2022屆內(nèi)蒙古包鋼第一中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 20 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 20 頁(yè)2022屆內(nèi)蒙古包鋼第一中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A4B-4C3D-3【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，即可得到，從而得到的虛部；【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，于是所以的虛部?.故選：A.2已知集合，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）ABCD【答案】C【分析】對(duì)分兩種情況討論，化簡(jiǎn)集合，解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)交集的結(jié)果，即可

2、得到答案；【詳解】，當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，故選：C.3已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，與共線，則（）A2BCD【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的充要條件建立方程直接求解.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，所以，因?yàn)橄蛄?，是兩個(gè)不共線的向量，所以，解得，故選：C4人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，目前，全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量已經(jīng)從級(jí)別躍升到，乃至級(jí)別（，）由國(guó)際數(shù)據(jù)公司的研究結(jié)果得到2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量（單位：）的散點(diǎn)圖根據(jù)散點(diǎn)圖，下面四個(gè)選項(xiàng)中最適宜刻畫2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量和實(shí)際的函數(shù)模型是（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特征即可求解.【詳解】解：

3、由散點(diǎn)圖知：全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量隨年份的增加而增加，且增加的速度越來越快，因?yàn)榈膱D象是一條直線， 的圖象，隨x增大，y增大，但圖象越來越平緩，的圖象，隨x增大，y增大，但圖象越來越平緩，的圖象，隨x增大，y增大，圖象越來越陡峭，所以D選項(xiàng)正確，A、B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D5習(xí)近平主席“綠水青山就是金山銀山”的反復(fù)叮嚀，人們已經(jīng)耳熟能詳，由此帶來的發(fā)展方式轉(zhuǎn)化，實(shí)實(shí)在在地改變著中國(guó)的樣貌某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的0.25%.已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫克/升）與過濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為 （其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為

4、常數(shù)，為原污染物總量）.若前4個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過濾掉了80%，則要能夠按規(guī)定排放廢氣，還需要過濾小時(shí)，則正整數(shù)的最小值為（參考數(shù)據(jù)： ）（）A9B11C13D15【答案】B【分析】首先根據(jù)已知條件得到，從而得到，再解不等式即可.【詳解】前4個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過濾掉了80%，則，則，由題意知： ，可得，即，即還需要過濾11小時(shí).故選：B.6已知雙曲線在第一象限上存在一點(diǎn)，與中心、右焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則雙曲線的離心率（）ABCD【答案】D【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)得出，將點(diǎn)代入雙曲線方程，結(jié)合以及離心率公式得出雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)?，所以由得出，即解得或（舍）即故選：D7某大

5、學(xué)有兩家餐廳，某同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率是；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率是；則該同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率是（）ABCD【答案】B【分析】由題設(shè)，應(yīng)用全概率公式可直接求得該同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率.【詳解】設(shè) “第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，由題意得：，由全概率公式，得：，因此，該同學(xué)第天去餐廳用餐的概率為.故選：B.8如圖，已知在中，點(diǎn)在邊上，且滿足，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理計(jì)算作答.【詳解】在中， ，則，因，則，在中，由

6、余弦定理得：，即，在中，由正弦定理得：，所以.故選：D9將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）ABCD【答案】A【分析】由三角恒等變換得，進(jìn)而得，再結(jié)合題意得，再解方程即可得答案.【詳解】解：，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱依題意得解得，的最小值為.故選：A.10已知圓，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)引直線，與圓相切，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（）AB2CD8【答案】C【分析】利用切線性質(zhì)，構(gòu)造的長(zhǎng)度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)的最小值即可.【詳解】圓的方程：，可知，故四邊形的面積，當(dāng)取最小值時(shí)最小，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，的最小值為故選：1

7、1已知正三棱柱的高等于1.一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（）ABCD【答案】B【分析】尋找滿足條件的球心與半徑，通過解直角三角形求解【詳解】如圖，作正三棱柱的中截面正，作上下底面三角形內(nèi)切圓，與正三棱柱的所有棱都相切的球必過的外接圓和上下底面內(nèi)切圓，取上下底面內(nèi)切圓心、，連接，取中點(diǎn)，為的外心，以為球心，以為半徑的球，此球即為與正三棱柱所有棱都相切的球，在直角OMN中，由得，球的半徑，球的體積.故選：B.12若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)任意的，都有，則m的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】利用對(duì)稱性可得，解出，將不等式分離參數(shù)得，將作等價(jià)變形得，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求得（

8、需先證）進(jìn)而得解.【詳解】由題意，即，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，考慮函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，注意到，考慮函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可取等號(hào)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可取等號(hào)，所以，故選：A.二、填空題13設(shè)命題，若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【分析】為假命題，為真命題，將問題轉(zhuǎn)化為，求出函數(shù)的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題得，為真命題，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.故只需.故答案為：14數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則_【答案】【分析】由，結(jié)合已知條件及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求值.【詳解

9、】由題設(shè)知：=.故答案為：.15設(shè)函數(shù)，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，且，則的取值范圍為_【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性作出圖象，結(jié)合圖象，得到且，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：由題意，當(dāng)時(shí)，滿足，所以在與上的圖象關(guān)于對(duì)稱，作出圖象，如圖所示，因?yàn)?，可得且，所以，所以，所以，又由，令，則原式化為，因?yàn)槠鋵?duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增，可得，所以的取值范圍是.故答案為: 16已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_.【答案】【分析】設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，由題意兩點(diǎn)在圓上，且三角形為等邊三角形，由的幾何意義為兩點(diǎn)到直線的距離與之和，記線段的中點(diǎn)分別是，到直線的距離為，根據(jù)，且即

10、可得答案.【詳解】解：設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，由，可得兩點(diǎn)在圓上，且，則，所以三角形為等邊三角形，的幾何意義為兩點(diǎn)到直線的距離與之和，記線段的中點(diǎn)分別是，到直線的距離為，則有，且，所以，所以的最大值為，故答案為：.三、解答題17若等比數(shù)列的各項(xiàng)為正，前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)公比為，則由已知可得，求出公比，再求出首項(xiàng)，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知可得，而，所以，然后利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果【詳解】(1)設(shè)各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的公比為，則，即，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

11、.(2)因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.由（1）知，所以.所以在的等式兩邊同乘以，得由等式兩邊相減，得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知識(shí)可知，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面?）方法一：相似三角形法 由（1）可知于是，故因?yàn)?，所以，即故四棱錐的體積方法二：

12、平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法由（2）知,所以建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)因?yàn)?，所以，從而所以，即下同方法? 方法三【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，所以，所以所以，即下同方法一. 方法四：空間向量法由，得所以即又底面，在平面內(nèi)，因此，所以所以，由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得，即所以，即下同方法一.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng),

13、為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).19某城市一入城交通路段限速50公里/小時(shí)，現(xiàn)對(duì)某時(shí)段通過該交通路段的n輛小汽車車速進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在4050公里/小時(shí)之間的車輛有150輛.(1)求n的值；(2)估計(jì)這n輛小汽車車速的中位數(shù)；(3)根據(jù)交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時(shí)速10%以內(nèi)（含10%）不罰款，超過時(shí)速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)某輛小汽車在該路段被罰款的概率.【答案】(1)；(2)46；(3).【分析】（1）解方程即得解；（2）設(shè)這輛小汽車車速的中位數(shù)為，解方程即得解.（3）這50

14、0輛小車中，有輛小車超速以上，即可可以估計(jì)某輛小汽車在該路段被罰款的概率.【詳解】(1)解：由直方圖可知，車速在公里/小時(shí)之間的頻率為，所以，得.(2)解：設(shè)這輛小汽車車速的中位數(shù)為，則，解得，所以可以估計(jì)這輛小汽車車速的中位數(shù)為46.(3)解：由交通法規(guī)可知，小車速度在55公里/小時(shí)以上需要罰款，由直方圖可知，小車速度在公里/小時(shí)之間的有輛，由統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，可以認(rèn)為車速在公里/小時(shí)之間的小車有70輛.又小車速度在公里/小時(shí)之間的有輛，所以這500輛小車中，有輛小車超速以上，故可以估計(jì)某輛小汽車在該路段被罰款的概率為.20已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值

15、為.(1)求橢圓C的方程；(2)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)設(shè)出橢圓C的半焦距，根據(jù)離心率及三角形面積列出方程組求解即得.(2)當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，借助韋達(dá)定理計(jì)算探討即可得解，然后討論直線l斜率不存在的情況作答.【詳解】(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c，因離心率為，則，由橢圓性質(zhì)知，橢圓短軸的端點(diǎn)到直線的距離最大，則有，于是得，又，聯(lián)立解得，所以橢圓C的方程為：.(2)由(1)知，點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，

16、不妨設(shè)，由消去y并整理得，假定在x軸上存在定點(diǎn)Q滿足條件，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l：與橢圓C交于點(diǎn)A，B，由對(duì)稱性不妨令，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，所以存在定點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值21已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值；(3)是否存在一條直線與函數(shù)的圖象相切于兩個(gè)不同的點(diǎn)？并說明理由.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)2(3)不存在，理由見解析【分析】（1）

17、求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）不等式恒成立，即恒成立，分和求出函數(shù)的最小值即可得出答案；（3）令，假設(shè)存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)，不妨，可得曲線在兩切點(diǎn)處的切線方程，再根據(jù)題意列出方程組，整理從而可得出結(jié)論.【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，得，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)解：由，得，令，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以恒成立矛盾，?dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，令，因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，綜上，使不等式恒成立的整數(shù)a的最小值為2；(3)解：令，假設(shè)存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)，不妨，則處切線的方程為：，處切線的方程為：，因?yàn)?，為同一直線，所以，即，整理得，消去得，令，由與，得，記，則，所以為上的單調(diào)減函數(shù)，所以，從而式不可能成立，所以假設(shè)不成立，從而不存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，還考查了不等式恒成立問題及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了分類討論思想和計(jì)算能力，難度較大.22在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓的極坐標(biāo)方程；(2)橢圓，射線與圓的交點(diǎn)為O，P，與橢圓