光電子：第二章例題和習(xí)題

1、第二章例題和習(xí)題例題2.1 波導(dǎo)模式有一平面介質(zhì)波導(dǎo)，波導(dǎo)芯的厚度為20m，光波長(zhǎng)為900nm。已知它符合方程(2.3)的波導(dǎo)條件。對(duì)于TE模全內(nèi)反射時(shí)的表達(dá)式為用圖示解法求所有模式的入射角。你的結(jié)論是什么？解 用，可以將方程(2.3)的波導(dǎo)條件寫成即(2.50)當(dāng)?shù)扰紨?shù)時(shí)，左邊仍然是它本身；但當(dāng)?shù)绕嬲麛?shù)時(shí)，它就變成了一個(gè)余切函數(shù)。所以這個(gè)問題的解就分成為奇數(shù)和偶數(shù)兩種。圖2.11作出了方程右邊對(duì)也就是左邊的關(guān)系圖。因?yàn)榕R界角，所以只求出了范圍內(nèi)的解。例如，m=0和m=1的截距分別為和。利用關(guān)系式(2.13)還可以計(jì)算出場(chǎng)滲入包層的深度。利用方程(2.12)和(2.13)模式入射角及對(duì)應(yīng)的場(chǎng)滲

2、入到包層的深度。在最大模數(shù)時(shí)，場(chǎng)滲入到包層中的深度相當(dāng)顯著。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9() 89.2 88.3 87.5 86.7 85.9 85.0 84.2 83.4 82.6 81.9(m) 0.691 0.702 0.722 0.751 0.793 0.866 0.970 1.15 1.57 3.83圖2.11 平面介質(zhì)波導(dǎo)中模式的圖解求法很顯然，每選擇一個(gè)，對(duì)方程(2.12)左邊的正切函數(shù)就有一個(gè)截距，直到。這有十個(gè)模。方程(2.12)的精確解表明，對(duì)于TE模來(lái)說，基模的入射角實(shí)際上是89.172。如果使用第一章介紹的TM模的相變化，就可求得TM模的基模入射角為89.1

3、70，幾乎和TE模的相一致。例題2.2 V數(shù)和模式數(shù)有一自由空間源波長(zhǎng)為的平面介質(zhì)波導(dǎo)，寬度為100m，折射率分別為和。試估計(jì)它所支持的模式數(shù)，并將你的結(jié)果同由下式計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較。(2.51)式中是一個(gè)整數(shù)函數(shù)，也就是把x的小數(shù)部分舍去掉。解 全內(nèi)反射的相變化不可能大于，所以小于1。對(duì)于一個(gè)多模波導(dǎo)來(lái)說，可以將方程(2.9)寫成已知，和，可以計(jì)算出那么，或。也就是共有49個(gè)模式，因?yàn)檫€必須包括的模式。用方程(2.14)計(jì)算得例2.3 光波導(dǎo)的折射率分布按所謂無(wú)界拋物線函數(shù)分布，即 (1)由于這里假設(shè)折射率在范圍內(nèi)按拋物線函數(shù)分布，所以這時(shí)式中的a已不具有芯層厚度的意義，它只是一個(gè)參量，是一

4、個(gè)無(wú)量綱的參量，而且總小于。這個(gè)分布使得時(shí)n=0，而時(shí)，顯然這不符合實(shí)際情況。但叢它可以得到簡(jiǎn)單的解，有助于我們理解光線傳播的概念，而且對(duì)其中那些不大的所謂傍軸光線，所得結(jié)果是相當(dāng)精確的。在光波導(dǎo)中，我們主要關(guān)心的也就是傍軸光線，所以這樣的假設(shè)有討論的價(jià)值。由于沒有芯層和敷層的界面，所以所有的光線都是束縛的。其折返點(diǎn)位置由方程解出為 (2)由(2)式可知，當(dāng)波導(dǎo)參量a，確定以后，折返點(diǎn)位置完全取決于起始傾斜角z(0)。z(0)越大，xtp就越大，光線就愈加遠(yuǎn)離波導(dǎo)中心軸。把(1)式代入式，可得將(2)式代入，得到作變換，則有也就是 (3)從上式可以看到，光線的路徑是正弦曲線，其半周期長(zhǎng)度可以直

5、接從(3)式中令正弦函數(shù)的宗量得到，即 (4)于是可以將路徑方程寫成 (5) 圖2.14 半周期長(zhǎng)度zp與z(0)的關(guān)系由(4)式可以看到，光線路徑的半周期長(zhǎng)度在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)確定以后完全由起始傾斜角z(0)決定，z(0)越大，半周期長(zhǎng)度越小，如圖2.22所示。半周期的光程可積分得出，將(1)式代入，得到作變換，則有 (6)式中即為(4)式所確定的半周期長(zhǎng)度。光線在z軸方向傳播單位距離的時(shí)延為 (7)顯然，這種結(jié)構(gòu)的光波導(dǎo)，光線的起始傾斜角不同，即不同，其傳播時(shí)延也不同，即存在著傳播時(shí)延差。如果仍將作為波導(dǎo)芯層的邊界，則是約束光線的臨界路徑。由(2)式可以求得此臨界路徑的起始傾斜角滿足而沿波導(dǎo)軸線傳

6、播的光線，。分別將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，即可得到這兩條路徑的傳播時(shí)延差為 (8)在得到上式時(shí)，用了1的假設(shè)?？梢钥吹叫緦诱凵渎拾磼佄锞€函數(shù)變化時(shí)，其時(shí)延差是芯層折射率均勻的波導(dǎo)時(shí)延差的倍。由于1，所以折射率按拋線函數(shù)分布的波導(dǎo)的多徑色散效應(yīng)明顯地小于均勻波導(dǎo)。例2 雙曲正割折射率分布，即波導(dǎo)折射率分布函數(shù)為 (9)這種分布在時(shí)。與前面的例1類似，波導(dǎo)內(nèi)所有的光線都是束縛光線?？梢越獾霉饩€的折返點(diǎn)坐標(biāo)為 (10)為了運(yùn)算方便，令，得到 (11)由其中，作變換，可得上式又可寫成也就是 (12) (13)可以看到，在這種結(jié)構(gòu)的光波導(dǎo)中，光線的路徑是一組周期性曲線。在z軸方向的半周期長(zhǎng)度，由(13)是很容

7、易得到為 (14)圖2.15 雙曲正割型折射率分布波導(dǎo)中的光線的自聚焦現(xiàn)象從(14)式可以看到，雙曲正割型折射率分布的光波導(dǎo)中光線的半周期長(zhǎng)度zp與光線的起始傾斜角z(0)無(wú)關(guān)，它由波導(dǎo)參數(shù)a、完全確定。這是一個(gè)重要的結(jié)論，它表明從光波導(dǎo)軸線上同一點(diǎn)出發(fā)，但傾斜角z(0)不同的各條光線盡管沿不同的路徑傳播，但經(jīng)半個(gè)周期后又會(huì)在同一點(diǎn)相聚。這就是光波導(dǎo)中的所謂的自聚焦現(xiàn)象，如圖2.15所示。作類似于前面的變量代換，可以得到半周期光程為 (15)則光線的傳播時(shí)延為 (16)從(2.83)式可以看到傳播時(shí)延與光線的起始傾角z(0)無(wú)關(guān)，也就是說，同一時(shí)刻從始端出發(fā)沿不同路徑傳播的光線，必將同時(shí)到達(dá)終

8、端。因而這種結(jié)構(gòu)的光波導(dǎo)中不存在多徑色散問題。例3 芯層折射率按冪指函數(shù)分布的光波導(dǎo)，其折射率分布可以表示圖2.16 各種值時(shí)的折射率分布曲線 (17)式中是一個(gè)正的常數(shù)，可以稱為折射率指標(biāo)數(shù)。由于不一定是偶數(shù)，所以式中用了，以保證折射率是以x = 0的面為對(duì)稱分布。各種不同的值下的折射率分布曲線如圖2.16所示。= 2即為例中的拋物線分布；時(shí)即為均勻分布或階躍分布；例中的雙曲正割型分布與時(shí)的拋物線型分布比較接近。所以(17)式的折射率分布具有普遍意義。可以解得折返點(diǎn)坐標(biāo)為 (18)對(duì)于束縛光線，因而應(yīng)有 即 (19)在1時(shí)，(19)式可以近似寫成 (20)上式說明在1時(shí)，只有起始傾斜角z(0

9、)很小的光線，也就是所謂傍軸光線才能成為束縛光線。除了= 2的特例以外，光線的路徑積分得不到顯示。z軸方向的半周期長(zhǎng)度及光程，可以用函數(shù)表示 (21) (22) 圖2.17 歸一化時(shí)延差c/n1 與的關(guān)系(=0.01)光線在z軸方向的傳播時(shí)延則為 (23)比較前述各式，可以看到，前面兩式分別是后面兩式在= 2時(shí)的特例。(21) (23)三式的推導(dǎo)過程較為繁冗，這里略去了。容易證明，當(dāng)?shù)娜≈当?略小時(shí)，沿不同路徑傳播的光線的傳播時(shí)延差最小。我們將這個(gè)的取值稱之為最優(yōu)值，記為opt。這里我們直接給出opt的值 (24)在=opt時(shí)，光線沿z軸方向傳播單位距離，不同路徑的傳播時(shí)延差則為n1 2 /8

10、c (25)比較，可以看到當(dāng)值從opt變到= 2時(shí)，時(shí)延差幾乎提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，也就是說時(shí)延差是值的敏感函數(shù)。歸一化的時(shí)延差c/n1與的關(guān)系如圖2.17所示。例題 多模光纖有一多模階躍折射率光纖，光纖芯的折射率，直徑為100m，光纖包層的折射率為，如果光源波長(zhǎng)為，求該光纖中允許的模式數(shù)。解 將a=50m，和代入V數(shù)的表達(dá)式，求得該光纖的V數(shù)為因?yàn)?，所以光纖的模式數(shù)為這是一個(gè)非常大的數(shù)，在該光纖中有很多模式傳播。例題 單模光纖有一單模階躍折射率光纖，光纖芯的折射率，光纖包層的折射率為，如果光源波長(zhǎng)為，求該光纖中光纖芯的半徑。解 當(dāng)時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)單模傳輸。這樣或求得。這根光纖非常小，為了很容易和光源

11、或另外一根光纖發(fā)生耦合，必須使用特殊的耦合技術(shù)。同時(shí)必須注意到，因?yàn)楣饫w芯的半徑和波長(zhǎng)處于同一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此，嚴(yán)格地說，很難用幾何光纖圖來(lái)描述光傳播。例題 單模截止波長(zhǎng)有一階躍折射率光纖，光纖芯的折射率，光纖包層的折射率為，光纖芯的直徑為7m，求該光纖單模傳輸時(shí)的截止波長(zhǎng)。如果是在波長(zhǎng)為使用，它的V數(shù)和模式場(chǎng)直徑又是多少？解 因?yàn)槭菃文鬏敚詫=3.5m，代入并重排得到波長(zhǎng)短于上述數(shù)字就會(huì)導(dǎo)致多模傳輸。在時(shí)，模式場(chǎng)直徑為例題 群速和群延遲有一單模階躍折射率光纖，光纖芯的折射率，光纖包層的折射率為，光纖芯的半徑為a=3m，在波長(zhǎng)為=1.5m時(shí)使用。已知可以用下式近似地求得基模正則化傳播常數(shù)

12、(2.100)求傳播常數(shù)。假如將操作波長(zhǎng)改變一個(gè)很小的量，比如說0.01%，重新計(jì)算傳播常數(shù)。然后計(jì)算在=1.5m時(shí)的群速vg以及1km光線的群延遲g。解 弱導(dǎo)波光纖的方程(2.22)可以重新寫成(2.101)根據(jù)給定的光纖特性，可以計(jì)算V數(shù)，然后用方程(2.23)計(jì)算b。根據(jù)b，用方程(2.24)中的，可以計(jì)算。此外，。這樣，。代入方程(2.23)得。由方程(2.24)得，。計(jì)算結(jié)果列于表2.1中。表2.1計(jì)算結(jié)果 V (m-1) (rad s-1) (m-1) 1.91008 4188790 1.2566241015 0.3860859 6.044796106 1.909897 41883

13、71 1.2565111015 0.3860211 6.044189106群速為1km光纖群延遲g為4.83s。例題 多模光纖和總接受角有一階躍折射率光纖，光線芯的直徑為100m，折射率為，包層的折射率為。計(jì)算該光纖的數(shù)值孔徑，從空氣發(fā)射來(lái)的光線的接受角，以及當(dāng)光源波長(zhǎng)為時(shí)的模式數(shù)。解 數(shù)值孔徑為由得，所以總接受角是28。根據(jù)數(shù)值孔徑，V數(shù)可以寫成模式數(shù)。例題 單模光纖有一典型的單模階躍折射率光纖，光纖芯的直徑為8m，折射率為。正則化指數(shù)差為0.3%，包層的直徑為125m。計(jì)算該光纖的數(shù)值孔徑和接受角。該光纖的單模截止波長(zhǎng)是多少？解 數(shù)值孔徑為代入和，得到由，得接受角為單模傳播的條件是，對(duì)應(yīng)的

14、最小波長(zhǎng)為說明波長(zhǎng)短于1.18m就會(huì)發(fā)生多模傳輸。例題 材料色散按照慣例，發(fā)射光源光譜波長(zhǎng)寬度和色散指的是半功率寬度而不是從一個(gè)極端到另一個(gè)極端的寬度。假如叫做線寬的1/2是半寬高強(qiáng)度對(duì)光譜波長(zhǎng)的寬度，而1/2是半強(qiáng)度點(diǎn)之間輸出光強(qiáng)度對(duì)時(shí)間信號(hào)的寬度。估計(jì)由發(fā)光二極管(LED) 發(fā)出的線寬為100nm的波長(zhǎng)為1.55m的光在石英光纖中每千米的材料色散效應(yīng)。如果是激光二極管發(fā)出的線寬為2nm的相同波長(zhǎng)的光在石英光纖中每千米的材料色散效應(yīng)又會(huì)怎樣？解 由圖2.26，在波長(zhǎng)為1.55m時(shí)，材料色散系數(shù)Dm=+22ps km-1 nm-1。對(duì)于LED，1/2=100nm。所以1km22 ps km-1

15、 nm-1100nm=2200ps 或2.2ns對(duì)于激光二極管，1/2=2nm，故而 1km22 ps km-1 nm-12nm=44ps 或0.044ns兩種光源的色散效應(yīng)之間有明顯的差別。但是從圖2.26可以看出，總的色散將很小。事實(shí)上，假如光線的色散適當(dāng)移動(dòng)，使得在波長(zhǎng)為1.55m時(shí)，Dm+Dw=0，那么從激光二極管激發(fā)的光源的色散只有幾個(gè)皮秒(但決不為零)。例題 材料色散、波導(dǎo)色散和總色散圖2.29 光纖芯材為SiO2-13.5%GeO2的光纖的材料色散系數(shù)和波導(dǎo)色散系數(shù)單模光纖，其芯材為SiO2-13.5%GeO2。材料色散系數(shù)和波導(dǎo)色散系數(shù)見圖2.29。有一光纖使用線寬為2nm的波

16、長(zhǎng)為1.5m激光光源激發(fā)。如果，光纖芯的直徑2a=8m，每千米光纖的色散是多少？在=1.5m時(shí)，要求總色散為零，光纖的芯徑應(yīng)為多少？解 在圖2.29中，=1.5m時(shí)，Dm=+10ps km-1 nm-1；當(dāng)2a=8m，Dw=6ps km-1 nm-1，因此總色散系數(shù)為 ps km-1 nm-1所以每千米光纖的總色散為4 ps km-1 nm-12nm=8 ps km-1 =1.5m時(shí)，當(dāng)Dm+Dw=0即Dw=10ps km-1 nm-1時(shí)，總色散為零。從圖2.23中在2.5a4范圍內(nèi)Dw與波長(zhǎng)之間的關(guān)系曲線可以看出，2a6m。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，盡管=1.5m時(shí)，Dm+Dw=0，這只是一個(gè)波長(zhǎng)，而輸

17、入的光是在一個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)，所以實(shí)際上總色散絕不會(huì)是零。在本題的情況下，=1.5m和2a6m時(shí)，總色散會(huì)最小。例題 比特速率和色散一根光纖在工作波長(zhǎng)為1.5m時(shí)，總色散系數(shù)為8ps km-1 nm-1。假如用激光二極管作激發(fā)源，光源的FWHP線寬為2nm。計(jì)算比特率和距離的積BL、10km光纖的電學(xué)帶寬和光學(xué)帶寬。解 對(duì)于FWHP色散，ps km-1假定是高斯光脈沖形狀，RZ比特率和距離的積BL為Gbs-1km10km光纖的電學(xué)帶寬和光學(xué)帶寬分別為GHz和GHz例題 梯度折射率光纖中的色散和比特速率有一梯度折射率光纖，纖芯直徑為50m，折射率為，包層的折射率為。如果光源發(fā)射器為繼光二極管，線寬很

18、窄，光纖的工作波長(zhǎng)為=1300nm，問該光纖的比特速率與距離的積是多少？如果換成多摸階躍折射率光纖，輸出光脈沖接近矩形，這里是全寬。比特速率與距離的積又是多少？解 正則化折射率差為1km光纖的色散為所以計(jì)算中忽略了所有材料色散，而且還假定折射率完全符合優(yōu)化截面，意味著實(shí)際上的比特速率距離積會(huì)差一些(例如，值只要偏離優(yōu)化值15%就會(huì)導(dǎo)致這個(gè)積變差十倍。假如是一根纖芯和包層折射率相同的多模階躍折射率光纖，那么全色散可以粗略地表示為要計(jì)算比特速率距離積，需要比梯度折射率光纖將近小1000倍。注意：因?yàn)殡S著光纖長(zhǎng)度增長(zhǎng)，色散也線性增加，所以多模光纖的比特速率距離積好像仍然是常數(shù)，意味著。盡管這在短距離

19、范圍(幾千米)內(nèi)比較符合，但是在較長(zhǎng)的距離內(nèi)，比特速率距離積肯定不是常數(shù)，一般，其中是一個(gè)介于0.5和1之間的指數(shù)。原因是，由于光纖很多不完善因素，就存在模式混合而降低了脈沖增寬的程度。例題 雷利散射限在波長(zhǎng)為=1550nm左右的窗口，純石英有如下特性：Tf=1730C (軟化溫度)；T=710-11m2N-1 (高溫時(shí))；在=1550nm時(shí)，n=1.4446。求由于雷利散射引起的衰減。解 可以簡(jiǎn)單地用式(2.125)計(jì)算雷利散射衰減以dB每千米為單位的衰減為這個(gè)數(shù)字就是在=1550nm時(shí)石英玻璃芯光纖的可能最低衰減。例題 沿光纖的衰減由激光二極管發(fā)射到一單模光纖中的光功率近似為1mW。在輸出

20、端的光監(jiān)測(cè)器要求最小功率為10nW才能提供清晰的信號(hào)(在噪音以上)。該光纖在1.3m使用，其衰減系數(shù)為0.4dB km-1。求不加中繼器(重新產(chǎn)生信號(hào))的最大光纖長(zhǎng)度是多少？解 根據(jù)式(2.46)，于是=12500m=125km實(shí)際上還有一些額外的光纖損耗如光纖彎曲損耗，會(huì)使得這個(gè)長(zhǎng)度有所降低。對(duì)于長(zhǎng)距離通訊來(lái)說，在每隔50到100km后，信號(hào)必須用光放大器放大，最后用中繼器。例題 光纖拉制在某光纖生產(chǎn)過程中，用一根長(zhǎng)110cm，直徑為20mm的光纖預(yù)制件來(lái)拉制光纖。如果光纖拉制速率為5m s-1，預(yù)制件的最后10cm不拉，光纖的直徑為125m，問從這根預(yù)制件可以拉制的光線最大長(zhǎng)度是多少？拉制

21、光纖需花多少時(shí)間？解 因?yàn)楣饫w和光纖預(yù)制件的密度相同，質(zhì)量不變，所以拉制前后的體積也不變。設(shè)df和dp分別是光纖和預(yù)制件的直徑，Lf和Lp分別是光纖和被拉的預(yù)制件的長(zhǎng)度，那么即=25600m因?yàn)槔扑俣葹?m s-1，所以所花時(shí)間(以小時(shí)計(jì))為=1.4hr一般拉制速率為5-20m s-1，所以上述時(shí)間是實(shí)際生產(chǎn)中最長(zhǎng)的時(shí)間。習(xí)題2.1介質(zhì)條形波導(dǎo)(a)假如光線1和光線2如圖2.3中所示，請(qǐng)推導(dǎo)出波導(dǎo)條件。(b)假如光線1和光線2如圖2.4中所示，證明當(dāng)它們?cè)赾點(diǎn)相遇離波導(dǎo)中心距離為y時(shí)兩光線的相位差為：m=k12(a-y)cosm-m(c)利用波導(dǎo)條件，證明：m=m(y)=m-(m+m)2.2

22、 條形波導(dǎo)中的TE波場(chǎng)分布假設(shè)兩個(gè)平行的光線1和2如圖2.4所示發(fā)生相互干涉，給出相位為m=m(y)=m-(m+m)兩光線交于c點(diǎn)，c點(diǎn)距波導(dǎo)中心為y，芯厚度為20m，n1=1.455，n2=1.440，光波長(zhǎng)為1.3m，作圖標(biāo)出介質(zhì)波導(dǎo)在前三種模式下的電場(chǎng)分布E(y)。2.3. 介質(zhì)條形波導(dǎo)中的TE,TM模一平面介質(zhì)條形波導(dǎo)，芯厚20m，n1=1.455，n2=1.440，光波長(zhǎng)為1.3m，已知波導(dǎo)條件如2.1節(jié)中的方程(3)，且TE模和TM模全內(nèi)反射的相位變化和的表達(dá)式分別為tan(m)=和tan(m)=用圖解法分別求出TE和TM基模的角度，并比較它們沿波導(dǎo)方向的傳播常數(shù)。2.4. 群速我

23、們可以用一種便利的數(shù)學(xué)軟件包Mathview或Mathematica來(lái)計(jì)算某個(gè)給出的由頻率決定的模的群速。已知模的傳播系數(shù)=k1sin,當(dāng)k1= n1/c波導(dǎo)條件中的方程tan(a)=所以 (1)頻率由下式給出 (2)和是的函數(shù)，所以群速為即 (3)圖2.45 平面介質(zhì)波導(dǎo)中不同模式的群速度與角頻率的關(guān)系對(duì)于某一給定的m值，方程(2)和(3)可以用圖解法求解。對(duì)每個(gè)值，可以畫出Vg和的關(guān)系圖來(lái)計(jì)算出和Vg。圖2.45給出了一個(gè)例子。請(qǐng)用一個(gè)便利的數(shù)學(xué)軟件包或其他手段得到同樣的Vg和的行為關(guān)系，討論模式間色散，并說明方程(2)在2.2節(jié)中是否適用.2.5 條形介質(zhì)波導(dǎo)一個(gè)條形波導(dǎo)，在兩AlGaA

24、s薄層中間有一個(gè)厚度為0.2m的GaAs薄層，GaAs的折射率為3.66，AlGaAs的折射率為3.40，假設(shè)折射率不隨波長(zhǎng)改變。求在波導(dǎo)中傳播的單模截止波長(zhǎng)是多少？波長(zhǎng)為870nm的光線在GaAs層中傳播，滲透到AlGaAs層中的消逝波是多少?并求出在這種情況下光線的模式場(chǎng)距離是多少？2.6 條形介質(zhì)波導(dǎo)一個(gè)波導(dǎo)芯厚為2a=10m的條形介質(zhì)波導(dǎo)，n1 =3，n2 =1.5，解出例2.1.1中的方程(11)對(duì)TE0和TE1得到0和1來(lái)選擇波長(zhǎng),對(duì)每個(gè)波長(zhǎng)計(jì)算和m,并畫出m和的坐標(biāo)圖,對(duì)同一個(gè)圖給出斜率c/n1和c/n2,將作出的圖和圖2.10比較。m1520253040455070100150

25、200077.874.5271.568.763.961.759.7453.246.439.936.45165.258.1551.645.535.532.0230.17-2.7 條形介質(zhì)波導(dǎo)一個(gè)芯厚為10m的平面條形介質(zhì)波導(dǎo)，n1=1.4446，n2=1.440，對(duì)波長(zhǎng)為1.0m和5m的光線分別計(jì)算V的值，模式角m (m=0)，穿透深度和模式場(chǎng)距離(MSD=2+2)，把你的計(jì)算結(jié)果同2計(jì)算出的MSD進(jìn)行比較。2.8 多模光纖一個(gè)芯直徑為100m的多模光纖，在波長(zhǎng)為850nm的芯介質(zhì)的折射率為1.475，包層折射率為1.455,光纖的工作波長(zhǎng)為850nm。計(jì)算光纖的V數(shù)并估計(jì)模式數(shù)、光纖在單模情況

26、下的波長(zhǎng)、其數(shù)值孔徑、最大接受角和模式色散和比特率與光纖長(zhǎng)度之積，已知=0.29。2.9 單模光纖 某光纖由SiO2-13.5%GeO2組成，芯徑為8m，折射率為1.468，包層折射率為1.464，工作波長(zhǎng)為1300nm，由半寬高為2nm的激光源控制。計(jì)算這種光纖的V數(shù)，判斷是否為單模光纖？當(dāng)光纖為多模時(shí)其波長(zhǎng)為多少？其數(shù)值孔徑呢？最大接受角多大？計(jì)算材料色散和波導(dǎo)色散，并估算光纖的比特率光纖長(zhǎng)度(BL)的值。2.10單模光纖的設(shè)計(jì)根據(jù)第一章的問題1.3，Sellmeier方程給出了純SiO2和SiO2-13.5mol. %GeO2的的關(guān)系。當(dāng)GeO2攙雜由0變化到13.5mol%時(shí)，折射率線

27、性增加，單模階躍折射率光纖要求有如下性質(zhì)：NA=0.1，芯徑為9m，芯材為SiO2-13.5%GeO2。設(shè)計(jì)包層的組成。2.11材料色散 Ng1為階躍折射率光纖芯材的群折射率，那么它的基模色散時(shí)間(群延遲)為：Ng由波長(zhǎng)決定，材料的色散系數(shù)Dm大約為，利用第一章的問題1.3的Sellmeier方程評(píng)價(jià)=1.55m的光線在純SiO2和SiO2-13.5%GeO2玻璃中的色散情況。2.12波導(dǎo)色散波導(dǎo)色散是因傳播系數(shù)由取決于波長(zhǎng)的V數(shù)決定而引起的。即使折射率不變，沒有材料色散，也會(huì)有波導(dǎo)色散。假設(shè)n1，n2與波長(zhǎng)(或波矢量k)無(wú)關(guān)，模lm的傳播系數(shù)為，k=2/，其中為自由空間波長(zhǎng)。正則化傳播系數(shù)b

28、和k滿足關(guān)系(參見2.3.4)：=n2k1+b (1) 群速定義為：求證：模式的傳播時(shí)間(或群延遲)為： (2)已知V的定義為 (3) (4)求證： (5)波導(dǎo)色散系數(shù)為 (6)圖2.46給出了與V的關(guān)系，當(dāng)1.5V2.4時(shí)，所以 (7)簡(jiǎn)化為 (8)用方程(2)的Ng2代替方程(8)中的n2于是有： (9)考慮一個(gè)芯徑為8m的光纖，芯折射率為1.468，包層折射率為1.464，工作波長(zhǎng)為1300nm。假如用一個(gè)發(fā)射波長(zhǎng)為1.3m，光譜線寬為2nm激光器作為輸入光脈沖，用方程(6)和(9)估算光纖每公里的波導(dǎo)色散.2.13折射率分布色散圖2.46 階躍折射率光纖中與V的關(guān)系在單模階躍折射率光纖

29、中，總色散主要由要材料色散和波導(dǎo)色散產(chǎn)生。然而，還有一種附加的色散機(jī)制叫做折射率分布色散(Profile Dispersion)，來(lái)源于基模的傳播系數(shù)，也依賴光纖芯及包層之間的折射率之差?？紤]一個(gè)波長(zhǎng)在范圍內(nèi)變化的光源，耦合到階躍折射率光纖中，可以認(rèn)為波長(zhǎng)在入射波長(zhǎng)的范圍變化，假定折射率為n1，n2，那么由波長(zhǎng)決定，單位長(zhǎng)度傳播時(shí)間或群延遲時(shí)間g為 (1)因?yàn)榕cn1、和V相關(guān)，將g看作是一個(gè)關(guān)于n1， (也就是n2)和V的函數(shù)，波長(zhǎng)變化后，將改變它們的大小，利用偏微分規(guī)則有 (2)數(shù)學(xué)變得很復(fù)雜，但式(2)等效于總色散=材料色散(引起)+波導(dǎo)色散(引起)+縱向色散(引起)。其中最后一項(xiàng)由于取決

30、于，雖然很小，但不為0。盡管上述式(2)是過度簡(jiǎn)化，但仍然提供一種探索問題的方法，總的模內(nèi)(總)色散系數(shù)Dch由Dch=Dm+Dw+Dp (3)給定，其中Dm，Dw，Dp分別為材料色散系數(shù)、波導(dǎo)色散系數(shù)和折射率分布色散系數(shù)，波導(dǎo)色散系數(shù)由2.12題中的式(8)給定，折射率分布色散系數(shù)近似為： (4)其中b是正則化傳播系數(shù)，與V的關(guān)系如圖2.46所示，。考慮一個(gè)光纖芯直徑為8m的光纖， 光纖芯和包層在波長(zhǎng)為1.55m的折射率和群指數(shù)分別為n1=1.4504，n2=1.4450，Ng1=1.4676， Ng1=1.4625，d/d=161 m-1。估算該波長(zhǎng)時(shí)入射光單位nm線寬光纖每千米的波導(dǎo)色散

31、和折射率分布色散。2.14梯度折射率光纖一梯度折射率光纖，芯直徑為30m，芯中心折射率為1.474，包層的折射率為1.453，假設(shè)光纖中耦合一個(gè)激光二極管，它發(fā)射波長(zhǎng)為1300nm，光譜線寬為3nm的激光，假定在該波長(zhǎng)下光纖的材料色散系數(shù)為-5pskm-1nm-1，計(jì)算總色散系數(shù)并估算比特率光纖長(zhǎng)度，它與相同半徑， n1，n2的多模光纖比較會(huì)怎樣呢?如果用光譜寬度1/2=80nm的發(fā)光二極管作光源，總色散和最大比特率為多少?如果模式間()是折射率分布為的梯度折射率光纖的均方色散，0為最佳折射率分布，那么同時(shí)它又由2.8節(jié)給定，計(jì)算當(dāng)比0大10%的色散和比特率光纖長(zhǎng)度。2.15分層介質(zhì)的平面波導(dǎo)

32、(近似于梯度折射率光纖)圖2.47的平面介質(zhì)波導(dǎo)，它的折射率隨y0在，處變?yōu)閚1， n2， n3因此折射率隨y從0到y(tǒng)，一次減小一級(jí)，就像圖中描述的那樣。圖2.47 階躍折射率介質(zhì)波導(dǎo)考慮波導(dǎo)只有兩層A和B，從O點(diǎn)開始，第一束光線在A點(diǎn)經(jīng)全內(nèi)反射后到達(dá)O， 第一束光線的發(fā)射角A也就是全內(nèi)反射的臨界角，光線B以一個(gè)更小的角度發(fā)射，在b點(diǎn)穿透介質(zhì)2，在介質(zhì)2和介質(zhì)3的束縛下，傳播到達(dá)B點(diǎn)，光線B在B的發(fā)射角為B，也是介質(zhì)2和介質(zhì)3發(fā)生全內(nèi)反射的臨界角。當(dāng)n1， n2， n3滿足什么關(guān)系時(shí)光線A，B可以同時(shí)到達(dá)O點(diǎn)，這樣我們就觀察不到延時(shí)？同樣的，如果兩束光線同時(shí)到達(dá)O點(diǎn)，它們必須同時(shí)到達(dá)全內(nèi)反射點(diǎn)

33、A和B。(a) 證明：第一束光線從O傳輸?shù)紸所花的時(shí)間為 (1)(b) 證明：第二束光線從O傳輸?shù)紹所花的時(shí)間為 (2)(c) 已知n隨，處的階躍變化滿足關(guān)系式 (3) 其中是一個(gè)單數(shù)(小于1)，是一個(gè)描述截面指數(shù)隨y變化的指數(shù)，顯然，y=0時(shí)，n=n1，證明： (4)其中 (5)(d) 當(dāng)tOA-tOB=0時(shí)，兩束光線同時(shí)到達(dá)O，利用關(guān)系式(1)和(2)以及(4)(5)描述的折射率關(guān)系，證明：當(dāng)兩束光線同時(shí)到達(dá)時(shí)存在如下關(guān)系式： (6)當(dāng)介質(zhì)層厚度變小，則0，證明：當(dāng)0時(shí)，=2.067是方程(6)的解。你有什么結(jié)論嗎?為了獲得最小模式間色散，你將推薦使用哪一種梯度折射率光纖?畫出一種基本的截面折射率分布圖。 以上處理的理論限制是什么? 0是一個(gè)有效假設(shè)嗎?當(dāng)k不為0而是一個(gè)很小的數(shù)時(shí)，將會(huì)怎樣?2.16梯度折射率棒透鏡圖2.48 梯度折射率棒透鏡梯度折射率(GRIN)棒透鏡，是一根玻璃棒，它的折射率從中心軸最大值處呈拋物線變化，它就像