數(shù)理方程第四章 格林函數(shù)法

1、關(guān)于數(shù)理方程第四章 格林函數(shù)法第一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20221格林函數(shù)又稱為點(diǎn)源函數(shù)或影響函數(shù)。顧名思義，它表示一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和(或)初值條件下所產(chǎn)生的場或影響。由于任意分布的源所產(chǎn)生的場均可看成許許多多點(diǎn)源產(chǎn)生的場的疊加，因此格林函數(shù)一旦求出，就可算出任意源的場。格林函數(shù)法以統(tǒng)一的方式處理各類數(shù)學(xué)物理方程，既可以研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齊次方程又可以研究非齊次方程；既可以研究有界問題，又可以研究無界問題。它的內(nèi)容十分豐富，應(yīng)用極其廣泛。這一章，我們主要介紹用格林函數(shù)求解拉普拉斯方程的邊值問題。第二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作

2、于2022年6月25.08.202224.1 格林公式及其應(yīng)用4.1.1 基本解對(duì)拉普拉斯方程, 其球坐標(biāo)形式為：(4.1.1)求方程(4.1.1)的球?qū)ΨQ解(即與和無關(guān)的解) ,則有： 其通解為： 為任意常數(shù))。 若取 ,則得到特解 ,稱此解為三維Laplace 方程的基本解,它在研究三維拉普拉斯方程中起著重要的作用.第三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20223對(duì)二維拉普拉斯方程 ,其極坐標(biāo)形式為:(4.1.2)求方程(4.1.2)的徑向?qū)ΨQ解(即與無關(guān)的解) ,則有： 其通解為： 為任意常數(shù))。 若取 , 則得到特解 , 稱此解為二維Laplace方程的基本解.第四

3、張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202244.1.2 格林公式由高斯公式 ,則得到格林第一公式： 令 將以上兩公式相減，得到格林第二公式： 調(diào)和函數(shù)：具有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)。第五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202254.1.3 調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式由Green公式可導(dǎo)出調(diào)和函數(shù)的積分表示。由于函數(shù)： 除在 點(diǎn)外處處滿足三維Laplace方程 ，于是有 定理：若函數(shù) 在 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在 內(nèi)調(diào)和，則 調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值可以通過積分表達(dá)式用這個(gè)函數(shù)在區(qū)域邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來表示。第六張，PPT共三十九頁

4、，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20226 若函數(shù) 在 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在 內(nèi)滿足Poisson方程 ，則同樣有 4.1.4 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1. 設(shè) 是區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，它在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中 的外法線方向。 是證明 只要在Green公式中取 即證。 注：此性質(zhì)表明調(diào)和函數(shù)的法向?qū)?shù)沿區(qū)域邊界的積分為零。對(duì)穩(wěn)定的溫度場，流入和流出物體界面的熱量相等，否則就不能保持熱的動(dòng)態(tài)平衡，而使溫度場不穩(wěn)定。 第七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20227 思考：Laplace方程N(yùn)eumann問題有解的必要條件是什么？性質(zhì)2 (平均值定理) 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)調(diào)

5、和，是 內(nèi)任意一點(diǎn)，若是以 為中心，a為半徑的球面，此球完全落在區(qū)域 的內(nèi)部，則有證明： 由調(diào)和函數(shù)的積分表示： 及由性質(zhì)1，有 第八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20228上式稱為調(diào)和函數(shù)的球面平均值公式。又因?yàn)?，?上有，所以 性質(zhì)3 (極值原理) 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)調(diào)和，它在上連續(xù)且不為常數(shù)，則它的最大值與最小值只能在邊界上達(dá)到。 推論1 設(shè)在 內(nèi)有在上連續(xù)且在邊界上有，則在內(nèi)有推論2 Dirichlet問題 的解是唯一的。第九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.20229第十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202210第十一

6、張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.2022114.2 格林函數(shù)由于調(diào)和函數(shù)有積分表示: 又因?yàn)镈irichlet邊值問題 的解唯一,故希望將此問題的解用積分表示出來。但由于在積分表達(dá)示中，u在邊界上的值雖然已知,而 在邊界上的值卻不知道.那么,能否作為邊界條件加上 的值呢？ 因?yàn)?此時(shí)的解已經(jīng)是唯一的了.那么只有想辦法去掉 為此，引入格林函數(shù)的概念。 顯然這是行不通的，(4.2.1)第十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202212格林函數(shù)的物理背景原點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量 ，點(diǎn)電荷密度處點(diǎn)電位即 處點(diǎn)電荷電量點(diǎn)電荷密度處點(diǎn)電位第十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作

7、于2022年6月25.08.2022134.2.1 格林函數(shù)的定義設(shè)在 內(nèi)有在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由格林第二公式有 (4.2.2)將（4.2.1）和 (4.2.2)兩式加起來： (4.2.3)選擇調(diào)和函數(shù)v滿足 ,于是有： (4.2.4)第十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202214記 (4.2.5)則有 (4.2.6)稱 為Laplace方程的格林函數(shù)。若上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)Dirichlet問題且在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在時(shí)，解可以表示為在(4.2.7)存在 第十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202215對(duì)Poisson方程的

8、Dirichlet問題 上存在具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解，則解可以如果在表示為由此可見,求解Dirichlet問題,關(guān)鍵是求Green函數(shù)(4.2.5),其中v滿足一個(gè)特殊的Dirichlet問題： (4.2.8)稱由函數(shù)v確定的格林函數(shù)為第一邊值問題的格林函數(shù)。第十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.2022164.2.2 格林函數(shù)的性質(zhì)1. 格林函數(shù)在除去點(diǎn) 外處處滿足 Laplace方程，當(dāng) 時(shí)，其階數(shù)與 相同。 2. 在邊界上，格林函數(shù)恒等于零：3. 在區(qū)域 內(nèi)成立不等式： （用極值原理證明） 4. （由格林第二公式證明） 5. 第十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于202

9、2年6月25.08.2022174.3 格林函數(shù)的應(yīng)用 用鏡象法求特殊區(qū)域上的函數(shù)。 4.3.1 上半空間內(nèi)的Green函數(shù)及Dirichlet問題 求解上半空間 內(nèi)的Dirichlet問題 先求上半空間 內(nèi)的Green函數(shù) （4.3.1） ，即求解問題 第十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202218 在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)關(guān)于邊界的象點(diǎn)，在這兩個(gè)點(diǎn)放置適當(dāng)?shù)碾姾?，這兩個(gè)電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個(gè)電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。第十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202219于是，半空間上的格林函數(shù)為(4.3.2)

10、從而，問題(4.3.1)的解可表示為: 由于平面z=0上的外法線方向即oz軸的負(fù)向,所以 即 所以，問題(4.3.1)的解為: 第二十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202220例2 求解下列定解問題解：第二十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.2022214.3.2 球域上的Green函數(shù)及Dirichlet問題 其中， （4.3.3） ，即求解問題 求解球域上的Dirichlet問題 是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為球心，R為半徑的球域。 先求球域上的Green函數(shù)第二十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202222第二十三張，PPT共三十九

11、頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202223球內(nèi)的格林函數(shù) M0點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量 ，M1點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量 第二十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202224第二十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202225從而，問題(4.3.3)的解可表示為： 因其中是與的夾角，于是： （4.3.4） 此公式稱為球域上的泊松積分公式。如果用球坐標(biāo)表示，則有 （4.3.5） 其中 是點(diǎn) 的球坐標(biāo)， 是 上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)， 第二十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202226是與的夾角。由于 所以 (4.3.6) 第二十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作

12、于2022年6月25.08.202227例1. 設(shè)有一半徑為R的均勻球，上半球面的溫度保持為 。求球內(nèi)溫度的穩(wěn)定分布。 下半球面的溫度保持為 解：考慮定解問題 由球域上的泊松積分公式(4.3.5)，得 第二十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202228由于此積分的計(jì)算很困難，下面我們只考慮一些特殊位置的溫度分布。比如，求溫度在球的鉛垂直徑 （直徑的上半部）和（直徑的下半部分）上的分布。 當(dāng) 時(shí)， (見(4.3.6)式)，故有： 第二十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202229當(dāng) 時(shí)， ,故有 在以上兩個(gè)公式中，當(dāng) 時(shí)，球的溫度為 . 第三十張，

13、PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.2022304.3.3 四分之一空間的格林函數(shù) 第三十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.2022314.4 試探法及Poisson方程的求解 4.4.1 試探法 對(duì)某些定解問題,根據(jù)問題的物理意義和幾何特征，可假設(shè)解具有某種特殊形式，將這種形式的解代入方程進(jìn)行試探直至求出特解。這種方法稱為試探法。 第三十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202232例1. 設(shè)有一半徑為R的無限均勻圓柱體,已知圓柱內(nèi)無熱源,圓柱面上的溫度分布為 ,試求圓柱內(nèi)溫度的穩(wěn)定分布. 解：因柱面上溫度與z無關(guān),則域內(nèi)溫度也應(yīng)與z

14、無關(guān),故原問題可簡化為求解圓域上Laplace方程的第一邊值問題,采用極坐標(biāo),我們考慮問題: 由(4.4.2),設(shè) (4.4.1)得 ,代入, 再由(4.4.2)得 由 的任意性得: 第三十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202233例2 求圓柱域 內(nèi)的電位u,使在柱面上有給定的電場強(qiáng)度的法向分量,即 解: 由邊界條件知，問題可化為平面問題：由邊界條件(4.4.4),設(shè) , 顯然 滿足方程(4.4.3)及條件(4.4.4)，于是問題的解為： 第三十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202234例3 求由兩同心球面導(dǎo)體 和 構(gòu)成的電容器內(nèi)的電位，使內(nèi)球面 保持常電位 外球面接地。 解: 采用球坐標(biāo)，考慮定解問題 由邊界條件知，球內(nèi)電位的分布僅與r有關(guān)，即電位函數(shù)是球?qū)ΨQ的，而電位與r成反比，故可設(shè) 第三十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202235顯然 滿足(4.4.5), 這是因?yàn)? 是三維Laplace方程的基本解。由(4.4.6) 于是(4.4.5) (4.4.6)的解為：第三十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25.08.202236如果知道Poisson方程的一個(gè)特解，則通過函數(shù)代換，4.4.2 Poisson方程的求解 就可將Poisson