2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)北師大版上冊第一章特殊平行四邊形單元卷新思維同步提高訓(xùn)練（含解答）

1、第一章 特殊平行四邊形單元卷 新思維同步提高訓(xùn)練（Word版含解答）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)北師大版上冊一、選擇題1.對角線互相垂直平分但不相等的四邊形是（ ） A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四邊形2.數(shù)學(xué)老師用四根長度相等的木條首尾順次相接制成一個圖1所示的菱形教具，此時測得 D=60 ，對角線 AC 長為 16cm ，改變教具的形狀成為圖2所示的正方形，則正方形的邊長為（ ） A.8cmB.42cmC.16cmD.162cm3.如圖，E是平行四邊形 ABCD 邊 AD 延長線上一點(diǎn)，且 DE=AD ，連接 BE 、 CE 、 BD 若 AB=BE ，則四邊形 BCED 是（

2、） A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形4.如圖，在菱形 ABCD 中，按如下步驟作圖：分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于 12CD 長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn) M、N ；作直線 MN ，且 MN 恰好經(jīng)過點(diǎn)A，與 CD 交于點(diǎn)E，連接 BE ，若 AD=6 ，則 BE 的長為（ ） A.37B.33C.4D.255.如圖，菱形ABCD的面積為24，對角線AG與BD交于點(diǎn)O，E是BC邊的中點(diǎn)， EFBD 于點(diǎn)F， EGAC 于點(diǎn)G，則四邊形EFOG的面積為（ ） A.3B.5C.6D.8 6.如圖，矩形 ABCD 中，點(diǎn) E 在 BC 上，且 AE 平分 BAC ， AE=CE ， BE=2 ，則

3、矩形 ABCD 的面積為（ ） A.243B.24C.123D.127.如圖，矩形ABCD中，AB：AD=2：1，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB ， 當(dāng)PB的最小值為3 2 時，AD的值為（） A.2B.3C.4D.68.如圖，在等腰直角 ABC 中， AB=BC ，點(diǎn)D是 ABC 內(nèi)部一點(diǎn)， DEBC ， DFAB ，垂足分別為E，F(xiàn)，若 CE=3DE ， 5DF=3AF ， DE=2.5 ，則 AF= （ ） A.8B.10C.12.5D.159.如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，5），則A，C兩點(diǎn)間的距離是（ ） A.26B.3 3C.29D.510.如

4、圖，已知正方形 A1A2A3A4 的邊長為1，延長 A1A2 到 B1 ，使得 B1A2=A1A2 ，延長 A2A3 到 B2 ，使得 B2A3=A2A3 ，以同樣的方式得到 B3,B4 ，連接 B1,B2,B3,B4 ，得到第2個正方形 B1B2B3B4 ，再以同樣方式得到第3個正方形 C1C2C3C4 ，則第2020個正方形的邊長為（ ） A.2020B.(5)2019C.(5)2020D.52020二、填空題11.如圖，菱形ABCD的邊長為4，A45，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于 12 AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M ， N兩點(diǎn)，直線MN交AD于點(diǎn)E ， 連接CE ， 則CE的長為_

5、12.如圖，O點(diǎn)是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，菱形ABEO的邊長為2，則BC_ 13.在邊長為2的正方形 ABCD 中，點(diǎn)E是 AB 的中點(diǎn)， EFBD 于點(diǎn)F ， 則 EF 的長度_ 14.如圖，把一張長方形的紙片對折兩次，量出 OA=1 ， OB=2 ，然后沿 AB 剪下一個 AOB ，展開后得到一個四邊形，則這個四邊形的周長為_ 15.如圖，在矩形 ABCD 中， AB=15，AD=8，E 為 AB 邊上一點(diǎn)，將 BEC 沿 CE 翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，當(dāng) AEF 為直角三角形時， AE= _ 16.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點(diǎn)（不含B、C兩點(diǎn)），將ABP沿

6、直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M，使得將CMP沿直線MP翻折后，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N，連接MA，NA當(dāng)ABPADN時，則BP的長為_ 17.如圖，矩形紙片ABCD中，AB3，BC5，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊AD的延長線上的點(diǎn)G處，折痕為EF，點(diǎn)E、F分別在邊AD和邊BC上.連接BG，交CD于點(diǎn)K，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)H.給出以下結(jié)論：EFBG；GEGF；DKHK；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時 EF=10 .其中正確的結(jié)論是_（填寫序號）. 18.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD邊的中點(diǎn)，若P，Q為BC邊上的兩個動點(diǎn)，且PQ=2，四邊形APQE的周長

7、最小值為_。 三、解答題19.如圖，在矩形 ABCD 中， O 為對角線 AC 的中點(diǎn)，過點(diǎn) O 作直線分別與矩形的邊 AD ， BC 交于 M ， N 兩點(diǎn)，且 MNAC ，連接 CM ， AN 求證：四邊形 ANCM 為菱形 20.如圖，已知E是矩形ABCD一邊AD的中點(diǎn)，延長AB至點(diǎn)F連接CE，EF，CF，得到 CEF .且 CD=1 ， AF=2 ， CF=3 .求CE的長； 21.如圖，正方形ABCD，ABE是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，將線段AM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到AN，連接EN、DM.求證：ENDM. 22.問題解決：如圖1，在矩形 ABC

8、D 中，點(diǎn) E,F 分別在 AB,BC 邊上， DE=AF,DEAF 于點(diǎn) G . （1）求證：四邊形 ABCD 是正方形； （2）延長 CB 到點(diǎn) H ，使得 BH=AE ，判斷 AHF 的形狀，并說明理由. 類比遷移：如圖2，在菱形 ABCD 中，點(diǎn) E,F 分別在 AB,BC 邊上， DE 與 AF 相交于點(diǎn) G ， DE=AF,AED=60,AE=6,BF=2 ，求 DE 的長.23.如圖，邊長為6的正方形OABC的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，點(diǎn)A，點(diǎn)C在x軸和y軸的正半軸上，直線 y=-34x+152 與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)E和 點(diǎn)F，與正方形的邊AB、BC分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N。 （1）請直接寫出點(diǎn)M

9、和點(diǎn)N的坐標(biāo)； （2）求點(diǎn)O到MN的距離； （3）求AMO+CNO的度數(shù) 24.探索與應(yīng)用：如圖 （1）問題解決：如圖1.在平行四邊形紙片ABCD（ADAB）中，將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn) B 處，折線AE交BC于點(diǎn)E，連接BE.求證：四邊形 ABEB 是菱形. （2）規(guī)律探索：如圖2，在平行四邊形紙片ABCD（ADAB）中，將紙片沿過點(diǎn)P的直線折疊，點(diǎn)B恰好落在AD上的點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，得到折痕FP，那么PFQ是等腰三角形嗎？請說明理由. （3）拓展應(yīng)用：如圖3，在矩形紙片ABCD（ADAB）中，將紙片沿過點(diǎn)P的直線折疊，得到折痕FP，點(diǎn)B落在紙片ABCD內(nèi)部點(diǎn) B

10、 處，點(diǎn)A落在紙片ABCD外部點(diǎn) A 處， AB 與AD交于點(diǎn)M，且 A M B M.已知：AB4，AF2，求BP的長. 答案一、選擇題1.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故A不符合題意； 對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故B符合題意；對角線互相平分且相等的是矩形，故C不符合題意；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故D不符合題意.故B.2.解：連接AC 圖1中，四邊形ABCD是菱形AD=DCD=60ADC是等邊三角形AD=DC=AC=16cm圖2為圖1改變形狀得到正方形的邊長為16cm故C.3.解：四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD/BC,AD=BC,AB=DC ， DE/

11、BC ， DE=AD ， DE=BC ，四邊形 BCED 是平行四邊形， AB=BE ， BE=DC ， BCED 是矩形，故B4.解：根據(jù)作圖，知AE是線段CD的垂直平分線， 四邊形ABCD是菱形，DE= 12 AD，DAE=30，D=60，BAE=90，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理，得AE= 62-32 = 33 ，在直角三角形BAE中，根據(jù)勾股定理，得BE= 62+(33)2 = 37 故A5.解： 四邊形 ABCD 是菱形， OA=OC=12AC ， OB=OD=12BD ， ACBD ，EFBD 于 F ， EGAC 于 G ， 四邊形 EFOG 是矩形， EF/OC ， EG

12、/OB ， 點(diǎn) E 是線段 BC 的中點(diǎn)，EF 、 EG 都是 OBC 的中位線，EF=12OC=14AC ， EG=12OB=14BD ， 矩形 EFOG 的面積 =EFEG=116ACBD ；又菱形ABCD的面積為= 12ACBD=24 ， ACBD=48矩形 EFOG 的面積= 1824=3 .故A.6.解： 四邊形 ABCD 是矩形， B=90 ， BAC+BCA=90 ， AE 平分 BAC ， AE=CE ， BAE=EAC=ECA ， BAE+EAC+ECA=90 ， BAE=EAC=ECA=30 ， AE=CE=2BE=4 ， AB=23 ， BC=BE+CE=6 ， 矩形 A

13、BCD 面積： ABBC=236=123 ；故C.7.解：如圖： 當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P在P1處，CP1=DP1 當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時，點(diǎn)P在P2處，EP2=DP2 ， P1P2CE且P1P2= 12 CE ， 點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是線段P1P2 ， 當(dāng)BPP1P2時，PB取得最小值 ， 矩形ABCD中，ABAD=21，E為AB的中點(diǎn)，CBE ， ADE ， BCP1均為等腰直角三角形，CP1=BC ， ADE=CDE=CP1B=45，DEC=90，DP2P1=90，DP1P2=45，P2P1B=90，即BP1P1P2 ， BP的最小值為BP1的長 ， 在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC ，

14、BP1= 2 BC ， 又PB的最小值是3 2 ，AD=BC=3 ， 故B8 解：DEBC,DFAB ， DEB=DFB=90 ，ABC為等腰直角三角形，ABC=90，四邊形DEBF為矩形，BF=DE=2.5，DF=EB，設(shè)DF=3x，則EB=3x， 5DF=3AF ，AF=5x，AB=5x+2.5， CE=3DE ，CE=7.5，CB=7.5+3x，AB=CB，5x+2.5=7.5+3x，解得x=2.5, AF=5x=12.5 ，故C.9.解：連接OB，AC， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，5）， BO=22+52=29. 矩形OABC， AC=BO=29. 故C.10.解：由題意可得：第1個正方形 A

15、1A2A3A4 的邊長為 A1A2=1=(5)0 B1A2=A1A2 A1B1=2第2個正方形 B1B2B3B4 的邊長為 12+22=5由題意，以此類推， C1B2=5 ， C2B2=25第3個正方形 C1C2C3C4 的邊長為 (5)2+(25)2=5=(5)2第n個正方形的邊長為 (5)n-1第2020個正方形的邊長為 (5)2019故B.二、填空題11.解： 連接BE，AB與MN交點(diǎn)記為F， 根據(jù)作圖方式，可知MN為邊AB的垂直平分線， 所以MNAB，AF=BF， 因為四邊形ABCD為菱形，A45， 所以ABE=45，ABC=135 所以EBC=90，EBC為直角三角形， 因為菱形AB

16、CD的邊長為4， 所以AF=BF=2，BE=22+22=22 所以在RtEBC中，CE=BE2+BC2=222+42=2612.解：菱形ABEO的邊長為2， ABAO2，O點(diǎn)是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，ABC90，AC2AO4，BC AC2-AB2 42-22 2 3 ，故2 3 13.解：四邊形 ABCD 是正方形， ABD=45 ， AB=2 ，點(diǎn)E是 AB 的中點(diǎn)， BE=12AB=1 ， EFBD ， ABD=45 ， EFB=90 ，EF=BF ， BE=EF2+BE2=EF2+EF2=2EF ， EF=22BE=22故 22 14.解：由題意，四邊形是菱形， AOB90，OA

17、1，OB2，AB= OA2+OB2=12+22=5四邊形的周長為4 5 ，故4 5 15.當(dāng) AEF 為直角三角形時，有兩種情況： 當(dāng)點(diǎn) B 落在矩形內(nèi)部時，如下圖所示連接 AC ，在 RtABC 中， AB=15 ， BC=7 ，AC=152+82=17 ，B 沿 AE 折疊，使點(diǎn) B 落在點(diǎn) F 處，CFE=B=90 ，當(dāng) AEF 為直角三角形時，只能得到 AFE=90 ， 點(diǎn) A 、 B 、 C 共線，即 B 沿 AE 折疊，使點(diǎn) B 落在對角線 AC 上的點(diǎn) F 處， EB=EF ， CB=CF=8 ，AF=AC-CF=17-8=9 ，設(shè) AE=x ，則 BE=FE=15-x ，在 R

18、tAEF 中，AF2+EF2=AE2 ，92+(15-x)2=x2 ，解得 x=515 ，AE=515 ；當(dāng)點(diǎn) B 落在 AD 邊上時，如下圖所示,此時 BCFE 為正方形， BE=EF=8 AE=AB-BE=15-8=7 綜上所述， BE 的長為7或 515 16.解： ABPADN 時，將 ABP 沿直線AP翻折； ABPADNAEPAEN PAB=DAN=14DAB=1490=22.5 ，在 AB 上取一點(diǎn) K 使得 AK= ，設(shè) PB=z ， KPA=KAP=22.5 ， B=KPA+KAP=45 ， B=BKP=45 ， PB=BK=z ， AK=2z ， z+2z=4 ， z=42

19、-4 ， PB=42-4 ，故 42-4 .17.解：連接BE，由折疊可知BO=GO， EG/BF，EGO=FBO，在EOG和FOB中，EGO=FBOEOG=FOBBO=GO ，EOGFOB(AAS) ，EG=BF，四邊形EBFG是平行四邊形，由折疊可知BE=EG，則四邊形EBFG為菱形，故EFBG，GE=GF，正確；四邊形EBFG為菱形，過K作kMFG于M，KG平分DGH，KDEG，KD=KM，在RtKMH中，KH為斜邊，KH KM=KD，錯誤；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，BE=BF=BC=5，AB=3，在RtABE中，由勾股定理AE= BE2-AB2=52-32=4 ，ED=AD-AE=5-4=1

20、，在RtEDC中，由勾股定理EF= CD2+ED2=32+12=10 ，正確.綜合，正確的為.故.18.解：如圖，作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，作GQPF，使QG=PF，連接EG交BC于M， 則GQ=PF=PA， 當(dāng)QE+QG最小時即可， 這時G、Q、E在一條直線上， 即QE+QG=GM+ME=GE=GK2+EK2=4+22+62=62 ， AE=AD2+ED2=42+22=217 ， APQE的最小值=AP+QE+AE+PQ=62+217+2， 故 217+62+2 . 三、解答題19. 證明：在矩形 ABCD 中， O 為對角線 AC 的中點(diǎn) AD/BC ， AO=CO OAM=OCN 在 AOM

21、 和 CON 中 OAM=OCNAO=COMOA=NOC AOMCON(ASA) AM=CN 又 AM/CN 四邊形 ANCM 為平行四邊形又 MNAC 平行四邊形 ANCM 為菱形20. 解： 四邊形 ABCD 是矩形， CD=1 ， AB=1 ， ABC=FBC=90 ，AF=2 ，BF=1 ，RtCBF 中， FBC=90 ， BF=1 ， CF=3 ， 根據(jù)勾股定理得 CF2=BC2+BF2 ，BC=CF2-BF2=32-12=22 ，矩形 ABCD 中， AD=BC=22 ，E 是 AD 的中點(diǎn)，AE=DE=2 ，RtCDE 中， D=90 ， CD=1 ， DE=2 ，根據(jù)勾股定理

22、得， CE=CD2+DE2=3 .21.解：ABE是等邊三角形，BAE60，BAEA，由旋轉(zhuǎn)可得，MAN60，AMAN，BAEMAN，EANBAM，四邊形ABCD是正方形，BADA，BAMDAM45，EADA，EANDAM，在EAN和DAM中，EADA.EAN=DAM，AN=AM，EANDAM（SAS），ENDM.22.（1）證明：如圖1，四邊形 ABCD 是矩形， ABC=DAB=90 .BAF+GAD=90 .DEAF,ADG+GAD=90 .BAF=ADG .又 AF=DE,ABFDAE,AB=AD .矩形 ABCD 是正方形（2）解： AHF 是等腰三角形.理由如下： AB=AD,ABH=DAE=90,BH=AE ，ABHDAE,AH=DE .又 DE=AF,AH=AF ，即 AHF 是等腰三角形.類比遷移：如圖2，延長 CB 到點(diǎn) H ，使得 BH=AE=6 ，連接 AH .四邊形 ABCD 是菱形，ADBC,AB=AD,ABH=BAD .BH=AE,ABHDAE .AH=DE,AHB=DEA=60 .又 DE=AF,AH=AF .AHB=60,AHF 是等邊三角形，AH=HF ，DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8 23. （1）M（6，3），N（2，6）（2）如圖，過點(diǎn)O作OHMN于點(diǎn)H， 令x=0，則y=152