新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 7.4　空間直線、平面的垂直 學(xué)案

1、PAGE PAGE 127. 4空間直線、平面的垂直從定義或基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系，歸納出性質(zhì)定理(并加以證明)及判定定理. 【教材梳理】1. 直線與直線垂直(1)異面直線所成角：如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線aa，bb，我們把直線a與b所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). (2)異面直線垂直的定義：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直. 直線a與直線b垂直，記作ab. 異面直線所成角的范圍是(0，90；空間兩條直線所成角的范圍是0，90. 2. 直線與平面

2、垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面互相垂直，記作l. 直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面. 直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足. 過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條. (2)判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直 圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言lm，ln，m，n，mnAl (3)直線與平面所成角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. 直線與平面所成角的范圍是0，90. (4)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，bab (5)空

3、間距離點(diǎn)到平面的距離：過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離. 直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離. 兩個(gè)平行平面間的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離. 3. 平面與平面垂直(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角. 以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以用它的

4、平面角度量. 二面角的范圍是0，180. (2)判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直 圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l，l (3)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直 圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言，a，b，bab 【常用結(jié)論】4. 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直. 5. 垂直、平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“”，錯(cuò)誤的畫(huà)“”. (1)已知直線a，b，c，若ab，bc，則ac. ()(2)直線l與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l. ()(3)

5、設(shè)m，n是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，若mn，m，則n. ()(4)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面. ()(5)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (2021石嘴山市第三中學(xué)模擬)設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列說(shuō)法正確的是 ()A. 若mn，m，則nB. 若mn，m，n，則C. 若m，n，mn，則D. 若n，則mn，m，則解：對(duì)于A，直線n可能在平面內(nèi)，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若mn，m，n，則與平行或相交，錯(cuò)誤；對(duì)于C，與相交或平行，錯(cuò)誤；對(duì)于D，n，nm，且m，則必有n，根據(jù)面面垂直的判

6、定定理知，正確. 故選D. 如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是 ()A. ACSBB. ADSCC. 平面SAC平面SBDD. BDSA解：SD底面ABCD，則ACSD，因?yàn)锳CBD，SDBDD，所以AC平面SBD，因?yàn)镾B平面SBD，AC平面SAC，所以ACSB，平面SAC平面SBD，A，C正確；由選項(xiàng)A知，ADSD，又ADDC，所以AD平面SDC，則SCAD，B正確；若BDSA，則BD垂直SA在平面ABCD內(nèi)的射影DA，這是不可能的，D錯(cuò)誤. 故選D. (2019北京卷)已知l，m是平面外的兩條不同直線. 給出下列三個(gè)論斷：lm；m；l. 以其中

7、的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：_. 解：若l，m，則lm，故正確；若l，lm，則m，故正確；若lm，m，則l，l與斜交或l，故不正確. 故填如果l，m，則lm(答案不唯一). 考點(diǎn)一垂直關(guān)系的基本問(wèn)題(1)已知，m，n，l，則“mn”是“ml”的 ()A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件解：由題意得，當(dāng)nl時(shí)，有n，則有nm，此時(shí)m與l的位置關(guān)系可以是平行或相交，充分性不成立；當(dāng)ml時(shí)，有m，又因?yàn)閚，所以mn，必要性成立. 所以“mn”是“ml”的必要不充分條件. 故選B. (2)【多選題】(2021年新高考八

8、省模擬演練)如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，則在該正方體中 ()A. AECD B. CHBEC. DGBH D. BGDE解：由正方體的平面展開(kāi)圖還原正方體如圖，由圖形可知，AECD，故A錯(cuò)誤；由HEBC，HEBC知，四邊形BCHE為平行四邊形，所以CHBE，故B正確；因?yàn)镈GHC，DGBC，HCBCC，所以DG平面BHC，BH平面BHC，所以DGBH，故C正確；因?yàn)锽GAH，而DEAH，所以BGDE，故D正確. 故選BCD. (3)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，AC與EF交于點(diǎn)G，現(xiàn)沿AE，AF及EF將這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為

9、H，則在這個(gè)空間圖形中必有 ()A. AG平面EFH B. AH平面EFHC. HF平面AEF D. HG平面AEF解：易知G為EF的中點(diǎn)，根據(jù)翻折性質(zhì)，AHHE，AHHF不變，得AH平面EFH，故B正確；因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直，所以A不正確；因?yàn)锳GEF，EFGH，AGGHG，所以EF平面HAG，又EF平面AEF，所以平面HAG平面AEF，過(guò)點(diǎn)H作直線垂直于平面AEF，該直線一定在平面HAG內(nèi)，所以C不正確；由AHHG知，HG與AG不垂直，所以D不正確. 故選B. 【點(diǎn)撥】 證明線線、線面、面面垂直重在轉(zhuǎn)化，基本方法詳見(jiàn)本節(jié)【常用結(jié)論】；翻折問(wèn)題緊抓不變位置關(guān)系. (1)(2

10、020長(zhǎng)春四模)已知直線a和平面，有如下關(guān)系：，a，a，則下列命題為真的是 ()A. B. C. D. 解：對(duì)于A，由，a，可得a或a，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，a，可得a或a或a與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由a，過(guò)a作平面與相交，交線為b，則ab，因?yàn)閍，所以b，而b，可得，故C正確；對(duì)于D，由，a，可得a，故D錯(cuò)誤. 故選C. (2)【多選題】(2021全國(guó)新高考卷)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn). 則滿足MNOP的是 () A B C D解：對(duì)于A，如圖1所示，連接AC，則MNAC，故POC(或其補(bǔ)角)為異面直線OP，MN所成的角，在RtOPC中，OC

11、CP，故OCOP不成立，故MNOP不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖2所示，取NT的中點(diǎn)為Q，連接PQ，OQ，則OQNT，PQMN，由正方體SBCMNADT可得SN平面ANTD，而OQ平面ANTD，故SNOQ，而SNMNN，故OQ平面SNTM，又因?yàn)镸N平面SNTM，則OQMN，而OQPQQ，所以MN平面OPQ，而PO平面OPQ，故MNOP，故B正確；對(duì)于C，如圖3，連接BD，則BDMN，由B的判斷可得OPBD，故OPMN，故C正確；對(duì)于D，如圖4，取CT的中點(diǎn)E，連接ME，NE，PE，AM，易知PEOM，所以四邊形OPEM為平行四邊形，所以O(shè)PME，在MNE中，NEMEMN，則MNME不成立，故

12、MNOP不成立，故D錯(cuò)誤. 故選BC. (3)【多選題】(2021廣東深圳高級(jí)中學(xué)高三月考)如圖，AC2R為圓O的直徑，PCA45，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點(diǎn)A，C重合的點(diǎn)，ASPC于S，ANPB于N，則下列結(jié)論正確的是 ()A. 平面ANS平面PBCB. 平面ANS平面PABC. 平面PAB平面PBCD. 平面ABC平面PAC解：因?yàn)镻A平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，又ABBC，PAABA，所以BC平面PAB，又AN平面ABP，所以BCAN，又因?yàn)锳NPB，BCPBB，所以AN平面PBC，又AN平面ANS，所以平面ANS平面PBC，故A正確；由平面ANS平面PAB

13、AN，PBAN，且PB與NS不垂直，故B錯(cuò)誤；C，D顯然正確. 故選ACD. 考點(diǎn)二垂直關(guān)系的證明問(wèn)題(2019全國(guó)卷改編)圖1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB1，BEBF2，F(xiàn)BC60. 將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2. (1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC平面BCGE；(2)設(shè)H為BF的中點(diǎn)，證明：平面DHC平面ABED；(3)探究平面ABC與平面ACGD是否垂直，并說(shuō)明理由. 圖1圖2解：(1)證明：由已知得ADBE，CGBE，所以圖2中ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面. 由

14、已知得ABBE，ABBC，BEBCB，故AB平面BCGE. 又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE. (2)證明：因?yàn)镋BC60，所以BCE為正三角形，所以CHBE，由(1)可知ABCH且ABBEB，所以CH平面ABED，CH平面DHC，所以平面DHC平面ABED. (3)不垂直，理由如下：假設(shè)平面ABC平面ACGD，在平面ABC內(nèi)作BMAC于M，所以BM平面ACGD，所以BMAD，又因?yàn)锳BAD且ABBMB，所以AD平面ABC，又因?yàn)锳DBE，所以BE平面ABC，所以BEBC，這與EBC60矛盾，所以平面ABC與平面ACGD不垂直. 【點(diǎn)撥】 垂直關(guān)系的證明，除了直接應(yīng)用定理外，有

15、時(shí)還需要結(jié)合計(jì)算進(jìn)行證明，即由已知長(zhǎng)度關(guān)系，得到相關(guān)邊滿足勾股定理，進(jìn)而得到線線垂直. (1)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn). ()求證：PEBC；()求證：平面PAB平面PCD；()求證：EF平面PCD. 證明：()因?yàn)镻APD，E為AD的中點(diǎn)，所以PEAD. 因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BCAD，所以PEBC. ()因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以ABAD. 又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，因?yàn)镻D平面PAD，所以ABPD. 又因?yàn)镻APD，

16、ABPAA，所以PD平面PAB. 因?yàn)镻D平面PCD，所以平面PAB平面PCD. ()如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG. 因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以FGBC，F(xiàn)Geq f(1,2)BC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DEBC，DEeq f(1,2)BC. 所以DEFG，DEFG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形，EFDG. 又因?yàn)镋F平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD. (2)如圖，在四棱錐PABCD中，PAAD，ADeq f(1,2)BCeq r(3)，PCeq r(5)，ADBC，ABAC，BAD150，PDA30. 求證：PA平面ABCD.

17、 證明：取線段BC的中點(diǎn)E，連接AE. 因?yàn)锳Deq r(3)，PDA30，PAAD，所以PA1. 因?yàn)锳DBC，BAD150，所以B30. 又因?yàn)锳BAC，所以AEBC，而B(niǎo)C2eq r(3)，所以ACABeq f(BE,cos 30)2. 因?yàn)镻Ceq r(5)，所以PC2PA2AC2，即PAAC. 因?yàn)镻AAD，且AD，AC平面ABCD，ADACA，所以PA平面ABCD. 考點(diǎn)三垂直關(guān)系的綜合問(wèn)題命題角度1空間距離計(jì)算(2019全國(guó)卷)已知ACB90，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC2，點(diǎn)P到ACB兩邊AC，BC的距離均為eq r(3)，那么P到平面ABC的距離為. 解：如圖，作PD，PE分別

18、垂直于AC，BC于點(diǎn)D，E，PO平面ABC于點(diǎn)O，連接CO，由題意可知CDPD，CDPO，PDPOP，所以CD平面PDO，又因?yàn)镺D平面PDO，所以CDOD，因?yàn)镻DPEeq r(3)，PC2，所以sinPCEsinPCDeq f(r(3),2)，所以PCBPCA60，又因?yàn)橐字狿OCO，CO為ACB的平分線，所以O(shè)CD45，ODCD1，OCeq r(2)，又因?yàn)镻C2，所以POeq r(42)eq r(2). 故填eq r(2). 【點(diǎn)撥】 空間立體幾何中的距離包括點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、線線距離、線面距離、面面距離等. 在這些距離當(dāng)中，點(diǎn)到平面的距離居核心地位. 在高考中也經(jīng)常涉及，

19、線線距離、線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離去求解. 求點(diǎn)面距的基本方法有：作垂線計(jì)算、等積法求解、向量法求解、平行轉(zhuǎn)化法及比例轉(zhuǎn)化法等. (2021天津高一期末)三棱錐SABC中，SA底面ABC，SA4，AB3，D為AB的中點(diǎn)，ABC90，則點(diǎn)D到平面SBC的距離等于 ()A. eq f(12,5) B. eq f(9,5) C. eq f(6,5) D. eq f(3,5)解：如圖，在SAB中，過(guò)A作AESB交SB于E，因?yàn)镾A平面ABC，所以SABC，又ABBC，SAABA，所以BC平面SAB，因?yàn)锳E平面SAB，所以BCAE，而AESB，且BCSBB，所以AE平面SBC. 在

20、SAB中，由勾股定理易得SB5，則由等面積法可得AEeq f(12,5)，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以D到平面SBC的距離為eq f(1,2)AEeq f(6,5). 故選C. 命題角度2空間角的計(jì)算(2020云南昆明市1月高三檢測(cè))如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB2，BCEF1，AEeq r(6)，DE3，BAD60，G為BC的中點(diǎn). (1)求證：FG平面BED；(2)求證：平面BED平面AED；(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值. 解：(1)證明：如圖，取BD的中點(diǎn)O，連接OE，OG. 在BCD中，因?yàn)镚是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)GDC且OGeq

21、f(1,2)DC1. 又因?yàn)镋FAB，ABDC，所以EFOG且EFOG，所以四邊形OGFE是平行四邊形，所以FGOE. 又因?yàn)镕G平面BED，OE平面BED，所以FG平面BED. (2)證明：在ABD中，AD1，AB2，BAD60，由余弦定理可得BDeq r(3)，則ADB90，即BDAD. 又因?yàn)槠矫鍭ED平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，所以BD平面AED. 又因?yàn)锽D平面BED，所以平面BED平面AED. (3)因?yàn)镋FAB，所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所成的角. 如圖，過(guò)點(diǎn)A作AHDE于點(diǎn)H，連接BH. 又因?yàn)槠矫鍮ED平面AEDE

22、D，由(2)知AH平面BED，所以直線AB與平面BED所成的角即為ABH. 在ADE中，AD1，DE3，AEeq r(6)，由余弦定理得cosADEeq f(2,3)，所以sinADEeq f(r(5),3)，因此，AHADsinADEeq f(r(5),3). 在RtAHB中，sinABHeq f(AH,AB)eq f(r(5),6). 所以直線EF與平面BED所成角的正弦值為eq f(r(5),6). 【點(diǎn)撥】 線面角、二面角求法：根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)證求(算)“三步曲”. 射影法：設(shè)斜線段AB在平面內(nèi)的射影為AB，AB與所成角為，則coseq f(blc|rc|(avs4alco1(AB),blc|rc|(avs4alco1(AB)；設(shè)ABC在平面內(nèi)的射影三角形為ABC，平面ABC與所成角為，則coseq f(SABC,SABC). 向量法，詳見(jiàn)后續(xù)內(nèi)容.