例說離散型函數(shù)的最值問題

1、22例說離散型函數(shù)的最值問題河南省人大附中鄭州分校劉凡郵編(452370)(本文發(fā)表在2008.5，6中學(xué)生理科應(yīng)試哈師大P22.)離散型函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中通常是指自變量為正整數(shù)的函數(shù)，如數(shù)列、二項式、概率及隨機變量的期望和方差等。本文僅就此類函數(shù)中的最值問題予以分類說明。數(shù)列的最值問題TOC o 1-5 h z例：若數(shù)列a的通項式為a，5(2)2”24(2)”i,(neN*).a的最大項為第X向，最小項nn55n為第y項，則xy，.解析：因為a，5(-)2”24(-)n1,令u，(2)”1,(”GN*),則u，.,a，5u24u.則由”555525”U的取值情況可知“,1時，a取得最大值，即為

2、數(shù)列的第一項。故x，1；當(dāng)u，2(由二次”5函數(shù)的性質(zhì))時，a取得最小值，即為第二項，故y，2xy，3.”點評：本題在求解數(shù)列項的最大、最小值問題時，是通過換元法把原函數(shù)化成二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)求解。切記必須注意“自變量”“的取值范圍。例：已知數(shù)列a中，a，,(”gN*),則數(shù)列a的最大項為”2156”解析：由a，-，,而當(dāng)”gN*時，”1562，”156，2、藥當(dāng)且僅當(dāng)”2156156”,宜,即”2，156,當(dāng)”gN*時，”，12或13,數(shù)列a的項取到最大值?！秉c評：利用關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征巧妙變形、轉(zhuǎn)化為均值不等式的結(jié)構(gòu)形式求最大值或項(或最小值或項)是一種常見的方法。但須

3、注意均值不等式的應(yīng)用條件及n取正整數(shù)的性質(zhì)。例：已知數(shù)列a中，a,”八79,(”Gn*)，則在數(shù)列a的前50項中最小項和最大TOC o 1-5 h z”780”項分別為.解析：因為a，心戛，1沁亠，18時，迷0-夕o.數(shù)列a是遞減數(shù)”八80”八80”*80”列，此時a最?。划?dāng)9”0,數(shù)列a仍是遞減數(shù)列，此時，a最大。8”-J80”9點評：適當(dāng)化簡、轉(zhuǎn)化把原函數(shù)的關(guān)系式變形為可以利用函數(shù)的單調(diào)性來求解也是一種很重要的方法。應(yīng)用單調(diào)性求解數(shù)列項的最大值時，應(yīng)注意有時必須分類討論，依據(jù)自然數(shù)n的取值范圍，確定其單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)其在對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性求出最大、最小值。例：等差數(shù)列a的首項a0,前n項和為

4、S，當(dāng)lm時，S0,當(dāng)lm時，S，S,故d1時，2222g/(x).-0g.(x)在1,+8)上是減函數(shù)，故V，6-(n+3)(丄)-1當(dāng)n1時是增函數(shù)，所以數(shù)列n2C的前n項和v不存在最大值。nn點評：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，進而討論求得數(shù)列前n項和的最大(最小)值，也是一種很重要的探求數(shù)列最值的方法。注:求數(shù)列最值問題時，除了以上方法之外，如果數(shù)列是等差數(shù)列求前n項和時，只需用鄰項變號來討論：Q當(dāng)a0,d0且a0的項數(shù)m使前m項和s有最大值；Q當(dāng)a0時，滿足a0的項數(shù)怎使得S取得最小值。1mm+1m概率統(tǒng)計中的最值問題例：現(xiàn)有12道選擇題，每題有4個答案，其中只有一個答案是正

5、確的。如果任意勾選，問選對幾題的概率最大？解析：很顯然，每道題勾對的概率都為丄勾錯的概率都是3于是原問題可以歸結(jié)成1244次獨立重復(fù)試驗，那么勾對k(1kTk-1TCk-1()k-1()13-k1244133Ck-1112123CkCk+112124k99k13又keN*，k，3.即勾對3道題的概率最大。44點評：一般地，解決此類問題時?？梢圆捎眉僭O(shè)第k項(次)為最大(最小)，那么就2有,f(k)f(k-1)或,f(k)f(k-】)恒成立，由此不等組解出k的范圍，進而結(jié)合k的正整丿(k)f(k+1)If(k)f(k+1)數(shù)性質(zhì)求出k的取值，就可以求出相應(yīng)的最大值(項)例：某學(xué)校一共有編號分別為

6、1，2，3，20的20個水龍頭，調(diào)查表明在課間休息的某時刻每個水龍頭被打開的概率為丄.設(shè)隨機變量表示該時刻同時被打開的水龍頭個3數(shù)。記P=k)=a,試求數(shù)列a的最大項。kn解析：顯然g(20,1),于是a=P(g=k)=Ck(丄)k(2ak.從而：3k2033ak+Tak12Ck+1()k+1()19k203312Ck()k()20k20331(20-k)-31,二0k6.二當(dāng)0ka;當(dāng)k二6時，a=a;k+1kk+1k(k+1)一32當(dāng)6k19時，aa.即aaaaa.所有數(shù)列a的最大項為TOC o 1-5 h zk+1k01267820n1212920 x214a=a=C6()6()14=.

7、672033319點評：利用比較思想建立不等式，解出變量k的取值范圍，從而可以利用其劃分出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而結(jié)合單調(diào)性確定出最大、最小值(或項)或者直接利用比較的手段探求出有關(guān)的最值也是一種常用求解此類問的方法。二項式有關(guān)最值問題例：求(、-匚)10的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項和系數(shù)最大的項。2“x解析：由條件知展開式中的第r項是T=Cr(-1)r2-rX羅,系數(shù)的絕對值是C2-r,若它TOC o 1-5 h zr+11010r+11最大，則有JC02-rCT2-ICr2-rCr-12-(r-1)1010_于是可化簡得10-r2,.8r11由于reN”r=3.故可11-r332r以得到系

8、數(shù)的絕對值最大的項是第四項，即-C3.2-3X2=-15X2.系數(shù)最大的項應(yīng)該在各項數(shù)10為奇數(shù)的項之內(nèi)，即r取偶數(shù)時：0，2，4，6，8各項系數(shù)分別為c020,c22-2,c-82-8,即101010為1,竺,兇5凹二5.因此系數(shù)最大的項是第2項，即為105x3.48322268例：在(1+X+px2)10的展開式中，試求使X4系數(shù)為最小時p的值。解析：由(1+X+pX2)10=1+X(1+pX)10=1+C1X(1+pX)+C2X2(1+pX)2+C10X10(1+pX)10,101010由展開式可以求得X4項的系數(shù)為：C2C2p2+C3C2p+C4=42p2+360p+210=42(p+4)2210.a10210310當(dāng)且僅當(dāng)p=-4時，x4的系數(shù)為最小。點評：利用題設(shè)條件，把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于某個字母的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)(本題為二次函數(shù))求解有關(guān)二項式的最值問題，也是一種常用的方法。注：除了上述情形以外，我們在求二項式中的二項式系數(shù)的最值時，可以直接在(ab)n的展開式中進行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時，只有中間的一項即第n+1項的二項式系數(shù)為最大；2當(dāng)n為奇數(shù)