量化專題報告：BL模型的泛化擴展熵池模型之理論篇

1、內(nèi)容目錄 HYPERLINK l _TOC_250021 什么是熵池（Entropy Pooling）模型 3 HYPERLINK l _TOC_250020 完全自由觀點 3 HYPERLINK l _TOC_250019 貝葉斯更新的一般化 5 HYPERLINK l _TOC_250018 相對熵最小化的意義 7 HYPERLINK l _TOC_250017 模型解析解與數(shù)值求解 8 HYPERLINK l _TOC_250016 熵池模型 vs BlackLitterman 模型 10 HYPERLINK l _TOC_250015 觀點融合 10 HYPERLINK l _TOC_

2、250014 2.1.1.均值 11中位數(shù)、VaR、分位數(shù) 11 HYPERLINK l _TOC_250013 波動率 11 HYPERLINK l _TOC_250012 協(xié)方差、相關系數(shù) 12 HYPERLINK l _TOC_250011 資產(chǎn)排序 12 HYPERLINK l _TOC_250010 邊緣分布 13 HYPERLINK l _TOC_250009 信心水平 13 HYPERLINK l _TOC_250008 解析解對比 15 HYPERLINK l _TOC_250007 熵池模型的應用實例 16 HYPERLINK l _TOC_250006 資產(chǎn)配臵場景下的熵池

3、模型優(yōu)點 16 HYPERLINK l _TOC_250005 熵池模型下觀點融合的實際效果 17 HYPERLINK l _TOC_250004 總結與展望 19 HYPERLINK l _TOC_250003 熵池模型的優(yōu)點總結 19 HYPERLINK l _TOC_250002 熵池模型拓展與應用場景展望 20 HYPERLINK l _TOC_250001 參考文獻 20 HYPERLINK l _TOC_250000 風險提示 21圖表目錄圖表 1：BlackLitterman 模型計算過程 3圖表 2：BL 模型觀點表達系統(tǒng) 4圖表 3：各類模型對比 5圖表 4：熵池模型示意圖

4、6圖表 5：分布所代表熵的上下限 7圖表 6：情景表達法示意圖 9圖表 7：離散優(yōu)化過程示意圖 9圖表 8：熵池模型情景表達法示意圖 10圖表 9：國盛金工量化 FOF 配臵體系構架 16圖表 10：熵池模型數(shù)值實驗結果 17圖表 11：示例資產(chǎn)類別與代理指數(shù) 18圖表 12：10 年期國債利率預測信號表現(xiàn) 18圖表 13：資產(chǎn)配臵模型回測結果 18圖表 14：概率優(yōu)化模型回測凈值曲線 19圖表 15：資產(chǎn)配臵測試歷史倉位 19什么是熵池（Entropy Pooling）模型完全自由觀點在資產(chǎn)配臵領域，均值方差模型雖然在數(shù)學上十分優(yōu)雅，但它在投資實務中并不能直接使用。這是因為它給出的最佳投資組

5、合對該模型的核心輸入即資產(chǎn)的期望收益率非常敏感，而期望收益率很難準確預測，往往需要靠多個模型多位專家提供更多的判斷來提高精度，均值方差模型缺少一個觀點融合的模塊。為解決這個問題，高盛的 Fischer Black 和 Robert Litterman 在 1992 年提出了后來業(yè)界聞名的 Black-Litterman 模型（以下簡稱 BL 模型）。該模型以市場均衡假設反推出的資產(chǎn)收益率為出發(fā)點，結合投資者對不同資產(chǎn)收益率的主觀判斷，最終通過貝葉斯收縮估計的方式確定資產(chǎn)的收益率分布，并計算最佳的投資組合配臵。這為之前僅通過歷史估計來確定資產(chǎn)收益率分布的方式拓展了進步空間。圖表 1：BlackL

6、itterman 模型計算過程資料來源：“A STEP-BY-STEP GUIDE TO THE BLACK-LITTERMAN MODEL”， 國盛證券研究所BL 模型對于觀點的融合主要依賴模型當中的“觀點矩陣 P-觀點超額收益 Q-觀點信心矩陣”系統(tǒng)。觀點矩陣 P 中的每一列確定一種觀點對應的資產(chǎn)，如若觀點針對某資產(chǎn) i的絕對收益，那么相應觀點矩陣 P 中的列可表示為第 i 個元素為 1 的單位向量，如果觀點針對某兩類資產(chǎn) i，j 的相對收益，比如做多 i 資產(chǎn)，做空 j 資產(chǎn)未來可獲得一定收益，那么相應觀點矩陣 P 中的列可表示為第 i 個元素為 1，第 j 個元素為-1，其余元素為 0

7、 的向量。相應的觀點超額收益 Q 的每個元素則為對應的觀點收益率，相應的觀點信心矩陣 為對角陣且對應每個元素為觀點的信心水平。圖表 2：BL 模型觀點表達系統(tǒng)資料來源：國盛證券研究所可以看到，雖然 BL 模型已然能夠通過貝葉斯方法將相應的資產(chǎn)絕對收益和相對收益觀點融入到所估計的均值方差中，但是觀點的靈活性較弱，必須為確定的收益率期望觀點。對于收益率中位數(shù)、收益率范圍、收益率排序、波動率、相關性、尾部分布、非線性特征等等觀點 BL 模型無法融合，而實際投資過程中產(chǎn)生的觀點有很多都是諸如判定方向或者大致區(qū)間的形式，同時對波動率、相關性等的判斷也有很大的意義。除此之外 BL模型是在正態(tài)分布的框架下的

8、，而我們知道正態(tài)分布僅是一種便于計算的近似，與實際分布的尖峰厚尾有偏特性有較大差別，容易導致對尾部風險的欠估計。針對 BL 模型的問題，眾多學者提出了相應的解決方案：Edward Qian、Stephen Gorman在 2001 年提出了新的模型（以下簡稱 QG 模型），將針對波動率和相關性的觀點設計到了模型中，Robert Almgren、Neil Chriss 在 2004 年提出了將收益率排序觀點進行融合的模型（以下簡稱 AC 模型），Jacques Pezier 在 2007 年提出了在最小區(qū)別原則（Least discrimination）下的相對熵模型（以下簡稱 P 模型），而本

9、報告將介紹由前 KKR 首席風險官 Attilio Meucci 提出的熵池（Entropy Pooling）模型（以下簡稱 EP 模型），EP 模型以簡潔優(yōu)雅的設計解決了上述模型提到的所有問題，能夠融入幾乎任何形式的觀點，同時先驗分布可以是任意分布，計算方便快捷，可謂集大成者。Attilio Meucci 之前在 2006年和 2009 年也分別提出過另外兩個模型（以下簡稱 COP 模型和 M 模型）對部分問題進行過探討，相應文獻詳見文末。圖表 3：各類模型對比BL 模型AC 模型QG 模型P 模型M 模型COP 模型EP 模型1992200420012007200920062010正態(tài)分布

10、&線性觀點情景分析相關性分析非線性定價外部因子：宏觀等不完全觀點非正態(tài)市場多用戶輸入非線性觀點快速復雜定價排序型觀點資料來源：“Fully Flexible Views: Theory and Practice”，國盛證券研究所貝葉斯更新的一般化EP 模型所考察的對象并不局限于資產(chǎn)的收益率分布，而是泛化成任意風險因子的分布。假設一組證券由 N 維的風險因子決定，那么必然存在一個確定性的函數(shù)將風險因子與當前可得的信息映射到每個證券未來的價格 +。+ (,)比如假設這組證券是期權，風險因子代表了所有標的資產(chǎn)的價格和隱含波動率變化，那么函數(shù)就可表示為一個由“deltas”、“vegas”、“gamm

11、as”、“vannas”、“volgas”等等系數(shù)組成的二階泰勒展開式。也可以包含和證券價格僅有統(tǒng)計相關性的外部變量（包括宏觀因子等）。總之，EP 模型當中的并不局限于資產(chǎn)的收益率。在此基礎上，首先假設存在一個類似 BL 模型中先驗分布的參考模型。所謂的參考模型就是風險因子的先驗聯(lián)合分布，可以用概率密度函數(shù)來表示： 而我們需要解決的問題即為最優(yōu)化證券的權重配臵，使得在投資限制下滿意度函數(shù)最大化。滿意度函數(shù)可以理解為由投資者所確定的效用函數(shù)： argmax*(; )+EP 模型最重要的泛化擴展在于投資者觀點可以表達在風險因子的一組廣義函數(shù)上：1(), , ()，而不僅僅是風險因子上。這些廣義函數(shù)

12、并不一定需要線性，投資者甚至可以直接在證券定價函數(shù) () = (, )上表達觀點。這些廣義函數(shù)組成了一個 K 維的隨機向量，其先驗聯(lián)合分布可由參考模型計算得到： () 當然所謂的觀點一定是不同于參考模型的，因而在上表達的觀點會使得服從一個由觀點更新后的分布： 對兩個分布包含的結構進行量化，EP 模型采用了信息論中的香農(nóng)熵：H() = ,ln ()-對于兩個分布的差異，EP 模型采用相對熵即 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）進行描述，從而后驗分布即為在滿足投資者觀點下與參考模型結構最為接近的分布：( , ) ()ln () ln ()d argmin*(, )

13、+公式中的 代表了滿足投資者觀點的所有分布。最后類似 BL 模型，投資者對觀點的 信心需要體現(xiàn)在后驗分布中，假設投資者對其觀點持 100%的信心，那么后驗分布就是，否則的話后驗分布需要向參考模型收縮： (1 ) + ,c ,0,1-若存在著多個不同信心的觀點，也可通過對 100%信心的后驗分布進行信心加權的方式進行融合，比如假設有S名專家分別對各自的()輸入了他們的觀點，那么我們可以得到S個 100%信心后驗分布() , = 1, , 。最終后驗分布即為：=1 ()此過程被稱為“觀點池化”（Opinion-Pooling），因此 EP 模型概括的來說就是將以相對參考模型熵最小的后驗分布（觀點）

14、匯集的模型?！癙ooling”一般翻譯為“池化”，但其意義更接近于“匯集”。圖表 4：熵池模型示意圖資料來源：國盛證券研究所從模型的輸入輸出來看，模型本質(zhì)是通過觀點信息更新了分布，與 BL 模型作用相同，但是相對熵最小化更新的方法相比貝葉斯更新更為一般化。在 Ariel Caticha 與 Adom Giffin 在 2006 年的論文“Updating Probabilit ies”中證明了貝葉斯更新只是相對熵最小化更新的一種特殊形式，兩種方法是相洽的。如今相對熵最小化的方法已經(jīng)被應用到了除傳統(tǒng)熱力學、信息論以外的各個領域，特別是機器學習和金融工程。相對熵最小化的意義為了便于讀者直觀理解，本

15、報告在此簡單闡述為什么要用熵來度量一個分布的結構。在信息論中，熵的本質(zhì)是一個宏觀態(tài)所對應的微觀態(tài)的不確定性。舉一個簡單例子來說明，擲三次硬幣可能出現(xiàn)三次都是正面，也可能出現(xiàn)一正二反，三次都是正面的可能性只有一種，而一正二反的可能性有三種：正反反、反正反、反反正，因此這里一正二反這個宏觀態(tài)的熵（微觀態(tài)不確定性）要高于三次正面。對于熵的度量，可以以拋硬幣這樣的二元等概率事件作為參照物來計算，如果某一宏觀態(tài)對應 8 個微觀態(tài)，那么這相當于拋擲三次硬幣產(chǎn)生的可能微觀態(tài)23 = 8，因此計算上可以用對數(shù)來度量熵：3 = log2 8，單位為比特（bit）。當然度量熵的底數(shù)也可以是自然常數(shù) e，此時熵的單

16、位被稱作納特（nat）。對于一個完整的分布，可以通過將分布中每個宏觀態(tài)的熵按照概率加權得到分布的熵，這就是香農(nóng)熵的概念。 ln 1/一個 100%可能的宏觀態(tài)熵為 0，而多個宏觀態(tài)均勻分布的熵最大，其余分布介于兩者之間。所以確定性越高的分布熵越小，當一個分布僅指向一個宏觀態(tài)時，這個分布蘊含了需要了解這個系統(tǒng)的所有信息，不再需要獲取別的信息來對系統(tǒng)減熵。舉個簡單的例子：如果我們知道所有的投資者明天的所有操作，那么明天股市的漲跌就是確定的，否則只能用一個不確定的概率分布來描述，信息越多此概率分布的確定性越強熵越小。信息（正確的觀點）與熵數(shù)量相等，方向相反，信息的作用就是減熵。圖表 5：分布所代表熵

17、的上下限資料來源：國盛證券研究所而 EP 模型提出的相對熵最小化本質(zhì)就是在觀點約束下選擇增加多余信息最少的后驗分布，其遵循的是“最大熵原理”。最大熵原理是 1957 年由美國統(tǒng)計學家、物理學家 E.T.Jaynes 提出的，觀點將帶來新的信息量，因而后驗分布的熵一定小于先驗分布，而滿足觀點約束的后驗分布有無窮多個，“最大熵原理”是指在這些分布中選擇熵最大，最具有不確定性的那一個，盡量不加入多余假設和結構。就像上圖的例子中，在四個宏觀態(tài)均勻分布下，如果我給出“宏觀態(tài) 1 有一半概率是真的”的觀點后，其余三個宏觀態(tài)最好保持均勻分布，而不是主觀的給予額外的結構。( ,) ()ln () ln ()d

18、 = ()ln1/() ln 1/ ()d模型解析解與數(shù)值求解模型在正態(tài)分布下具有和 BL 模型類似的解析解，假設風險因子滿足一個多元正態(tài)分布： (, )投資者觀點通過風險因子的線性組合表達在均值向量和協(xié)方差矩陣上：: *+ *+ 那么通過推導可得到 100%信心后驗分布仍為正態(tài)分布： (, )其中， + ()1 ( ) + ()1 ()1 ()1 )當 = 時公式與 QG 模型一致。當然如果分布并非正態(tài)或者觀點的形式更為復雜，則 EP 模型難以獲得解析解，所幸的是 EP 模型的數(shù)值解法非常簡潔，大部分情況下僅涉及到線性約束（也可以非線性）下的優(yōu)化問題，計算十分方便快速，這也是 EP 模型的另

19、一個優(yōu)雅的地方。要構造 EP 模型的數(shù)值解法，首先需要將參考模型用情景（Scenarios）的方式進行表達。假設參考模型來自個歷史樣本點，那么可以將參考模型表達為 N維的情景集，其中的每一行代表了一個情景，每一列代表了一個風險因子的邊緣分布；假設參考模型來自一個聯(lián)合分布表達式（具有解析式），那么通過隨機模擬樣本點我們同樣可以構建一個 N維的情景集，模擬分布逼近原始分布的精度隨著的增大而提升。我們給這個情景賦予相等的初始權重=1, = 1/。圖表 6：情景表達法示意圖資料來源：國盛證券研究所通過定價公式： + (, )，我們可以將風險因子的個情景映射到證券組（假設有 M 個證券）的個價格。: M

20、與: 1 可進一步輸入到風險管理模型或者資產(chǎn)配臵組合優(yōu)化模型中。在本報告的 2.1.章節(jié)中我們將詳細列出 EP 模型能夠融合的觀點類型和表達式，本小節(jié)中暫時按下不表，只是說明這些觀點都可以表達為如下形式： 比如假設我們想對風險因子的期望表達確定性觀點，那么可以令 = , = 。優(yōu)化問題可以寫成如下離散形式： argmin*(, )+ = argmin (ln() ln() =1其中限制條件 可以轉化為梯度和 Hessian 矩陣表達式。圖表 7：離散優(yōu)化過程示意圖資料來源：國盛證券研究所優(yōu)化目標的拉格朗日函數(shù)可以寫為：(, , ) (ln() ln() + ( ) + ( )通過對拉格朗日函數(shù)

21、求一階導可以求得關于, 的表達式：(, ) = ln() 代入后可獲得拉格朗日函數(shù)的對偶函數(shù)：(, ) (, ), , )通過求解對偶函數(shù)即可獲得 EP 模型的數(shù)值解：(, ) argmax*(, )+, = (,)可以看到模型的優(yōu)化最終針對的是, ，其數(shù)量與觀點數(shù)量一致，而并非數(shù)量龐大的概率分布變量，這保證了優(yōu)化的可行性和速度。100%信心后驗分布計算完后即可通過“觀點池化”直接獲得信心加權后驗分布： (1 ) + 從以上過程可以看到，EP 模型的數(shù)值求解僅僅調(diào)整了每個情景背后的相對概率，對情景本身并未進行任何改變，因而避免了重新定價的冗余計算。當定價公式 + (, )計算較為復雜的時候，E

22、P 模型能夠更為快速高效的獲得證券在后驗分布下的定價結果，對延遲要求較高的交易模型或者極為復雜的定價模型有著獨特的優(yōu)勢。圖表 8：熵池模型情景表達法示意圖資料來源：“Historical scenarios with fully flexible probabilities”，國盛證券研究所熵池模型 vs BlackLitterman 模型觀點融合EP 模型相對 BL 模型的第一大優(yōu)勢就在于觀點融合的泛化。BL 模型只能對于資產(chǎn)未來期望收益率發(fā)表等式約束的觀點，但是 EP 模型不僅觀點的對象更泛化，觀點的表達方式也更泛化：EP 模型BL 模型觀點對象：一階矩、分位數(shù)：均值、中位數(shù)、分位數(shù)、Va

23、R高階矩：波動率、協(xié)方差非線性：相關系數(shù)、尾部相關性、CVaR完全信息：邊緣分布、聯(lián)合分布、Copula觀點對象： 一階矩：均值觀點形式：等式約束、不等式約束、排序、觀點形式：等式約束本小節(jié)我們將列舉部分 EP 模型下的觀點如何表述成對于分布概率的線性約束條件： 均值對于均值的觀點：可以如下表達：()= , =1 ()=首先定義排序函數(shù)()，代表某個風險因子中的第 i 個次序統(tǒng)計量：(), :,定義序號集合： : argmax(), )=1則 n-分位數(shù)的觀點可以表達為：波動率對于波動率的觀點：()= ,2 (,) = 2=1=1 ,2 =2 + 2=1參照協(xié)方差公式：非線性約束可以表達為：c

24、ov(, )= , , , =線性約束可以表達為：=1=1=1 , , = + =1可以表達為：corr(, )= , = + =1資產(chǎn)排序對于資產(chǎn)排序的觀點：可以如下表達：(1) (2) () (,1 ,2) 0=1 (,1 ,) 0 =1邊緣分布對于邊緣分布需要整體調(diào)整的情況，可以用各階矩匹配的方式進行觀點的表達： , = (,)=1 ()2 = . 2 /=1, ()3 = . 3 /,=1,其他形式的觀點可以相應類推或參考報告文獻。信心水平BL 模型主要通過刻度系數(shù)和信心矩陣來確定具體觀點信心水平。有關 BL 模型的這兩個參數(shù)的確定我們例舉文獻如下：1、“Global portfoli

25、o optimization” Black F, Litterman R. , 1992在 Black 和 Litterman 的原始報告中，他們認為刻畫了資產(chǎn)均衡收益均值的不確定性，它是正比于資產(chǎn)均衡收益協(xié)方差矩陣的，而由于收益均值的不確定性遠遠小于收益觀點的不確定性，因此他們認為應當相當接近于 0；2、“Using the Black-Litterman Global Asset Allocation Model”Bevan and Winkelmann， 1998在這篇報告中，作者認為信息比率 IR 可以衡量主觀觀點所包含的信息量，他們認為從統(tǒng)計意義上來說，超過 2 的 IR 代表了超額

26、收益達到了 2 倍的標準差之外，因此是很難發(fā)生的，所以的設臵應該使得 IR 小于 2，使得最后得到的權重不會過于極端。3、“The Intuition Behind Black-Litterman Model” He and Litterman, 1999在這篇報告中，作者認為應該與觀點信心矩陣結合來設臵，可以首先假定一個，然后校準觀點的信心水平，使得/ = 。舉個例子，假設 = 0.025，那么觀點信心矩陣可以設臵為：(11 ) 0 = 0()這樣的設臵下的值并不關鍵，關鍵在于比率/，只要比率確定了不論為何值，后驗的預期收益向量不變。4 、“ A demystification of the

27、 BlackLitterman model: Managing quantitative and traditional portfolio construction” Satchell and Scowcroft, 2000在這篇報告中，作者認為是刻度因子，因此經(jīng)常設定為 1。觀點的權重完全由觀點信心矩陣來確定。5、“A STEP-BY-STEP GUIDE TO THE BLACK-LITTERMAN MODEL” Idzorek, 2002這是較為經(jīng)典的一篇報告，在 He and Litterman（1999）的基礎上，作者認為觀點信心除了還受到其他因素的影響。作者提出了一種可以結合直觀

28、的 0%-100%的主觀信心的參數(shù)確定法。在此參數(shù)確定法下是一個無關緊要的標量，在設定完之后可以在此基礎上設臵，的大小不影響最終計算的后驗預期收益率向量。此方法的具體步驟如下： = 0代表著第 k 個觀點是完全確定的，投資者對此觀點的信心為 100%，從而可以計算在 k 觀點信心 100%時的預期收益率向量：E,100% = + ()1 ( )計算 k 觀點信心 100%時優(yōu)化得到的最終資產(chǎn)權重：, 100% = ()1 ,100%計算 k 觀點信心 100%時最終資產(chǎn)權重偏離市場均衡資產(chǎn)權重的程度：, 100% = ,100% 利用投資者觀點水平調(diào)整偏離：Tilt = ,100% 其中是一個

29、N 1 的向量，向量中觀點 k 涉及的資產(chǎn)上等于投資者信心水平，觀點 k 不涉及的資產(chǎn)上等于 0。計算目標權重向量：,% = + 優(yōu)化,%和的離差平方和，從而獲得的估計：其中：min (,% )2 = ,-1 ,()1 + 1-1,()1 + 1-重復步驟 I 至 VI，直到計算出所有的。以上論文僅是討論刻度系數(shù)和信心矩陣的部分論文，從這部分論文中我們已經(jīng)可以看出 BL 模型在信心水平確定上的不直觀性和參數(shù)關系間的復雜性，學術界對其的爭論也較多且并未統(tǒng)一。從實證角度來說，由于觀點融合模型的回測建立在觀點模型和配臵模型的基礎上，各家在說明各自方法的時候并不是建立在一個公認的觀點模型和配臵模型的基

30、礎上，因而更加難以互相說服。相比 BL 模型，EP 模型在信心水平的確定上更為直觀，我們可以用信心水平直接對各個觀點集給出的后驗分布進行加權。EP 模型中的信心水平可以設臵為觀點在歷史上的勝率，或者也可以類比采用 Grino ld 和Kahn 在主動投資組合管理中提到的主動管理基本定律的方式：IR IC 其中 IC 即歷史觀點與實際情況的相關系數(shù)，而 Breath 就是歷史產(chǎn)生過的觀點數(shù)。如果有多個信心不同的觀點，可以通過“機制轉換（Regime Switch）”的方式理解加權后的分布。具體的來說，當只有一個信心水平為 c 的觀點時，則機制轉換下的更新后風險因子可以表示為： = 1() + (

31、)其中1與分別是0,1上互不重疊且長度等于 1-c 和c 的區(qū)間上的示性函數(shù)，而 U 則為一個在0,1上均勻分布的隨機變量。在此假設下，最終后驗分布即為： (1 ) + 當存在兩個或以上信心水平不同的觀點時，可以按照觀點集的“冪集（Power Set）”的方式將信心水平映射成一個概率分布，比如當我們有 3 個信心水平不同的觀點時：= () + *1+()*1+ + *2+()*2+ + *3+ ()*3+ + *1,2+()*1,2+ *1,3+()*1,3+ + *2,3+()*2,3+ + *1,2,3+()*1,2,3+ + *1+ *1+ + *2+ *2+ + *3+ *3+ + *

32、1,2+ *1,2+ + *1,3+ *1,3+ + *2,3+ *2,3+ + *1,2,3+ *1,2,3+假設三個觀點的信心水平分別為：1 =70%、2 =80%、3 =90%，同時假設信心水平之間具有包含關系（Attilio Meucci 在論文中的假設）如下：*1,2,3+ = min( | *1 ,2,3+) = 70%*1,2+ = min( | *1 ,2+) *1,2,3+ = 0%*1,3+ = min( | *1 ,3+) *1,2,3+ = 0%*2,3+ = min( | *2,3+) *1,2,3+ = 10%*1+ = min( | *1+) *1,2+ *1,3

33、+ *1,2,3+ = 0%*2+ = min( | *2+) *1,2+ *2,3+ *1,2,3+ = 0%*3+ = min( | *3+) *1,3+ *2,3+ *1,2,3+ = 10% = 1 = 10%2*1,2,3+從而最終的后驗分布即為： 10% + 10%*3+ + 10%*2,3+ + 70%*1,2,3+值得注意的是，論文中的包含關系假設僅是一種簡單的處理，如果有較為明確的觀點間相關性信息，可以直接調(diào)整相應冪集的概率，這又是 EP 模型相對 BL 模型的一個優(yōu)勢。 BL 模型的觀點信心矩陣是對角陣，是不考慮觀點之間的相關性的，一旦需要考慮到觀點之間的相關性，從而給觀點

34、信心矩陣的非對角線元素賦值，將又是一個難題。而 EP模型在歷史觀點頻率相同的情況下，可以直接按照幾個觀點是否同時正確的情況給相應冪集賦予概率即可，非常直觀。解析解對比在不考慮信心水平的情況下，即假設各觀點的信心都相同且為 100%時，那么 BL 模型和EP 模型的解析解分別可以表達為如下形式：BL：,- = ,1 + -1 ,1 + -,- = ,1 + -1EP：,- = + ()1 ( ) ,- = + ()1 ()1 ()1)從公式中可以看出，在 BL 模型中只要表達了觀點，不論觀點與先驗分布是否一致，都會使得協(xié)方差矩陣中相應的資產(chǎn)波動率減小，也就是說不確定性下降。但是如果觀點與先驗分布

35、一致，本質(zhì)代表的是觀點并未帶來任何減熵的信息，從而分布不應該變化，資產(chǎn)的波動率也不應減小。而在 EP 模型中，如果觀點與先驗分布一致，后驗分布就等于先驗分布，不會有變化。因此從這個角度來說，EP 模型也比 BL 模型更加合理。熵池模型的應用實例資產(chǎn)配臵場景下的熵池模型優(yōu)點熵池模型主要解決觀點融合問題，在整體資產(chǎn)配臵框架中起到承上啟下的作用。在觀點融合問題解決后，不斷拓展觀點端各類模型（客觀亦或主觀）的預測精度和預測廣度，將給資產(chǎn)配臵帶來源源不斷的正向作用，好比 Alpha 端之于選股模型。圖表 9：國盛金工量化FOF 配臵體系構架資料來源：國盛證券研究所在我們之前的報告宏觀邏輯的量化驗證：中國

36、利率先行指標體系構建當中，我們通過簡單分布平移的方式融合新觀點，其主要過程為：1、將利率預測的信號通過久期公式轉化為國債收益率期望預期 .國債/（日級別）；2、將每一個國債歷史收益率（日級別）加上均值調(diào)整項：預期 .國債/ 歷史 .國債/。經(jīng)過此調(diào)整后的國債收益率分布均值將變?yōu)槔誓Ｐ皖A測下的均值，從而為資產(chǎn)配臵模型帶來一定的 Alpha。這樣調(diào)整的好處在于不會改變國債收益率分布的方差、偏度、峰度等高階矩特征，使得其邊緣分布形狀不變。而這樣的調(diào)整也有壞處：1、分布平移使得尾部發(fā)生了變化，比如預測均值高于歷史均值，則會導致左尾減?。ㄗ顗那闆r變好），風險被低估，預測目標（均值）與最終調(diào)整結果（均值

37、+尾部）不匹配；2、 簡單分布平移僅針對所預測的資產(chǎn)，對于與其有相關性的資產(chǎn)無法同時調(diào)整，比如當股債同步時，提高債券的收益率均值理論上應同樣提高股票收益率均值，如果沒有相應的外部股票模型發(fā)出觀點，簡單分布平移難以對股票作出合適調(diào)整。而熵池模型則不存在這兩個問題，首先 EP 模型情景集不變，因此后驗分布中尾部范圍不會變化，僅是尾部發(fā)生的概率可能被調(diào)整。而針對第二個問題，我們以一個數(shù)值實驗來說明。首先構造兩個均值皆為 0 的資產(chǎn)收益率分布，其相關系數(shù)設為 0.6。針對第一個資產(chǎn)給予觀點：(1) = 1圖表 10：熵池模型數(shù)值實驗結果資料來源：國盛證券研究所通過 EP 模型計算后得到的后驗分布中資產(chǎn)

38、 1 的均值達到了觀點的要求為 1，而資產(chǎn) 2的均值達到了 0.6。也就是說 EP 模型能自動根據(jù)相關性調(diào)整所有資產(chǎn)的分布，當一個資產(chǎn)的均值被調(diào)高后，與其正相關的其他資產(chǎn)均值也會被適當調(diào)高。在整體資產(chǎn)分布較為復雜，觀點多樣化的情形下，EP 模型以最大熵原理對分布進行整體的調(diào)整，比簡單分布平移或者主觀臆斷調(diào)整更為科學便捷。熵池模型下觀點融合的實際效果在本報告中，我們繼續(xù)沿用宏觀邏輯的量化驗證：中國利率先行指標體系構建中的資產(chǎn)配臵模型：概率優(yōu)化模型，以及 10 年期國債收益率預測模型。選用如下資產(chǎn)進行資產(chǎn)配臵模擬測試：圖表 11：示例資產(chǎn)類別與代理指數(shù)資產(chǎn)類別代理指數(shù)A 股大市值滬深 300 指數(shù)

39、美股標普 500 指數(shù)A 股中小市值中證 500 指數(shù)港股恒生指數(shù)黃金SGE 黃金 9999 指數(shù)債券中債-國債總財富(7-10 年)指數(shù)資料來源：國盛證券研究所我們將優(yōu)化函數(shù)設臵為以下風險目標：考慮雙邊 0.5%的換手費用下，未來 1 個月收益小于 1%或者最大回撤超過-0.6%的概率。并通過蒙特卡洛優(yōu)化算法以月頻為調(diào)倉周期最小化此風險目標以求出最優(yōu)的資產(chǎn)配臵比例。min ( 1% + 0.5% | | , 0.6%)+112 +11對于輸入的資產(chǎn)收益率分布，我們分別采用歷史分布、簡單平移分布和 EP 完全信心分布進行回測，后兩者將利用同樣的利率預測信號調(diào)整歷史分布。所輸入的 10 年期國債

40、收益率預測信號的歷史月度方向勝率為 69%，信號通過與中債-國債總財富(7-10 年)指數(shù)的歷史久期的組合即可計算出其未來預期收益率。圖表 12：10 年期國債利率預測信號表現(xiàn)資料來源：Wind，國盛證券研究所模型 2008 年 1 月至 2020 年 1 月回測結果如下：圖表 13：資產(chǎn)配臵模型回測結果總收益年化收益最大回撤夏普率原始策略96.45%5.92%-12.35%0.91簡單分布平移策略104.68%6.29%-15.66%0.86EP 完全信心策略172.15%8.90%-13.77%1.19資料來源：Wind，國盛證券研究所圖表 14：概率優(yōu)化模型回測凈值曲線資料來源：Wind

41、，國盛證券研究所從回測結果來看，EP 模型對利率預測信號的利用效果遠遠好于簡單分布平移，簡單分布平移中的許多看似細枝末節(jié)的問題對最終的配臵結果造成了很大的影響。EP 模型利用利率預測信號通過最大熵原理對整體分布進行全局的調(diào)整，使得后驗分布對未來更具有預測能力。圖表 15：資產(chǎn)配臵測試歷史倉位資料來源：Wind，國盛證券研究所總結與展望熵池模型的優(yōu)點總結EP 模型在解決觀點融合和分布更新的場景下，其無論是從泛化能力還是從調(diào)整精度來說都要優(yōu)于傳統(tǒng)方法，當前已有瑞典北歐斯安銀行（SEB，北歐最大的金融集團之一）、安本標準（Aberdeen Standard，英國最大的主動式資產(chǎn)管理公司）等機構開始使

42、用。相關論文也在 2010 年以后不斷有發(fā)表，對模型進行不斷的測試與修正，因此本報告希望國內(nèi)也能有更多機構投資者了解到此模型，并在投資實踐中受益。熵池模型的最主要的優(yōu)點可以歸納為如下幾點：1、可融合幾乎任意形式的觀點（線性與非線性、等式與非等式）；2、可對任意分布進行觀點融合；3、可以冪集映射的方式融入觀點間的相關性；4、觀點的影響具有整體性，會對相關資產(chǎn)做全局調(diào)整；5、利用最大熵原理避免不必要的假設和結構；6、情景表達法下無需重定價，計算速度更快。熵池模型拓展與應用場景展望當資產(chǎn)配臵研究達到一定程度后，自然而然需要將觀點邏輯與量化模型進行有機的結合。以安本標準為例，其在大類資產(chǎn)判斷上構建了許

43、多的情景，他們認為資產(chǎn)收益率之所以有肥尾特性，主要是因為市場并不只有一種狀態(tài)，通過分析市場的不同狀態(tài)，構建出未來可能的情景，就可以對資產(chǎn)組合進行壓力測試，這將有助于提高資產(chǎn)配臵的穩(wěn)健性和應對風險的能力。其中，熵池模型就扮演著觀點邏輯與風險模型有機結合的角色。因此，對于熵池模型，我們未來的一個展望就在于可以應用在壓力測試上。關于熵池模型本身，其實仍有較多的擴展空間，首先其應用的范圍不局限于資產(chǎn)配臵場景，對于因子擇時、行業(yè)配臵、衍生品定價、衍生品做市等，都具有應用前景，在今后的報告中，我們將對其中的部分場景展開研究。熵池模型從理論層面也有擴展空間，包括極端觀點的融合、路徑分布代替樣本點的分布、因子模型下的表達等值得我們未來去探索。參考文獻Almgren, R., & Chriss, N. (2007). Optimal portfolios from ordering informat ion. In Forecasting Expected Returns in the Financial Markets (pp. 55 -100). Academic Pre