信號(hào)與系統(tǒng)課件第四章1講

1、1 第四章 Z變換基本要求1、深刻理解Z變換的定義，收斂域和基本 性質(zhì)2、會(huì)根據(jù)Z變換的定義和性質(zhì)求一些常用 序列的Z變換3、深刻理解Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系4、正確理解Z變換的性質(zhì)的應(yīng)用條件5、能用冪級(jí)數(shù)展開法、部分分式法及留數(shù) 法求Z反變換2 4.1 Z變換及其收斂域 第四章 Z變換 4.2 Z反變換 4.3 Z變換的性質(zhì) 4.4 Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系 4.5 信號(hào)線性變換小結(jié)3 4.1 Z變換及其收斂域一、由抽樣信號(hào)的拉氏變換引出Z變換 設(shè)xs(t)是連續(xù)信號(hào)x(t)的理想抽樣信號(hào)，則其中T為抽樣時(shí)間對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得到：4令5二、Z變換的定義（直接由離散時(shí)間序列X(n)定

2、義）序列x(n)的單邊Z變換為：式中Z為復(fù)變量6 對(duì)一切n值都有定義的序列x(n)，也可以定義雙邊Z變換 如果x(n)是因果序列，則其雙邊Z變換與單邊Z變換是等同的 在實(shí)際的離散系統(tǒng)中所遇到的序列一般是因果性的，所以我們著重討論單邊Z變換7三、Z變換的收斂域1、定義 對(duì)任意給定的有界序列x(n)，使其Z變換式收斂的所有Z值的集合，稱為Z變換X(Z)的收斂域2、級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件為8例1、求單邊序列的Z變換，其中a為正實(shí)數(shù)。解：按單邊Z變換的定義，有利用等比級(jí)數(shù)定理其中RezjImz09例2、求序列的Z變換解：因?yàn)樯婕暗絥取負(fù)的情況，按雙邊Z變換 定義求解10令m=-n， 則再將m變?yōu)閚利用

3、等比定理求級(jí)數(shù)則11其收斂域?yàn)镽ezjImz0 一個(gè)序列的Z變換要包括Z變換的表達(dá)式和相應(yīng)的收斂域，二者缺一不可 否則， Z變換的表達(dá)式不能與序列一一對(duì)應(yīng)表達(dá)式一樣收斂域不同12由于x(n)有界，所以要求所以收斂域?yàn)椋篟ezjImz03、收斂域的形式有限長序列 因?yàn)閄(z)是有限項(xiàng)之和，所以只要級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)有界，則級(jí)數(shù)收斂。即13右邊序列的Z變換為：右邊序列 右邊序列是有始無終的序列。序列在nn1時(shí)，有非零的有限值，在nn2時(shí)，序列值為零。其Z變換為：n20n13、收斂域的形式16等號(hào)右邊：第二項(xiàng)為有限長序列的Z變換，收斂域?yàn)榈谝豁?xiàng)是Z的正冪級(jí)數(shù)，按阿貝爾定理可知，存 在一個(gè)收斂半徑Rx2，級(jí)

4、數(shù)在以原點(diǎn)為中心、 Rx2為半徑的圓內(nèi)絕對(duì)收斂綜合此兩項(xiàng)，左邊序列的收斂域?yàn)镽ezjImz0左邊序列3、收斂域的形式17雙邊序列 這類序列是指當(dāng)n為任意值時(shí)，x(n)皆有值的序列，可看作一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列之和。其Z變換為上式右邊：第一項(xiàng)為右邊序列Z變換，收斂域?yàn)榈诙?xiàng)為左邊序列Z變換，收斂域?yàn)?、收斂域的形式18如果則存在公共區(qū)域，即RezjImz03、收斂域的形式雙邊序列19四、典型序列的Z變換1、單位函數(shù)序列的Z變換收斂域?yàn)檎麄€(gè)Z平面202、單位階躍序列的Z變換若則該級(jí)數(shù)收斂，等于213、斜變序列的Z變換解：已知單位階躍序列的Z變換為223、斜變序列的Z變換234、指數(shù)序列的Z變換

5、當(dāng)，級(jí)數(shù)收斂24課堂練習(xí)：的Z變換求收斂域：255、單邊正弦序列的Z變換單邊余弦序列根據(jù)歐拉公式26 4.2 Z反變換是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 在給出象函數(shù)及其收斂域的情況下，可以求出 象原函數(shù)x(n)（一）冪級(jí)數(shù)展開法（長除法）由Z變換的定義 只要把X(z)在給定的收斂域內(nèi)按z-1的冪展開，則級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)的值。27例4.2-1 已知求x(n)。解：因?yàn)槭諗坑蚴荶平面的圓外區(qū)域，所以x(n)是右邊序列。級(jí)數(shù)是Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。將X(z)的分子、分母按Z的降冪排列所以原函數(shù)為（一）、冪級(jí)數(shù)展開法（長除法）28（一）、冪級(jí)數(shù)展開法（長除法）29例2 已知求x(n)。解：由收斂域可知原函數(shù)為左邊序列

6、要展成Z的正冪級(jí)數(shù)，即將X(z)的分子、分母升冪排列（一）、冪級(jí)數(shù)展開法（長除法）30用長除法得：所以，原函數(shù)為；將X(z)的分子、分母升冪排列（一）、冪級(jí)數(shù)展開法（長除法）31總結(jié)：1、當(dāng)X(z)的收斂域?yàn)?x(n)必為因果序列（右邊序列），X(z)應(yīng)展開為Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。將X(z)的分子、分母按Z的降冪排列，再進(jìn)行長除。2、當(dāng)X(z)的收斂域?yàn)閤(n)為左邊序列，X(z)應(yīng)展開為Z的正冪級(jí)數(shù)。將X(z)的分子、分母按Z的升冪排列，再進(jìn)行長除（一）、冪級(jí)數(shù)展開法（長除法）32（二）、部分分式展開法因?yàn)槌Ｓ玫腪變換對(duì)為所以在對(duì)X(z)做部分分式展開時(shí)，力求得到形如的形式33步驟：1. 將X(z)

7、除以z，得到2. 將展成部分分式，方法同拉氏變換3. 將展開的部分分式乘以z，即得到X(z)的表達(dá)式4. 對(duì)各部分分式進(jìn)行Z反變換5. 寫出原序列x(n)（二）、部分分式展開法34一、當(dāng)X(z)只含單極點(diǎn) 式中zi是單極點(diǎn)，Ai是待定系數(shù)（極點(diǎn)zi的留數(shù)）（二）、部分分式展開法35于是可得X(z)的反變換為（二）、部分分式展開法36二、當(dāng)X(z)含有一r重極點(diǎn)式中Ai的確定同單極點(diǎn)系數(shù)的確定相同Bj的確定與拉氏變換類似：（二）、部分分式展開法37查表求Z反變換（二）、部分分式展開法38例4.2-2 已知收斂域?yàn)樵嚽骦的反變換解：（二）、部分分式展開法39所以其反變換為（二）、部分分式展開法40

8、（三）、留數(shù)法（圍線積分法）留數(shù)的定義設(shè)z0 為函數(shù) f(z) 的孤立奇點(diǎn)，那么積分為與C無關(guān)的定值，以2 i 除這個(gè)積分值，所得的數(shù)叫做在z0的留數(shù)。記作41羅倫級(jí)數(shù)定理其中C為圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線。（三）、留數(shù)法（圍線積分法）42（三）、留數(shù)法（圍線積分法）圍線積分法的推導(dǎo)（利用柯西積分定理）已知RezjImz將上式兩端同時(shí)乘以zk-1，并沿圍線C積分得：根據(jù)柯西積分定理所以R43X(z)的反變換的圍線積分表示式如下：其中c是包圍所有極點(diǎn)的閉合積分路線則（三）、留數(shù)法（圍線積分法）441、當(dāng)z=zi 是一階極點(diǎn)時(shí)2、當(dāng)z=zi 是r階極點(diǎn)時(shí)（三）、留數(shù)法（圍線積分法）45例：求的Z反變換解：當(dāng)n=1時(shí)，有極點(diǎn)當(dāng)n=0時(shí)，有極點(diǎn)（三）、留數(shù)法（圍線積分法）46（三）、留數(shù)法（圍線積分法）47（三）、留數(shù)法（圍線積分法）48留數(shù)輔助定理如果圍線積分的被積函數(shù)F(Z)在整個(gè)Z平面上除有限個(gè)極點(diǎn)外都是解析的，且當(dāng)Z時(shí),F(Z