對(duì)雨中人跑步淋雨量問(wèn)題的探討

1、 3.模型的分析與求解 對(duì)雨中人跑步淋雨量問(wèn)題的探討摘要：當(dāng)人在雨中跑步，要使得在一定的距離內(nèi)跑步的淋雨量最小，速度 需要取到一定的合適值。該模型屬于優(yōu)化模型。針對(duì)問(wèn)題1,直接給出了人的跑步速度以及雨的速度和方向，故直接使用公式 Q st計(jì)算即可。針對(duì)問(wèn)題2, 雨從迎面吹來(lái)，與人成一定的角度，我們將雨的速度分解為水平方向和垂直的 方向，那么人的淋雨面只有頂部和迎面的那個(gè)面，這樣，我們分別計(jì)算兩個(gè)面 的淋雨量，再利用數(shù)學(xué)對(duì)淋雨量 Q關(guān)于v進(jìn)行求導(dǎo)，可以得出Q隨著v的增大而減小，于是當(dāng)v Vm 5m/s時(shí)，Q取到最小值，再代入當(dāng)0時(shí)，可得到Q 1.15L;當(dāng) 30時(shí)，可得Q 1.55L。針對(duì)問(wèn)題3

2、,雨從背面吹來(lái)，與問(wèn)題2類(lèi)似，不同的只是雨從背面吹來(lái)，采取同樣的方法，將雨的速度分解，而此時(shí) 人的淋雨面只有頂部和背面的淋雨面，但不同的是需要考慮雨速的水平速度 usin與人的跑步速度v的大小關(guān)系，我們可以分別得到當(dāng) usin v和usin v時(shí)的Q與v的關(guān)系（見(jiàn)（3.3-6）,再考慮雨線(xiàn)方向?qū)的影響，利用數(shù)學(xué)對(duì)淋雨量Q關(guān)于v進(jìn)行求導(dǎo)可以得出當(dāng)tan - , v usin時(shí)，總淋雨 a量Q最小；當(dāng)v vm 5m/s,總淋雨量Q最小。針對(duì)問(wèn)題4,使用MATLAI圖工具對(duì)式（3.3-6 ）畫(huà)圖即可。針對(duì)問(wèn)題 5,與問(wèn)題2和3的本質(zhì)一樣，只是需要對(duì)雨速v分解成3個(gè)方向的量，淋雨面積也多求一個(gè)面即可

3、。最后，對(duì)模型的建立客觀(guān)的分析了優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。關(guān)鍵詞：淋雨量?jī)?yōu)化模型速度分解數(shù)學(xué)求導(dǎo)與畫(huà)圖1.問(wèn)題重述要在雨中從一處沿直線(xiàn)跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立 數(shù)學(xué)模型討論是否跑的越快，淋雨量越少。將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高 a 1.5m ,寬b 1.5m ,厚c=0.2m。設(shè)跑步距離d =1000m ,跑步最大速度vm 5m/s，降雨量 =2cm/h ,記跑步速度為v.按以下步驟進(jìn)行討論.不考慮雨的方向，設(shè)降雨量淋遍全身，以最大速度跑步。估計(jì)跑完全程的總 淋雨量.雨從迎面吹來(lái)，雨線(xiàn)與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)，a b, c, d , u,之

4、間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大， 總淋雨量最少.計(jì)算30時(shí)的總淋雨量.雨從背面吹來(lái)，雨線(xiàn)方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a b, c, d , u ,之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多 大，總淋雨量最少.計(jì)算 30時(shí)的總淋雨量.以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(duì)（3）作圖（考慮 的影響）,并解釋 結(jié)果的實(shí)際意義.若雨線(xiàn)方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化？2.問(wèn)題假設(shè)和符號(hào)說(shuō)明模型假設(shè)：.雨速為常數(shù)且方向不變.人的全身淋雨量均勻且單位面積內(nèi)淋雨量相同.人的跑步速度保持不變.符號(hào)說(shuō)明：a:人體簡(jiǎn)化成長(zhǎng)方形后的高.b:人體簡(jiǎn)化成長(zhǎng)方形后的寬.c:人體簡(jiǎn)化成長(zhǎng)方

5、形后的厚.d:跑步的距離.v :跑步的速度.Vm：人跑步的最大速度.U ：雨速：降雨量：雨從迎面吹來(lái)時(shí)與人體的夾角.：雨從背面吹來(lái)時(shí)與人體的夾角.S:人的全身面積.Q :總淋雨量.Qi:頂部淋雨量.Q2 ：迎面淋雨量.t：淋雨時(shí)間.對(duì)問(wèn)題1的分析與求解由于問(wèn)題中假設(shè)了降雨淋遍全身，則人的全身面積為S 2ac 2ab bc(3.1-1 )人在雨中的淋雨時(shí)間為t (3.1-2 )vm則人的淋雨量為Q st(3.1-3 )聯(lián)立(3.1-1 ) - (3.1-3 )并代入 a 1.5m, b 1.5m, c= 0.2m , d =1000m ,vm 5m/s, =2cm/h 得Q 2.44L .對(duì)問(wèn)題

6、2的分析與求解由于雨是從迎面吹來(lái)的，故只有迎面和頂部會(huì)淋到雨，將雨速分解為水平分 量和豎直分量，同樣的，將淋雨量分成頂部淋雨量和迎面淋雨量。于是頂部的 淋雨量為(3.2-1 )(3.2-2 )(3.2-3)5m/s時(shí)，Q取到最小值。_ bcd cos Q1v迎面的淋雨量為abd (u sin v) Q2uv于是總淋雨量為Q Qi Q2經(jīng)計(jì)算，并求Q關(guān)于v的導(dǎo)數(shù)，可以得出當(dāng)v vm當(dāng) 0 時(shí)，代入 a 1.5m , b 1.5m, c= 0.2m , d = 1000m, v vm 5m/s,=2cm/h ,可得 Q 1.15L。當(dāng) 30 時(shí)，代入 a 1.5m , b 1.5m, c = 0.

7、2m , d = 1000m, v vm 5m/s,=2cm/h ,可得 Q 1.55L。對(duì)問(wèn)題3的分析與求解止匕問(wèn)與問(wèn)題2類(lèi)似，所不同的只是雨的方向變成了從背面吹來(lái) 故人頂部的淋雨量為bcd cosQ (3.3-1)v此時(shí)在水平方向上的合速度為v水平 |usin v|(3.3-2 ) abd (usin -v)(3.3-3)于是，當(dāng)usinv時(shí)，有uv當(dāng)usin u sin uvbd u(ccos asin ) av,v usin uv(3.3-6 )對(duì)于式（3.3-6 ）,討論當(dāng)ccos asin 0時(shí)，即tan c ,對(duì)Q關(guān)于v進(jìn)行求 a導(dǎo)可以得出Q隨著v的增大而先減小后增大，臨界點(diǎn)為

8、v usin ,故當(dāng) v usin 時(shí)，總淋雨量Q最小。c而當(dāng)ccos asin 0,即tan ,對(duì)Q關(guān)于v進(jìn)行求導(dǎo)可以得出Q隨著v的 a增大而減小，于是，當(dāng)v vm 5m/s,總淋雨量Q最小。當(dāng) 30時(shí)，此時(shí)屬于第一種情況，tan -,故當(dāng)v usin 2m/s時(shí)，有最 a小淋雨量Q 0.24L。對(duì)問(wèn)題4的分析與求解當(dāng)ccos asin 0時(shí)，即tan -,使用MATLABB圖工具可以得到圖像為a圖 3.4-1是人體的背面不被淋雨，只有頂部淋雨，此時(shí)當(dāng)當(dāng)ccos a sin 0,即tan ,使用MATLABB圖工具可以得到圖像為 a,幾乎可以認(rèn)為av usin 時(shí)，總淋雨量Q最小。而當(dāng)carctan- 7.6時(shí)，在條件允許的情況下, a人的速度v越大，即跑得越快,Q越小。對(duì)問(wèn)題5的分析與求解當(dāng)雨線(xiàn)的方向和跑步方向不在同一個(gè)平面時(shí)，建立一個(gè)三維的坐標(biāo)系，將雨 的速度分解成三個(gè)互相垂直的方向的速度，另取一個(gè)角度來(lái)表示側(cè)面分解速度 的方向，然后再運(yùn)用上述方法來(lái)進(jìn)行求解即可，只是在原先的基礎(chǔ)上多求了一 個(gè)側(cè)面淋雨的情況，由于問(wèn)題中沒(méi)有要求求出具體數(shù)值，故此處不作求解。4.模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：該模型的優(yōu)點(diǎn)在于：將人