高中數(shù)學(xué)一輪難題復(fù)習(xí) 推理與證明典型解答題（學(xué)生版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁一輪難題復(fù)習(xí) 推理與證明典型解答題一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、合情推理（一）歸納推理1. 歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。2. 歸納推理的一般步驟：第一步，通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）。題型1：用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）觀察：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，試寫出使成立的一個(gè)條件可以是 _.（2）蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單

2、個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)。則（二）類比推理1. 類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理。簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。2. 類比推理的一般步驟：第一步：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；第二步：用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想.題型2：用類比推理猜想新的命題（1）已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_.（三）合情推理1.

3、定義：歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。簡(jiǎn)言之，合情推理就是合乎情理的推理。2. 推理的過程：思考探究：（1）歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系? 歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。三、演繹推理（一）含義：1. 演繹推理是從一般性的原

4、理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論。演繹推理又叫邏輯推理。2. 演繹推理的特點(diǎn)是由一般到特殊的推理。（二）演繹推理的模式1. 演繹推理的模式采用“三段論”：（1）大前提已知的一般原理(M是P)；（2）小前提所研究的特殊情況(S是M)；（3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷(S是P)。2. 從集合的角度看演繹推理：（1）大前提：xM且x具有性質(zhì)P；（2）小前提：yS且SM（3）結(jié)論：y具有性質(zhì)P（三）演繹推理與合情推理合情推理與演繹推理的關(guān)系：1. 從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理。2. 從推理所得的結(jié)論來看，合情推

5、理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。四、直接證明與間接證明（一）三種證明方法：綜合法、分析法、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。反證法：它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成

6、立；（2） 根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止 （3） 斷言假設(shè)不成立（4）肯定原命題的結(jié)論成立用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論。重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題考點(diǎn)1：綜合法在銳角三角形中，求證：考點(diǎn)2：分析法已知，求證考點(diǎn)3：反證法已知，證明方程沒有負(fù)數(shù)根五、數(shù)學(xué)歸納法1. 數(shù)學(xué)歸納法的定義：一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：（1）證明當(dāng)時(shí)命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成

7、立。在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于的所有正整數(shù)都成立。這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法。2. 數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納有限的演繹（遞推關(guān)系）3. 數(shù)學(xué)歸納法步驟：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由（1），（2）可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)n都正確。題型1：已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)時(shí)命題為真，則還需證明（ ）A. n=k+1時(shí)命題成立 B. n=k+2時(shí)命題成立C. n=2k+2時(shí)命題成立 D. n=2（k+2）時(shí)命題成立題型2：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例題

8、1（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡必過橢圓中心；（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，.如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn). 連結(jié)“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.例題2（1）證明：；（2）證明：對(duì)任何正整數(shù)n，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？例題3對(duì)于數(shù)列：、，若不改變，僅改變、中部分項(xiàng)的符號(hào)（可以都不改變），得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列，如僅改變數(shù)列、的第二、三項(xiàng)的符號(hào)，可以得到一個(gè)生成數(shù)列：、.已