八年級數(shù)學(xué)等腰三角形檢測試題

1、【內(nèi)容綜述】等腰三角形和直角三角形是兩種非常特殊的三角形，本講中通過一系列有關(guān)等腰三角形或直角三角形的問題的解決，既是復(fù)習(xí)有關(guān)三角形全等的知識，同時也是培養(yǎng)同學(xué)們分析、解決問題的能力。同學(xué)們通過學(xué)習(xí)下面問題的分析、解答過程，特別要注意體會如何根據(jù)題目的已知信息和圖形特征作出適當(dāng)?shù)妮o助線。這是學(xué)習(xí)本節(jié)的難點所在?！疽c講解】例1如圖2-8-1,色出骯；中，AB=AC,D為AB上一點，E為AC延長線上一點，且BD=CE,DE交BC于G。求證：DG=EG。思路因為GDB和厶GEC不全等，所以考慮在GDB內(nèi)作出一個與GEC全等的三角形。證明：過D作DHAE,交BC于H.ZACB=ZECGVAB=ACZ

2、ACB=ZABCZDHB=ZABCDB=DH又.DB=CEDH=CE又、:ZDGM=EGCADGM=AEGCDG=EG.說明本題易明顯得出DG和EG所在的DBG和厶ECG不全等,故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過E作EFBD,交BC的延長線于F，證明DBG9AEFG,讀者不妨試一試。例2如圖2-8-2,D為等邊ABC的內(nèi)部一點,DB=DA,BE=AB,ZDBE=ZDBC，求ZBED的度數(shù)。思路從已知中知等邊厶ABC的每個內(nèi)角為60。所以要想辦法把ZBED和60這一信息產(chǎn)生聯(lián)系。解：連結(jié)DC由厶ABC是等邊三角形且BE=AB可得BE=BC又VZDBE=ZDBC,BD=BDDBE9ADBC

3、,.ZBED=ZBCDDB=DA,DC=DC,CB=CA,.CBDCADBCD=ZACD=2ZBCA三X60=30ZBED=30說明證明兩角相等的重要思路之一就是證明這兩角所在的兩個三角形能全等。例3如圖2-8-3,在厶ABC中，AB=AC,ZA=100,作ZB的平分線與AC邊交于E,求證：BC=AE+BE。思路要想辦法把AE+BE替換成一條線段a,然后只需證明BC=a。證明延長BE到F,使EF=AE,連結(jié)FC,作ZBEC的平分線交BC于G,由AB=AC,ZBAC=100，可知ZABE=ZCBE=20因而ZAEB=ZGEB=60于是AEB9AGEB則有EG=EA=EF又由ZGEC=ZFEC=6

4、0所以GEC9AFEC所以ZEFC=ZEGC=180100=80從而ZBCF=80故BC=BF=AE+BE例4如圖2-8-4,P為等邊ABC內(nèi)任一點,PD丄AB于D,PE丄BC于E,PF丄AC于F。求證：PD+PE+PF是定值。思路考慮把PD+PE+PF用等邊ABC的邊長、周長、咼、面積等不變量表示出來。證明連結(jié)PA、PB、PC,過A作AH丄BC于H。-ABPD+-BCPE+-CAPF=-BCAH又.AB=BC=CA,PD+PE+PF=AH因為等邊三角形的大小已給定,則它的咼也隨之確定。PD+PE+PF是定值。說明題中的PD、PE、PF這三段都是點到線段的距離，故聯(lián)想到了三角形的面積，利用各個

5、部分的面積之和等于整體的面積建立了等式關(guān)系。例5如圖2-8-5,在AABC中，BF丄AC,CG丄AB,垂足分別是F、G,D是BC的中點，DE丄FG,垂足是E。求證：GE=EF。思路利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，只需證明DG=DF。證明連結(jié)DG、DF。VDG是RtABCG的斜邊BC上的中線。兀冷恥，同理可證吩存DG=DF又TDE丄FG,GE=EF說明若題目中作了三角形的高,就應(yīng)注意所形成的直角三角形這一圖形，如本題圖中的RtABGC和RtCFBo例6已知一個直角三角形的邊長都是自然數(shù),且周長和面積的量數(shù)相等，求這個三角形的三邊長。思路列出三邊長滿足的關(guān)系式,然后通過分析、討論得出三邊的長度。a+

6、b+c=ab2解設(shè)三邊長分別為a,b,c,其中c為斜邊，則c=abah由得，代入得即右ab(ab-4Z?+8)=0Vab#0,ab4a4b+8=0(a、b為自然數(shù))a4=1,2,4,8a=5,6,8,12；b=12,8,6,5；c=13,10,10,13三邊長分別為6、8、10或5、12、13。說明本題是用代數(shù)方法解幾何題,這種方法今后還大有用處,請讀者注意它。例7如圖2-8-6,在AABC中，AB=AC=CB,AE=CD,AD、BE相交于P,BQ丄AD于Q。求證：BP=2PQ。思路在RtABPQ中，本題的結(jié)論等價于證明ZPBQ=30證明AB=CA,ZBAE=ZACD=60,AE=CD,BAE

7、mACD.ZABE=ZCAD.ZBPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=60又.BQ丄ADZPBQ=30BP=2PQ說明本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù),這種轉(zhuǎn)換問題的方法值得讀者細(xì)心體會。A級TOC o 1-5 h z1.在AABC中，ZACB=90,D、E為AB上的二點，且AE=AC,BD=BC，如圖2-8-7，則ZDCE的度數(shù)是。2.ABC中，AB=AC,D在BC上,ZBAD=30，在AC上取AE=AD，則ZEDC的度數(shù)是。3.已知直角三角形的周長為八民，斜邊上的中線長為1,則這個直角三角形的面積是。4.如圖2-8-8P是等邊ABC外的一點，ZAPB=ZAPC=60。，

8、求證：PA=PB+PC。5.等腰三角形的各邊均為正整數(shù)，周長為15，則滿足條件的三角形有。1111_+=6.三角形三邊的長滿足bca-b+c，則這個三角形的形狀是7.在等腰直角ABC中，P為斜邊上的一點，四邊形EPFC是矩形，D為AB的中點，如圖2-8-9,則DE和DF的大小關(guān)系是。如圖2811，作等腰厶BAD，使BD=BA=BN,8.如圖2-8-10,AC=BC,ZC=20，又M在AC邊上，N在BC邊上且滿足ZBAN=50,ZABM=60，求ZNMB的度數(shù)。F參考答案1.45-ZA-ZB提示：由AE=AC得ZAEC=902，同理由BD=BC得ZBDC=90-，又因為ZA+ZB=90。，所以得

9、ZAEC+ZBDC=135，所以ZDCE=45。2.15提示：由題設(shè)條件設(shè)ZAED=ZADE=X，所以ZEDC=XZCO又因為2ZC+30+(1802X)=180，由此可得XZC=15，所以ZEDC=15o3.1提示：設(shè)它的三邊長為a，b，c,由題設(shè)條件得c=2，所以a+b=VFla2+b2=22由一得ab=1，則4.提示：在PA上截取PD=PB,連結(jié)BD,可證出厶4DE=BPC=120,BP=BD,AB=BC,所以得ABD=KBPC，則AD=PC，所以BP+PC=PD+DA=PAo5答案：4個提示：由題意設(shè)三邊為x,x,y,則有-x-解得24,.：x=4,5,6,7。當(dāng)x=4時，y=7；當(dāng)x=5,y=5；當(dāng)x=6,y=3,當(dāng)x=7,y=1；故符合條件的三角形共有4個。6等腰三角形。提示：a+(c-b)a-ic=0二(心一c)(a+c)(a-i)=0=(bc)a2-(bc)2a+bc(c-b)=-(?)=a=b或b=c7DE=DF,ZFCD=ZEAD=45,CF=EP=EA,CD=AD=-AB提示：連結(jié)CD,則由題設(shè)條件得2所以FCD9AEAD，故DE=DFO830簡解：易證AB=BN,ZAMB