2022年全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)與答案

1、2022 年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（卷）逐題解析理科數(shù)學(xué)一、挑選題：此題共12 小題,每道題5 分,共 60 分；在每道題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有哪一項(xiàng)符合題目要求的；二、【題目1】2022 新課標(biāo)全國(guó)卷理11.3 1i（）i. iA 12iB 1 2iC 2iD 2【命題意圖 】此題主要考查復(fù)數(shù)的四就運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念,意在考查同學(xué)的運(yùn)算才能【解析 】解法一：常規(guī)解法解法二：對(duì)十法3i可以拆成兩組分式數(shù)3 1,運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)為abi 形式,a3 11 12（分子十字相乘,1i112 12 1分母為底層數(shù)字平方和）,b1 13 11（分子對(duì)位之積差,分母為底層數(shù)字平方和）. 2 12 1解

2、法三：分別常數(shù)法解法四：參數(shù)法3 ia bi 3 i a bi 1 i 3 i a b a b i a b 3,解得 a 21 i a b 1 b 1故 3 i 2 i1 i【學(xué)問(wèn)拓展 】復(fù)數(shù)屬于新課標(biāo)必考點(diǎn),考復(fù)數(shù)的四就運(yùn)算的年份較多,復(fù)數(shù)考點(diǎn)有五：1.復(fù)數(shù)的幾何意義（ 2022 年）；2.復(fù)數(shù)的四就運(yùn)算；3.復(fù)數(shù)的相等的充要條件；4.復(fù)數(shù)的分類(lèi)及共軛復(fù)數(shù)；5.復(fù)數(shù)的?！绢}目 2】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理22.設(shè)集合1,2,4,x x24xm0如I1,就（）B 1,0C 1,3D 1,5A 1, 3【命題意圖 】此題主要考查一元二次方程的解法及集合的基本運(yùn)算,以考查考生的運(yùn)算才能為目的. 【解

3、析 】解法一：常規(guī)解法AIB1 1 是方程2 x4xm0的一個(gè)根,即m3,Bx x24x30故B1,3解法二：韋達(dá)定理法AIB1 1 是方程2 x4xm0的一個(gè)根,利用宏大定理可知：x 114,解得：x 13,故B1,3解法三：排除法集合 B 中的元素必是方程方程2 x4xm0的根,x 1x 24,從四個(gè)選項(xiàng)ABCD 看只有 C選項(xiàng)滿(mǎn)意題意 . 【學(xué)問(wèn)拓展 】集合屬于新課標(biāo)必考點(diǎn),屬于函數(shù)范疇,常與解方程求定義域和值域數(shù)集意義相結(jié)合,集合考點(diǎn)有二：1.集合間的基本關(guān)系；2.集合的基本運(yùn)算 . 【題目 3】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理 33.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著 算法統(tǒng)宗 中有如下問(wèn)題：“ 遠(yuǎn)望巍巍塔七層

4、,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？” 意思是：一座 7 層塔共掛了 381 盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2 倍,就塔的頂層共有燈（）A1 盞 B3 盞 C5 盞 D9 盞【命題意圖 】此題主要考查等比數(shù)列通向公式 a 及其前 n 項(xiàng)和 S ,以考查考生的運(yùn)算才能為主目的. 【解析 】解法一：常規(guī)解法一座 7 層塔共掛了381 盞燈,即S 7381；相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2 倍,即q2,塔的頂層為a ；由等比前n 項(xiàng)和S na 11qnq1可知：S 7a 11n 2381,解得q121a 13. 解法二：邊界效應(yīng)等比數(shù)列為遞增數(shù)列,就有a n1S

5、,a8S 7381,解得a 12.9,a 13. 【學(xué)問(wèn)拓展 】數(shù)列屬于高考必考考點(diǎn),一般占10 分或 12 分,即兩道小題或一道大題,其中必有一道小題屬于基礎(chǔ)題,一道中檔偏上題或壓軸題,大題在 17 題顯現(xiàn),屬于基礎(chǔ)題型,高考所占分值較大,在高中教學(xué)中列為重點(diǎn)講解內(nèi)容,也是大部分同學(xué)的難點(diǎn),主要是平常教學(xué)題型難度嚴(yán)峻偏離高考考試難度,以及討論題型偏離命題方向,期望能引起留意；考試主線特別明晰,1.等差數(shù)列通向公式 a 及其前 n項(xiàng)和 S ；2. 等比數(shù)列通向公式 a 及其前 n 項(xiàng)和 S . 【題目 4】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理 44.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1,學(xué) 科&網(wǎng)粗實(shí)線畫(huà)出的

6、是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,就該幾何體的體積為（）A 90 B 63 C 42 D 36【命題意圖 】此題主要考查簡(jiǎn)潔幾何體三視圖及體積,以考查考生的空間想象才能為主目的 . 【解析 】解法一：常規(guī)解法從三視圖可知：一個(gè)圓柱被一截面截取一部分而剩余的部分,詳細(xì)圖像如下：切割前圓柱切割中切割后幾何體從上圖可以清楚的可出剩余幾何體外形,該幾何體的體積分成兩部分,部分圖如下：從左圖可知：剩下的體積分上下兩部分陰影的體積,下面陰影的體積為 V Sh,r 3,h 4,V 1 36；上面陰影的體積 V 是上面部分體積 V 的一半,即 V 2 1V ,V 與 V 的比為高的比

7、（同底） ,2即 V 3 3V ,V 2 3V 1 27,故總體積 V 0 V 2 V 1 63 . 2 4其次種體積求法：V 3 Sh 54,其余同上,故總體積V 0 V 2 V 1 63 . 【學(xué)問(wèn)拓展 】三視圖屬于高考必考點(diǎn),幾乎年年考三視圖,題型一般有五方面,1.求體積； 2.求面積（表面積,側(cè)面積等）；3.求棱長(zhǎng)； 4.視圖本質(zhì)考查（推斷視圖,綻開(kāi)圖,空間直角坐標(biāo)系視圖）； 5.視圖與球體綜合聯(lián)立,其中前三個(gè)方面考的較多 . 2 x 3 y 3 0【題目 5】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理 55.設(shè) x , y 滿(mǎn)意約束條件 2 x 3 y 3 0,就 z 2 x y 的最小值y 3 0是（

8、）A15 B9 C1 D 9【命題意圖 】此題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題,以考查考生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用為目的,屬于過(guò)渡中檔題 . 【解析 】解法一：常規(guī)解法2 x 3 y 3 0依據(jù)約束條件 2 x 3 y 3 0 畫(huà)出可行域（圖中陰影部分）, 作直線 l : 2 x y 0,平移直線 l ,y 3 0將直線平移到點(diǎn) A 處 Z 最小,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 6, 3 ,將點(diǎn) A 的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù) Z 2 x y ,可得 Z 15,即 Z min 15 . yl解法二：直接求法對(duì)于封閉的可行域,我們可以直接求三條直線的交點(diǎn),代入目標(biāo)函數(shù)中,三個(gè)數(shù)種選其最小的 2x+3y-3=0 C2x-3y+3

9、=0 為最小值即可,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 6, 3 ,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 6, 3 ,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 0,1 ,所求值分O x別為 15 9 1,故 Z min 15,Z max 9 .A y = -3 B解法三：隔板法第一 看約束條件方程的斜率約束條件方程的斜率分別為 22 0 ；3 3其次 排序依據(jù)坐標(biāo)系位置排序 2 0 2；3 3再次 看目標(biāo)函數(shù)的斜率和 y 前的系數(shù)看目標(biāo)函數(shù)的斜率和 y 前的系數(shù)分別為 2 1；最終 畫(huà)初始位置,跳格,找到最小值點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的斜率在 2 ,0 之間,即為初始位置,y 前的系數(shù)為正,就按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),第一格為3最大值點(diǎn),即 2 2,其次個(gè)格為最小值點(diǎn),即 0,

10、2,只需解斜率為 0 和2 這兩條線的交點(diǎn)3 3 3 3即可,其實(shí)就是點(diǎn) A ,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 6, 3 ,將點(diǎn) A 的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù) Z 2 x y ,可得 Z 15,即 Z min 15 . 【學(xué)問(wèn)拓展 】線性規(guī)劃屬于不等式范疇,是高考必考考點(diǎn),?？疾閿?shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合才能,一般變化只在兩個(gè)方向變化,1.約束條件的變化；2.目標(biāo)函數(shù)的變化；約束條件變化從封閉程度方面變化,目標(biāo)函數(shù)就從方程的幾何意義上變化,但此題型屬于高考熱點(diǎn)題型（已知封閉的約束條件,求已知的二元一次方程目標(biāo)函數(shù)）即可 . ,此題型屬于過(guò)渡中檔題,只需多積存各題型解決的方法【題目 6】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理 66.支配 3

11、名理想者完成 4 項(xiàng)工作,每人至少完成 1 項(xiàng),每項(xiàng)工作由1 人完成,就不同的支配方式共有（）A12 種 B18 種 C24 種 D36 種【命題意圖 】此題主要考查基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,以考查考生的規(guī)律分析才能和運(yùn)算求解才能為主 . 【解析 】解法一：分組安排之分人第一分組3 A 36種可能,另外一組從三人在選調(diào)一人,有C1 33種可將三人分成兩組,一組為三個(gè)人,有能；其次排序2 A 22種可能；共計(jì)有36 種可能 . 兩組前后在排序,在對(duì)位找工作即可,有解法二：分組安排之分工作工作分成三份有C2 46種可能,在把三組工作分給3 個(gè)人有3 A 36可能,共計(jì)有36 種可能 .解法三：分組安排之

12、人與工作互動(dòng)先讓先個(gè)人個(gè)完成一項(xiàng)工作,有3 A 424種可能,剩下的一項(xiàng)工作在有3 人中一人完成有C1 33種可能,但由兩項(xiàng)工作人數(shù)相同,所以要除以2 A 22,共計(jì)有 36 種可能 .解法四：占位法其中必有一個(gè)完成兩項(xiàng)工作,選出此人,讓其先占位,即有 C 3 1C 4 218 中可能；剩下的兩項(xiàng)工作由剩下的兩個(gè)人去完成,即有 A 2 22 種可能,按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為 36 種可能 . 解法五：隔板法和環(huán)桌排列第一讓其環(huán)桌排列,在插兩個(gè)隔板,有C26種可能,在安排給3 人工作有3 A 36種可能,按分4步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36 種可能 . 【學(xué)問(wèn)拓展 】計(jì)數(shù)原理屬于必考考點(diǎn),常考題型有1

13、.排列組合； 2.二項(xiàng)式定理,幾乎二者是隔一年或隔兩年交互出題,排列組合這種排序問(wèn)題?？?已經(jīng)屬于高考常態(tài),利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)或求奇偶項(xiàng)和也已經(jīng)屬于高考常態(tài),特別是利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)更為突出 . 【題目 7】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理 77.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成果老師說(shuō)：你們四人中有 2 位優(yōu)秀, 2 位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成果,給乙看丙的成果,學(xué) 科&網(wǎng)給丁看甲的成果看后甲對(duì)大家說(shuō)：我仍是不知道我的成果依據(jù)以上信息,就（）A乙可以知道四人的成果 C乙、丁可以知道對(duì)方的成果B丁可以知道四人的成果 D乙、丁可以知道自己的成果【命題意圖 】此題考

14、查推理與證明的有關(guān)學(xué)問(wèn),考查考生推理論證才能 . 【解析 】解法一：假設(shè)法甲看乙丙成果,甲不知道自己的成果,那么乙丙成果中有一人為優(yōu),一人為良；乙已經(jīng)知道自己的成果要么良,要么優(yōu),丙同樣也是,當(dāng)乙看到丙的成果,肯定知道自己的成果,但是丙一定不知道自己的成果；而丁同學(xué)也知道自己的成果要么良,要么優(yōu),只有看到甲的成果,才能判斷自己的成果,丁同學(xué)也肯定知道自己的成果,故只有乙丁兩位同學(xué)知道自己的成果 . 解法二：選項(xiàng)代入法當(dāng)我們不知道如何下手 , 就從選項(xiàng)入手,一一假定成立,來(lái)驗(yàn)證我們的假設(shè)是否成立,略【學(xué)問(wèn)拓展 】推理與證明近兩年屬于熱點(diǎn)考題,2022 年的第 15 題（理）第 16 題（文）,今

15、年的理（ 7）文（ 9）,屬于創(chuàng)新題,突出新奇,但題的難度不大,需要考生冷靜的摸索,抓住主要學(xué)問(wèn)要點(diǎn),從而能夠快速做題,屬于中檔題. a1,就輸出的 S（）【題目 8】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理88.執(zhí)行右面的程序框圖,假如輸入的A2 B3 C4 D5 【命題意圖 】此題考查程序框圖的學(xué)問(wèn),意在考查考生對(duì)循環(huán)結(jié)構(gòu)的懂得與應(yīng)用. 【解析 】解法一：常規(guī)解法S 00,K01,a 01, SSa K , a7a ,執(zhí)行第一次循環(huán)：S 11a 11K12；執(zhí)行其次次循環(huán)：S 21a21K23；執(zhí)行第三次循環(huán)：S 32a 31S 42a41K45；執(zhí)行第五次循環(huán)：S 53K34；執(zhí)行第四次循環(huán)：a 51S

16、63a 61K6；當(dāng)K676時(shí),終止循環(huán),輸K56；執(zhí)行第五次循環(huán)：出S 63,故輸出值為3.解法二：數(shù)列法S nS n111nn ,Kn6n1,裂項(xiàng)相消可得S nS 1i n31ii ；執(zhí)行第一次循環(huán)：,故輸出2i 24564,即S 63S 11,當(dāng)Kn時(shí),n6即可終止,S 612a 11K值為 3. 【題目9】 2022新課標(biāo)全國(guó)卷理99.如雙曲線C:x2y21（a0,b0）的一條漸近線被圓a2b2x22y24所截得的弦長(zhǎng)為2,就 C 的離心率為（）. A2 B3C2D2 3 3【命題意圖 】主要考查雙曲線的性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系,意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想【解析 】解法一：常規(guī)解法依

17、據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線方程為yb ax,依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到2. 漸進(jìn)線的距離為3 , 圓心到漸近線的距離為2b2,即12b23,解得eaa1bbaa解法二：待定系數(shù)法設(shè)漸進(jìn)線的方程為 y kx,依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到漸進(jìn)線的距離為 3 ,2 k 2 k 2 圓心到漸近線的距離為2,即2 3,解得 k 3；由于漸近線的斜率與離心率1 k 1 k關(guān)系為 k 2e 21,解得 e 2 . 解法三：幾何法從題意可知：OAOO 1O A2,OO A 為e2. 等邊三角形,所以一條漸近線的傾斜較為3,由于ktan,可得k3,1,解得漸近線的斜率與離心率關(guān)系為k22 e解

18、法四：坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化法依據(jù)圓的直角坐標(biāo)系方程：x22y24,可得極坐標(biāo)方程4cos,由 4cos2可得極角3,從上圖可知：漸近線的傾斜角與圓的極坐標(biāo)方程中的極角相等,所以k3,漸近線的斜率與離心率關(guān)系為k22 e1,解得e2. 解法五：參數(shù)法之直線參數(shù)方程如上圖,依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線方程為ybx,可以表示點(diǎn)A 的坐標(biāo)為2cos,2sin,acosa, sinb 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為2a,2 b,代入圓方程中,cccc解得e2. 【學(xué)問(wèn)拓展 】雙曲線已成為高考必考的圓錐曲線內(nèi)容（理科）,一般與三角形直線與圓向量相結(jié)合,屬于中檔偏上的題,但隨著二卷回來(lái)基礎(chǔ)的趨勢(shì),圓錐曲線小題雖然處于中檔題偏上

19、位置,但難度逐年下降. 1010.已知直三棱柱C）11 C 中,C120o,2,【題目 10】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理CCC11,就異面直線1與C 所成角的余弦值為（A3B15C10D3 3255【命題意圖 】此題考查立體幾何中的異面直線角度的求解,意在考查考生的空間想象才能【解析 】解法一：常規(guī)解法在邊BB B C A B AB 上分別取中點(diǎn)E F G H ,并相互連接 . 由三角形中位線定理和平行線平移功能,異面直線 AB 和 BC 所成的夾角為 FEG或其補(bǔ)角,通過(guò)幾何關(guān)系求得 EF 2,FG 5,2 211FH,利用余弦定理可求得異面直線210AB 和 BC 所成的夾角余弦值為 .5解法

20、二：補(bǔ)形通過(guò)補(bǔ)形之后可知：BC D 或其補(bǔ)角為異面直線 AB 和 BC 所成的角,通過(guò)幾何關(guān)系可知：BC 1 2,C D 5,BD 3,由勾股定理或余弦定理可得異面直線 AB 和 BC 所成的夾角余弦值為 10.5解法三：建系解法四：投影平移- 三垂線定理建立如左圖的空間直角坐標(biāo)系,A0,2,1,B 10,0,0,B0,0,1,C13,1,022uuuur BC 13,1, 1,uuur B A0,2,122cosuuur uuuurB A BC 1uuur uuuurB A BC 1522105設(shè)異面直線AB 和BC 所成的夾角為3利用三垂線定理可知：異面直線AB 和BC 所成的夾角余弦值為

21、10.5【學(xué)問(wèn)拓展 】立體幾何位置關(guān)系中角度問(wèn)題始終是理科的熱點(diǎn)問(wèn)題,也是高頻考點(diǎn),證明的方法大體有兩個(gè)方向：1.幾何法； 2.建系；幾何法步驟簡(jiǎn)潔,但不易想到；建系簡(jiǎn)潔想到,但運(yùn)算量偏大,平常復(fù)習(xí)應(yīng)留意各方法優(yōu)勢(shì)和不足,做到胸有成竹,方能事半功倍 . 【題目 11】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理1111.如x2是函數(shù)f x x2ax1 ex1的極值點(diǎn),就f x 的微小值為（）B.2e3D.1 C. 5e3A.1【命題意圖 】此題主要考查導(dǎo)數(shù)的極值概念及其極大值與微小值判定條件,意在考查考生的運(yùn)算求解才能 . 【解析 】解法一：常規(guī)解法fxx2ax1x e1 導(dǎo)函數(shù)fxx2a2xa1x e1f20a1

22、0 + 導(dǎo)函數(shù)fxx2x2ex1令fx0,x 12,x 11當(dāng) x 變化時(shí),fx , fx 隨變化情形如下表：+ 0 - 從上表可知：微小值為極大值1. 微小值f1【學(xué)問(wèn)拓展 】導(dǎo)數(shù)是高考重點(diǎn)考查的對(duì)象,極值點(diǎn)的問(wèn)題是特別重要考點(diǎn)之一,大題小題都會(huì)考查,屬于壓軸題,但難度在逐年降低. ABC 是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形, P 為平面 ABC內(nèi)一點(diǎn),【題目 12】2022 新課標(biāo)全國(guó)卷理1212.已知就uuur PAuuur PBuuur PC的最小值是（）C. 4D. 1A. 2B.323【命題意圖 】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及平面對(duì)量的線性運(yùn)算數(shù)量積,意在考查考生轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解

23、才能【解析 】解法一：建系法連接 OP ,uuur OA0, 3,uuur OB1,0,uuur OC31,0. uuur PCuuur PBx,y3x ,yuuur 2 PO,uuur uuurPO PAuuur uuurPO PA23x2y23y2 xy24uuur uuurPO PA3,uuur PAuuur PCuuur PB2uuur uuurPO PA342最小值為32解法二：均值法uuur PCuuur PB2uuur PO,uuur PAuuur PCuuur PB2uuur uuurPO PA2uuur PO22uuur uuurPA PO由上圖可知：uuur OAuuur

24、PAuuur PO；兩邊平方可得3uuur PAuuur PA2uuur PO22uuur uuurPA PO,2uuur uuurPO PA32uuur PAuuur PCuuur PB2uuur uuurPO PA3,最小值為322解法三：配湊法uuur PCuuur PB2uuur PO2uuur uuurPO PAuuur POuuur PA22uuur POuuur PA2uuur POuuur PA2uuur AO23uuur PAuuur PCuuur PB22最小值為32【學(xué)問(wèn)拓展 】三角形與向量結(jié)合的題屬于高考經(jīng)典題,一般在壓軸題顯現(xiàn),解決此類(lèi)問(wèn)題的通法就是建系法,比較直接,

25、易想,但有時(shí)運(yùn)算量偏大 .二、填空題：此題共 4 小題,每道題 5 分,共 20 分；【題目 13】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理 1313.一批產(chǎn)品的二等品率為 0.02 ,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取 100次,表示抽到的二等品件數(shù),就 D【命題意圖 】此題考查二項(xiàng)分布概念及其數(shù)字特點(diǎn),意在考查同學(xué)的運(yùn)算求解才能 . 【解析 】解法一：一般解法隨機(jī)變量X B100,0.02,D Xnp1p1.96【學(xué)問(wèn)拓展 】離散型隨機(jī)變量是高考考點(diǎn)之一,隨機(jī)變量分布是熱點(diǎn)話題,正態(tài)分布和二項(xiàng)分布都以小題顯現(xiàn),且在基礎(chǔ)題位置,難度較低,在平常復(fù)習(xí)時(shí)不宜討論難題3 cosx. 3（x0,2）的最大值【題

26、目14】2022 新課標(biāo)全國(guó)卷理1414.函數(shù)fxsin2x4是【命題意圖 】此題考查三角函數(shù)同角基本關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)最值,意在考查考生轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解才能【解析 】解法一：換元法fxsin2x3cosx3x0,2,sin2x2 cosx14fx2 cosx3 cosx111） 2022 年和 2022 廣西卷均顯現(xiàn)此10,就4設(shè)tcosx ,t0,1,fxt23 t14函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為t30,1,fxmax12【學(xué)問(wèn)拓展 】此類(lèi)問(wèn)題屬于熱點(diǎn)題型,2022 年二卷（文題型,解決方法相同,但二卷近幾年不會(huì)再出了. a n的前 n 項(xiàng)和為S ,a 33,S 4【題目15】 2022新課標(biāo)全國(guó)卷理

27、1515. 等差數(shù)列n11kS k【命題意圖 】此題主要考查等差數(shù)列通向公式【解析 】解法一：常規(guī)解法a 及其前 n 項(xiàng)和以及疊加法求和,S 410,a 2a 3a 1a 4,a2a 35n11nN 這個(gè)條件,此處屬于a 33,a22annS nn a 1a nS n21121212n nS nn nnin12 1n112 n11S nnin12 n1,nN1S nn【學(xué)問(wèn)拓展 】此題不難,屬于考查基礎(chǔ)概念,但有一部分考生會(huì)丟掉易錯(cuò)點(diǎn) . 【題目 16】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理1616.已知 F是拋物線 C:y28x 的焦點(diǎn),是 C 上一點(diǎn), F的延長(zhǎng)線交 y 軸于點(diǎn)如為 F的中點(diǎn),就F【命題意

28、圖 】此題主要考查拋物線的定義及直線與拋物線的位置關(guān)系,意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想運(yùn)算求解的才能【解析 】解法一：幾何法 點(diǎn) M 為線段 NF 的中點(diǎn)xM1M23MFxNF 2 MF 6【學(xué)問(wèn)拓展 】此題從拋物線定義入手,定比分點(diǎn)求坐標(biāo),這是基礎(chǔ)概念題,課本習(xí)題常有練習(xí) .三、解答題：共 70 分；解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟；第 1721 題為必做題,每個(gè)試題考生都必需作答；第 22、23 題為選考題,考生依據(jù)要求作答；（一）必考題：共 60 分；【題目 17】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理 1717.（12 分）2 BABC的內(nèi)角 A B C 的對(duì)邊分別為 a b c ,已知 sin

29、A C 8sin21求 cosB2如 a c 6 , ABC 面積為 2,求 .【命題意圖】此題考查三角恒等變形,解三角形【試題分析】在第（）中,利用三角形內(nèi)角和定理可知ACB ,將sinAC8sin2B轉(zhuǎn)化2為角 B 的方程,思維方向有兩個(gè)：利用降冪公式化簡(jiǎn)sin2B ,結(jié)合 2sin2B2 cosB1求出 cosB ； .在第（）中,利用二倍角公式,化簡(jiǎn)sinB8sin2B,兩邊約去sin B ,求得 2tan B ,進(jìn)而求得 2cosB2利用（）中結(jié)論,利用勾股定理和面積公式求出ac、ac,從而求出 b （）【基本解法1】2sinBcosB8sin2B, 又sin B 20, 所 以由題

30、設(shè)及ABC,sinB8sin2 B,故2上式兩邊平方,整理得2 17cos B-32cosB+15=0解得cosB=1（舍去）,cosB=1517【基本解法2】由 題 設(shè) 及ABC,sinB8sin2B, 所 以2222tan B 21,cos B12 tanB152 B412 tanB4ac172（）由cosB=15得sin B8,故SABC1a sin1717217又SABC=2,就ac172由余弦定理及 ac6得所以 b=2 【學(xué)問(wèn)拓展】解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn),命題大多放在解答題的第一題,主要利用三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理、三角形面積公式等學(xué)問(wèn)解題,解題時(shí)要敏捷利用三角形的邊角

31、關(guān)系進(jìn)行“ 邊轉(zhuǎn)角”“ 角轉(zhuǎn)邊” ,另外要留意ac ac a22 c 三者的關(guān)系,這樣的題目小而活,備受老師和同學(xué)的歡迎【題目 18】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理 1818.（12 分）淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比學(xué) | 科網(wǎng),收成時(shí)各隨機(jī)抽取了 100 個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率直方圖如下：（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記 A 表示大事：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于 50kg,估量 A 的概率；（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并依據(jù)列聯(lián)表判定是否有 99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量 50kg 箱產(chǎn)量 50kg舊養(yǎng)殖

32、法新養(yǎng)殖法（3）依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估量值（精確到 0.01）【命題意圖】概率統(tǒng)計(jì) , 獨(dú)立檢驗(yàn)等學(xué)問(wèn)的綜合運(yùn)用【基本解法】（）舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50kg 的頻率為 0.012 5+0.014 5+0.024 5+0.034 5+0.040 5=0.62,由于兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,于是 P（A） =0.62 0.66=0.4092（）舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg 的有 100 0.62=62 箱,不低于50kg 的有 38 箱,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于 50kg 的有 100 0.66=66 箱,低于 50kg 的有 34 箱,得到 2 2 列聯(lián)表如

33、下：舊養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量 0.50,不低于 55kg 的頻率為 0.046 5+0.010 5+0.008 5=0.320.50,于是新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)介于50kg 到 55kg 之間,設(shè)新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)為x,就有（55-x） 0.068+0.046 5+0.010 5+0.008 5=0.50 解得 x=52. 3529 因此,新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估量值 52. 35；【學(xué)問(wèn)拓展】第一,先表示大事,再寫(xiě)出其發(fā)生的概率,將未知大事用已知大事表示,依據(jù)大事間的關(guān)系,求出未知大事的概率.統(tǒng)計(jì)的基本原理是用樣本估量總體.獨(dú)立性檢驗(yàn), 先填 2*2 列聯(lián)表, 再運(yùn)算,與參考值比較,作出結(jié)論；中

34、位數(shù)的運(yùn)算要依據(jù)中位數(shù)以左其頻率和為50%.求面積和運(yùn)算頻率. 【題目 19】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理1919.（12 分）如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面 PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD,AB BC 1 AD ,2（1）證明：直線 CEBADABCo 90 ,E是 PD 的中點(diǎn) . / /平面 PAB（2）點(diǎn) M 在棱 PC 上,且直線BM 與底面 ABCD所成銳角為45o,求二面角M-AB-D 的余弦值【命題意圖】線面平行的判定,線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì),線面角、二面角的求解【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明略；（ 2）105【基本解法 1】（1）證明：取 PA 中點(diǎn)為 F ,連接 EF

35、、 AF由于 BAD ABC 90,BC 1 AD 所以 BC 1AD2 2由于 E 是 PD 的中點(diǎn),所以 EF 1AD ,所以 EF BC2所以四邊形 EFBC 為平行四邊形,所以 EC / / BF由于 BF 平面 PAB , EC 平面 PAB所以直線 CE / / 平面 PAB（2）取 AD 中點(diǎn)為 O,連接 OC、OP由于PAD為等邊三角形,所以 PO AD由于平面 PAD 平面 ABCD ,平面 PAD I 平面 ABCD AD , PO 平面 PAD所以 PO 平面 ABCD由于 AO BC ,所以四邊形 OABC為平行四邊形,所以 AB / / OC所以 OC AD以 OC

36、OD OP 分別為 x y z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖uuur設(shè) BC 1,就 P 0,0, 3, A 0, 1,0, B 1, 1,0, C 1,0,0,所以 PC 1,0, 3uuuur uuur設(shè) M , x y z ,就 PM , , x y z 3,AB 1,0,0uuuur uuur由于點(diǎn) M 在棱 PC 上,所以 PM PC 0 1,即 , x y z 3 1,0, 3uuuur所以 M ,0, 3 3 ,所以 BM 1,1, 3 3 r平面 ABCD 的法向量為 n 0,0,1由于直線 BM 與底面 ABCD所成角為 45 ,uuuur r所以 | sin 45 | | co

37、s uuuur rBM n | | uuuur BM n r | | 3 3 | 2| BM | n | 1 21 2 3 3 21 2解得 1 2,所以 uuuurBM 2,1, 62 2 2 uuur urur AB m x 0設(shè)平面 MAB 的法向量為 m , , ,就 uuuur ur 2 6BM m x y z 02 2令 z 1,就 urm 0, 6,1ur r 2所以 cos m n ur rur m n uur 1 10| m | | n | 6 2 2 5 12所以求二面角 M AB D 的余弦值 105【基本解法 2】（1）證明：取 AD 中點(diǎn)為 O ,連接 OC、OE由于

38、 BAD ABC 90,BC 1AD 所以 BC 1AD ,即 BC AO2 2所以四邊形 OABC為平行四邊形,所以 OC / / AB由于 AB 平面 PAB , OC 平面 PAB所以直線 OC / / 平面 PAB由于 E 是 PD 的中點(diǎn),所以 OE / / PA由于 PAI平面 PAB, OE PA / / 平面 PAB平面 PAB所以直線OCE/ /平面 PAB由于 PAABA,所以平面由于 CE 所以直線平面 PAB CE / / 平面 PAB（2）同上【學(xué)問(wèn)拓展】線面平行的證明一般有兩個(gè)方向,線面平行的判定或面面平行的性質(zhì)；角的求解多借助空間直角坐標(biāo)系,需要留意兩個(gè)問(wèn)題：（1

39、）題中沒(méi)有現(xiàn)成的三條線兩兩垂直,需要先證明后建系；（2）ur r m n是指兩個(gè)法向量的夾角,與二面角相等或互補(bǔ),需要觀看所求二面角是銳二面角仍是鈍二面角【題目 20】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理2020. （ 12 分）2uuuur NM. 2 設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn), 動(dòng)點(diǎn) M 在橢圓 C：x2y21上,過(guò) M 做 x 軸的垂線,垂足為 N,點(diǎn) P 滿(mǎn)意uuur NP1 求點(diǎn) P 的軌跡方程；2 設(shè)點(diǎn) Q 在直線 x=-3 上,且uuur uuur OP PQ1.證明：過(guò)點(diǎn)P 且垂直于 OQ 的直線 l 過(guò) C的左焦點(diǎn) F. 【命題意圖】橢圓,定值問(wèn)題的探究；運(yùn)算求解才能【基本解法】（）解法一：相關(guān)

40、點(diǎn)法求軌跡：xx 0,y,uuuur NM0,y 0. 設(shè)Mx 0,y 0,N x 0,0,P x y ,就：uuur NP又uuur NP2uuuur NM, 所以：xx 0,y2 0,y 0,就：xx 0,y2y . 0又Mx 0,y 0在橢圓 C上,所以：x 02y021；2所以：x2y22. 解法二：橢圓 C的參數(shù)方程為：x2 cos（為參數(shù)） . y 1,就：x2 cos ,y2 sin. 2 sin,ysin設(shè)M2 cos ,sin,N2 cos ,0,P x y ,就：uuur NPx2 cos ,y,uuuur NM0,sin. 又uuur NP2uuuur NM, 所以：x2

41、 cos ,y2 0,sin,F就：x2y22. , 就uuur OP1,02 cos ,（ ） 解 法 一 ： 設(shè)P2 cos ,2 sin,Q3,uuur OQ3,y 1,uuur PQ32 cos ,y12 sin,uuur PF12 cos ,2 sin. . 2sin21又uuur uuur OP PQ1, 所以：32cos , y 12sin13 2 cos2cos22y 1sin2 cos ,2 sin即：3 2cos2y 1sin3.3, y33 2 cos2 sin0那么：uuur uuur PF OQ12 cos ,2 sinuuur 所以： PFuuur OQ. 即過(guò) P

42、 垂直于 OQ 的直線 l 過(guò)橢圓 C的左焦點(diǎn) F ；解法二：設(shè)P x y 1 1,Q3,y 2,F21,0, 就uuur OP1x y 1uuur,OQ3,y2,uuur PQ3x y 2y 1,uuur PF1x 1,y 1. 3 x 1x 1y y22 y 1. 又uuur uuur OP PQ1, 所以：x y 13x y 2y 1. 又P x y 1在x2y22上,所以：3x 1y y23又uuur uuur PF OQ1x 1,y 13,y 233 x 1y y 20. uuur 所以： PFuuur OQ. 即過(guò) P 垂直于 OQ 的直線 l 過(guò)橢圓 C的左焦點(diǎn) F ；【題目 2

43、1】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理f2121.（12 分）已知函數(shù)f x ax2axxlnx 且 0. （1）求 a；（2）證明：f x 存在唯獨(dú)的極大值點(diǎn)x ,且e2f x022. 【命題意圖】此題考查函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【基本解法】 1法一 . 由題知：f x x axalnxx0,且f x 0,所以：a x1lnx0. ；當(dāng)x1,時(shí),alnx 1；lnx即當(dāng)x0,1時(shí),ax1x當(dāng)x1時(shí),a x1lnx0成立 . 令g xx1 lnx,gx11x1,當(dāng)x0,1時(shí),gx0,1；xxg x 遞減 ,g xg1xlnx,即：ln xx 11.所以：a0,所以：1當(dāng)x1,時(shí),gx0,x1lnx,即：ln

44、 xx 11.所以：a1；g x 遞增 ,g xg10,所以：綜上：a1. 法二 .洛必達(dá)法就由題知：f x x axalnxx0,且f x 0,lim x 11. 1.所以：a x1lnx0. 即當(dāng)x0,1時(shí),alnx；當(dāng)x1,時(shí),alnx；x1x1當(dāng)x1時(shí),a x1lnx0成立 . 令g xlnx,gx1xx12lnx11lnx. xxx1112x令h x11lnx,hx1112 xx. xx2x當(dāng)x0,1時(shí),hx0, h x 遞增,h xh10；所以gx0, g x 遞減,g xlim x 1lnxlim x 1lnxx1 x1x所以：a1；lim x 111.當(dāng)x1,時(shí),hx0, h

45、x 遞減,h xh10；所以gx0, g x 遞減,g xlim x 1lnxlim x 1lnxx1x1 x所以：a1；x . 0故：a1. （1）由1知：f x x x1lnx ,fx2x2ln設(shè)x2x2lnx ,就x21x. x當(dāng)x1 0, 2時(shí),x0；當(dāng)x1 , 2時(shí),所以 x 在 0, 12 遞減,在 1 ,2 遞增 . 又 e 20,12 0,1 0 ,所以 x 在 0, 12 有唯獨(dú)零點(diǎn) 0 x,在 1 ,2 有唯獨(dú)零點(diǎn) 1,且當(dāng) x 0, x 0 時(shí),x 0；當(dāng) x x 0,1 時(shí),x 0；當(dāng) x 1, 時(shí),x 0 . 又 f x x ,所以 x x 是 f x 的唯獨(dú)極大值點(diǎn) . 由 f x 0 0 得 ln x 0 2 x 0 1,故 f x 0 x 0 1 x 0 . 由 x 0 0,1 得 f x 0 14 . 由于 x x 是 f x 在 0,1 的唯獨(dú)極大值點(diǎn),由 e 1 0,1,f e 10 得2 2所以 e f x 0 2.（二）選考題：共 10 分；請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答；假如多做,按所做的第一題計(jì)分；【題目 22】2022新課標(biāo)全國(guó)卷理 2222.選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （10 分）在直角坐標(biāo)系 xOy