微積分無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 8.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念和基本性質(zhì) 8.2 8.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù),絕對(duì)收斂 8.4 冪級(jí)數(shù) 1一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念8.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念和基本性質(zhì) 給定一個(gè)數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1u2u3 un 其中第n項(xiàng)un叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng). 叫做無(wú)窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù).2稱為級(jí)數(shù), 其中第n項(xiàng)un叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng). 表達(dá)式級(jí)數(shù)舉例: 級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式備注一般項(xiàng)簡(jiǎn)寫(xiě)形式調(diào)和級(jí)數(shù) 等比級(jí)數(shù)aqn-1幾何級(jí)數(shù)p級(jí)數(shù) 3級(jí)數(shù)的部分和: 級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和 級(jí)數(shù)斂散性定義: 4余項(xiàng): rnssnun1un2 例1 證明級(jí)數(shù) 123 n 是發(fā)散的. 證 此級(jí)數(shù)

2、的部分和為 5如果q1, 則部分和 解:(3)當(dāng)q=-1時(shí), 因?yàn)閟n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)等于a ；當(dāng)n為偶數(shù)例2 時(shí)等于零。 (1)(2)6解:因?yàn)樘崾? 例3 因此，當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散.7級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 證: 注意: (1)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件, 不能因?yàn)橐话沩?xiàng)趨于零就斷定級(jí)數(shù)收斂. （2）判斷級(jí)數(shù)斂散時(shí)應(yīng)首先驗(yàn)證是否滿足收斂的必要條件. 推論:如果則級(jí)數(shù)必發(fā)散. 定理1 如果收斂,則8證:但另一方面, 解:因?yàn)樗约?jí)數(shù)發(fā)散。例4 判斷級(jí)數(shù)的斂散性。例5 證明調(diào)和級(jí)數(shù)nn11=是發(fā)散的.9無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)110無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)sn、sn、tn, 則 性質(zhì)1 性

3、質(zhì)211無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)3 在一個(gè)級(jí)數(shù)的前面加上、去掉或改變有限項(xiàng), 級(jí)數(shù)的斂散性不變. 性質(zhì)1 性質(zhì)212 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)收斂, 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問(wèn)題: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂, 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂. 例如, 級(jí)數(shù)(11)+(11) + 收斂, 但級(jí)數(shù)1-11-1 卻是發(fā)散的. 性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 在一個(gè)級(jí)數(shù)的前面加上、去掉或改變有限項(xiàng), 級(jí)數(shù)的斂散性不變. 13 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)推論 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)收斂, 則對(duì)這級(jí)數(shù)

4、的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂, 且其和不變. 性質(zhì)3 在一個(gè)級(jí)數(shù)的前面加上、去掉或改變有限項(xiàng), 級(jí)數(shù)的斂散性不變. 14正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有上界. 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù) 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 這是因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列sn是單調(diào)增加的, 而單調(diào)有界數(shù)列是有極限的. 定理1(正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件) 8.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法15定理2(比較判別法) 推論: 16例1 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性.解:(1) 因?yàn)?2) 而且收斂.所以，由比較判別法可知，級(jí)數(shù)收斂.而且發(fā)散.所以，由比較判別法可知，級(jí)數(shù)發(fā)散.17 解 定理2(比較判別法) 設(shè)un和vn

5、都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unkvn(k0, nN). 若級(jí)數(shù)vn收斂, 則級(jí)數(shù)un收斂; 若級(jí)數(shù)un發(fā)散, 則級(jí)數(shù)vn發(fā)散. 例2討論p級(jí)數(shù))0(11=pnpn的收斂性.所以 當(dāng)18p級(jí)數(shù))0(11=pnpn的收斂性：即當(dāng)p1時(shí)收斂；當(dāng)p1時(shí)發(fā)散.故該級(jí)數(shù)收斂.例如是的級(jí)數(shù)，19定理3. (比較法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) A = 0 (3) 當(dāng) A = 設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 A 時(shí),20的斂散性. 例4. 判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知21 (2)當(dāng)r 1(或)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 定理4(比值判別法) 用法：常判別含有因子或、的級(jí)數(shù)斂散性。設(shè)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),則

6、如果(1)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(3)當(dāng)r1時(shí)，比值判別法不能用.22 解:所以 根據(jù)比值判別法可知所給級(jí)數(shù)收斂 例3 證明級(jí)數(shù)是收斂的 23所以 根據(jù)比值判別法可知所給級(jí)數(shù)收斂 解 所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散. 解 例4 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為它發(fā)散. 例5 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.24 解:因?yàn)?例6 判斷級(jí)數(shù)的斂散性. 所以 而級(jí)數(shù) 滿足 因此級(jí)數(shù) 收斂,從而級(jí)數(shù)收斂25 (2)當(dāng)r 1(或r)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 定理5(根值判別法) 用法：常判別含有因子或的級(jí)數(shù)斂散性。設(shè)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),則如果(1)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(3)當(dāng)r1時(shí)，根值判別法不能用.26 解:因?yàn)?例7 判斷級(jí)數(shù)的斂散

7、性. 所以 (1)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)當(dāng)時(shí),有所以當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.278.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù),絕對(duì)收斂一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定義 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 定理1(萊布尼茲定理) (1)unun1(n1 2 3 ) 則級(jí)數(shù)收斂 且其和su1 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|un1 28這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù). 解:由萊布尼茨定理, 級(jí)數(shù)是收斂的, 且其和su11,則級(jí)數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|un1. 定理1(萊布尼茲定理) 因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足 例129二、絕對(duì)收斂與條件收斂 例如: 若級(jí)數(shù)=1|nnu收斂,則稱級(jí)數(shù)=1nnu絕對(duì)收斂;收斂,而級(jí)數(shù)=

8、1|nnu發(fā)散,則稱級(jí)=1nnu條件收斂.若級(jí)數(shù)=1nnu30三、絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系 定理2 應(yīng)注意的問(wèn)題 =1nnu=1nnu如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù)必定收斂. 例2 解 31定理3 解 例3 判別級(jí)數(shù)的收斂性.所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)如果則 （1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.32 解 所以,當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂； 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散. 例4 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為它收斂. 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為它發(fā)散. 33 8.4 冪級(jí)數(shù) 形如 a0a1xa2x2 anxn 的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù), 其中常數(shù)ai(i=1,2, )叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 冪級(jí)數(shù)1xx2x3 xn , 冪級(jí)數(shù)舉例

9、: 說(shuō)明: 冪級(jí)數(shù)的一般形式是 a0a1(x-x0)a2(x-x0)2 an(x-x0)n . 這種形式經(jīng)變換t=x-x0可化為上述定義形式.34 冪級(jí)數(shù) 1xx2x3 xn 是公比為x的幾何級(jí)數(shù). 因此它的收斂域?yàn)?-1, 1), 它在|x|1時(shí)收斂, 在|x|1時(shí)發(fā)散. 在收斂域內(nèi)有 冪級(jí)數(shù)舉例: 35 如果冪級(jí)數(shù)anxn當(dāng)xx0(x00)時(shí)收斂, 則適合不等式|x|x0|的一切x使冪級(jí)數(shù)anxn發(fā)散. 注:|x|x0|x|x0|定理1 anxn是冪級(jí)數(shù)的簡(jiǎn)記形式.36 如果冪級(jí)數(shù)anxn不是僅在點(diǎn)x0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|

10、R時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)xR與xR時(shí), 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間 推論 正數(shù)R通常叫做冪級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑. 從R到 R的區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)anxn的收斂區(qū)間 注: 若冪級(jí)數(shù)只在x0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R0; 若冪級(jí)數(shù)在(, )內(nèi)收斂, 則規(guī)定收斂半徑R. 37定理2(收斂半徑的求法) 解:因?yàn)?38解: 因?yàn)?所以收斂半徑為R, 從而收斂域?yàn)?, ).因此, 收斂域?yàn)?1, 1. 39解: 因?yàn)?所以收斂半徑為R0, 即級(jí)數(shù)僅在x0處收斂.40 注:此級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 前述求收斂半徑的方法不能直接應(yīng)用.解: 這種缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)一般用比值審斂法來(lái)求收斂半徑. 因?yàn)樗援?dāng)

11、4|x|21即|x|1即|x|時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,41解: 所以收斂半徑R2. 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?, 3). 即2x12, 或1x3, 因此收斂域?yàn)?t2, 42冪級(jí)數(shù)的性質(zhì): 設(shè)冪級(jí)數(shù)anxn及bnxn分別在區(qū)間(R1, R1)及(R2, R2)內(nèi)收斂, 則在(R1, R1)與(R2, R2)中較小的區(qū)間內(nèi)有減法: 加法: =(an-bn)xn. =(an+bn)xn, anxn-bnxn anxn+bnxn 43 性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在收斂域I上連續(xù) 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì) 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑 性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積 并且有逐項(xiàng)積分公式 性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(R R)內(nèi)可導(dǎo) 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式逐項(xiàng)求導(dǎo)后