1)正交, 即(bj,bi)=(aj,bi)+kij(bi,bi)=0,即得8/21/202232因此, 令b1=a1, 并在(4.16)式中取j=2,3,.,m, 就得到兩兩正交的非零向量組b1,b2,.,bm. 再將它們單位化為: h1,h2,.,hm, 其中這就由線性無關(guān)的a1,a2,.,am構(gòu)造出了標(biāo)準(zhǔn)正交向量組h1,h2,.,hm. 這個正交化過程稱為施密特正交化方法.8/21/202233如果a1,a2,.,an是Rn的一組基, 按施密特正交化方法, 必可構(gòu)造出Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基h1,h2,.,hn. 由此可見, Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基不唯一.例2 已知B=a1,a2,a3是R3的一組基, 其中a