關(guān)于高二數(shù)學(xué)數(shù)列教案 2

1、 2.1 數(shù)列 一：教學(xué)目標(biāo)：1、知道數(shù)列的概念,明白數(shù)列的分類,懂得數(shù)列是一種特別的函數(shù),會(huì)用列表法 和圖象法表示數(shù)列；2、懂得數(shù)列通項(xiàng)公式的概念,會(huì)依據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),會(huì)依據(jù)簡(jiǎn)潔數(shù) 列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；二：教學(xué)重點(diǎn)：1、 數(shù)列的概念及數(shù)列與集合的區(qū)分2、 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 3、 歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 三：教學(xué)過程：一、問題情境（ 1）填數(shù)： 2,4,6, 10；（ 2） 1 n：-1 ,1,-1 ,1, （ 3）細(xì)胞分裂： 1,2,4,8, 16, ,2 （象棋中放米粒）（ 4）斐波那契數(shù)列： 1,1,2,3,5, 8,13, （ 5）奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)： （1984-2022

2、 ）15,5,16,16,28, 32 問：上面這些例子有什么共同的特點(diǎn)？二、同學(xué)活動(dòng) : 通過觀看發(fā)覺：1、 每一個(gè)問題里都有一系列的數(shù) 2、 這些數(shù)有肯定的次序,前后位置不能顛倒,并且有些數(shù)可以相同,但表示不同的意義；通過爭(zhēng)論,得到這些情形的共同特點(diǎn)是都有一組依據(jù)肯定次序排列的數(shù)；三：數(shù)學(xué)建構(gòu) 1、 數(shù)列：依據(jù)肯定次序排列的一列數(shù) 與集合比較：（1）有序；（2）不互異 2、 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每個(gè)數(shù)用小寫的英文字母：a1,a 2,a3,. an,.簡(jiǎn)記為an第 1 項(xiàng)（首項(xiàng)）,第 n 項(xiàng) 3、 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：（1） 定義域：N （或它的有限子集2,1,. n）（2） 自變量由小到大依次

3、取值（3） 函數(shù)值4、 數(shù)列的通項(xiàng)公式：數(shù)列an的第 n 項(xiàng)與序號(hào) n 之間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示（1） 作用：給出一個(gè)數(shù)列（1）a n2nn數(shù)列簡(jiǎn)記為2n,2 n1全部奇數(shù)前 5 項(xiàng)（2）an1 （3）an2n（ 2）不是每個(gè)數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式；有的數(shù)列雖然有通項(xiàng)公式,但形式不唯獨(dú)；僅僅知道一個(gè)數(shù)列的前面的有限項(xiàng),無(wú)其他說(shuō)明,數(shù)列是不能確定的 四：數(shù)學(xué)運(yùn)用 例 1：依據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 . 1 , 1 , 1 , 1 , L1 2 2 3 3 4 4 5 0,2,0,2, L 搖擺數(shù)列 練：（ 1,2,1,2,L ）1 4 9 16 , L3 5 7 9

4、1 1 , , 1 , 1 , L3 8 15 241 1 3 1 , 5, L2 2 8 4 32 1, , 3 1 , 3 , 1 , L5 3 17 11 9,99,999,9999, L 練：（ 1,11,111,1111,L ） 0.7,0.77,0.777,0.7777, L解：a n1n1a1n11n n1a n11na n2n21na n1nn1211n22 n1 2 3 4 , 52 4 8 16 32, Ln1 10 9n3 3 3 , 3 , 33 5 9 17 33, La n10n1練：7 90.9,70.99, L95數(shù)列的表示方法：函數(shù)、列表法、圖象法,解析法通項(xiàng)

5、公式例 2：數(shù)列a n的通項(xiàng)公式是：a nn25 n4,做出圖象；數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n 為何值時(shí),a 有最小值？并求出 n最小值 . 6數(shù)列的分類：恒成立例 3：已知數(shù)列a n的通項(xiàng)公式為a nanc,其中a b c 均為正數(shù), 比較a 與an1的bn大小 . 解：ananca bbncac baac1c增bnbncbbbn練：a nn n98,最小項(xiàng)是 . 99最大項(xiàng)是五：回憶小結(jié)1、數(shù)列的概念及分類,數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系2、數(shù)列的通項(xiàng)公式六：課外作業(yè)1、 課后練習(xí) 5,6 2、 習(xí)題 1,2,3,4, 5,6 2.2.1 等差數(shù)列教學(xué)目標(biāo)1 明確等差數(shù)列的定義2 能用定義判定一個(gè)數(shù)列是否為

6、等差數(shù)列 . 3 把握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,明白等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想,并能在解題中加以利用 . 教學(xué)重點(diǎn)1等差數(shù)列的概念；. 2等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)懂得等差數(shù)列“ 等差” 的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義 . 教學(xué)方法啟示式數(shù)學(xué) 教具預(yù)備多媒體 ppt 內(nèi)容見下面 教學(xué)過程 上兩節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的兩種方法通項(xiàng)公式和遞推公式 . 這兩個(gè)公式從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn) . 一、 問題情境（1） 影院雙號(hào)的座位號(hào)為：2, 4,6,8,10,12；（2） 小明覺得自己的英語(yǔ)很好,單詞量3000,今日起不背單詞,每天忘掉5個(gè),依次為： 3000,2995, 2990

7、,2985,2980；（3） 1986 年,人類在地球上觀測(cè)到哈雷慧星第5 次顯現(xiàn),最早在1682 年,每隔 76 年觀測(cè)到一次, 依次為： 1682,1758,1834,1910,1986,2062. 二、 同學(xué)活動(dòng)請(qǐng)大家觀看以上三個(gè)數(shù)列,看看這三個(gè)數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？三、生：這些數(shù)列后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差是常數(shù),分別是2、5、76. 建構(gòu)數(shù)學(xué)等差數(shù)列：一般地,假如一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母 d 表示 . an是等差數(shù)列an 1and（常數(shù)）練習(xí) 1 以下數(shù)列是否是等差數(shù)列：1 3,7,11,15,1

8、9,23 2 1,2,4,6,8,10,12 3 3,3,3,3,3,3,3 4 5,0,5,0,5,0,5 5 8,6,5,2,0,-2,-4 歸納： 公差 d 是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得,而不僅僅是前后兩項(xiàng)的差； 對(duì)數(shù)列an,如an1andnN,就an是等差數(shù)列,其中d 為公差 . 練習(xí) 2 求證數(shù)列an：an4lg3n1lg9n1nN是等差數(shù)列 . an1an是一分析：要證一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,依據(jù)等差數(shù)列的定義,只要證個(gè)與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù) . 證明：由題可知：an14lg3 n1lg9n12n2lg3lg32lg3常數(shù)an1an2n1 2lg32n2 數(shù)列an是等差數(shù)列推導(dǎo)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式法

9、一：累加法等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a ,公差是 dnan1a 1n1 dn2a ,即n1時(shí),等式也成立當(dāng)時(shí),左式a ,右式ana 1n1 d nN 法二：遞推法（不完全歸納法）上式對(duì)n1亦成立a na1n1dnN口答：求引例的通項(xiàng)公式（同學(xué)）依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,再a 1,d,n,an這四個(gè)量中, 只要知道其中任意三個(gè)量,就可求出另一個(gè)量. （知三求一）四：數(shù)學(xué)運(yùn)用例 11 求等差數(shù)列32, 24, 16 ,的第 20 項(xiàng)a ,看是解：aan1 da2082040140 2 404是不是等差數(shù)列9 ,14,19,的項(xiàng)？分析：要判定404是不是該數(shù)列的項(xiàng),關(guān)鍵式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式否存在正整數(shù)n ,

10、使得an401成立解：ana1n1d令4045 n4得n80即404是該數(shù)列得第 80項(xiàng)練習(xí) 2. 在等差數(shù)列an中,已知a510,a 1231,求a18解：a 14d10a 132a 111 d31da na 1n1 d23 n1 3n5a18318549摸索： 能否不求 a , 1 d,而利用等差數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系求解？猜想：a n a m n m da n a 1 n 1 d證明：a m a 1 n 1 d故 a n a m m 1 d n 1 da 18 a 12 18 12 d 31 6 3 49五、回憶小結(jié) ：1. 等差數(shù)列的概念；2用定義法判定數(shù)列是否為等差數(shù)列；3等差數(shù)列通項(xiàng)

11、公式的推導(dǎo)及應(yīng)用 . 六、課外作業(yè)1、課后練習(xí)及數(shù)學(xué)之友 2.2.2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式教學(xué)目的：1懂得等差中項(xiàng)的概念,會(huì)求兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)；2初步把握從等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)關(guān)系推斷序號(hào)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的關(guān)系；3會(huì)用等差中項(xiàng)等性質(zhì)解決簡(jiǎn)潔問題；教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)過程： 一、問題情境：a na n1d n2 2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式3、推導(dǎo)公式 例：已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列的a n na m 1 n n1 m d d1、等差數(shù)列的定義首項(xiàng)為 a1, 公差為 d：（1）將數(shù)列中的前 m項(xiàng)去掉,其余各項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列,（2）取出數(shù)列中的全部奇數(shù)項(xiàng),（3）取出數(shù)列中全部項(xiàng)數(shù)為7的倍數(shù)的各項(xiàng),這3個(gè)新數(shù)列是等

12、差數(shù)列嗎？假如是,首項(xiàng)和公差分別是多少？am+1,am+2, am+n 首項(xiàng)是 am+1,公差為 da1,a3, a5 a2n+1 首項(xiàng)是 a1,公差為 2da7,a14, a21 a7n 首項(xiàng)是 a7,公差為 7d 二、同學(xué)活動(dòng)問題：假如在 a與b中間插入一個(gè)數(shù) A,使a,A, b成等差數(shù)列,那么 A應(yīng)滿意什么條件？證：由 a,A,b 成等差數(shù)列,可得：A-a = b-A 2A=a+b Aa2b得：即A-a=b-A 由Aa2b可以考慮一下反過來(lái)是否也成立？2A=a+b A-a = b-A 亦即 a,A,b 成等差數(shù)列三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1、定義 : Aa2ba,A,b成等差數(shù)列假如 a,A,b 成等

13、差數(shù)列,那么A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)； 不難發(fā)覺：在一個(gè)等差數(shù)列中,從第 2 項(xiàng)起,每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；符號(hào)化： an 為等差數(shù)列 2an=an-1+an+1n 2 an 為等差數(shù)列 2an=an1+an+1n 2 證： an 為等差數(shù)列 設(shè)首項(xiàng)為 a1, 公差為 d,證：在等差數(shù)列 an 中 如 2an=an-1+an+1n 2 就 anan-1 an+1 ann 2 就通項(xiàng)公式為 an=a1+n-1d 任取一項(xiàng) an=a1+n-1d n 2 前一項(xiàng)為 an-1=a1+n-2d= an-d 后一項(xiàng)為 an+1=a1+nd= an+d an-1

14、+an+1= an-d +an+d=2an 例如：數(shù)列 1、 3、5、7、9、11、13、 有 3 是 1 和 5 的等差中項(xiàng) 5 是 3 和 7 的等差中項(xiàng) 也是 1 和 9 的等差中項(xiàng) 即： 2 5=3+7 =1+9 亦即： 2a3=a2+a4 =a 1+a57 是 5 和 9 的等差中項(xiàng) 也是 3 和 11 仍是 1 和 13 的等差中項(xiàng) 即： 2 7=5+9=3+11=1+13 亦即： 2a4=a3+a5 =a 2+a6 =a 1+a7 進(jìn)一步觀看發(fā)覺：.引申：項(xiàng)的等差中項(xiàng)；kd3d5d7d93d13 an是它的前后“ 等距離” 的 kd由于： a3 a3 = a2+a4 =a1+a5

15、 an-kanan+k13112d2d332415 a4a4 = a3+a5 =a2+a6 =a1+a7 443 52617 .推測(cè)：在等差數(shù)列an 中 , 如 m+n=p+q, 就 am+an=ap+aq 2、性質(zhì) 在等差數(shù)列 a n 中,如 m+n=p+q, 就 am+an=ap+aq 證明：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 得 am=a1+m-1d,a n=a1+n-1d ap=a1+p-1d,aq=a1+q-1d就 am+an=2a1+m+n-2da p+aq=2a1+p+q-2d由于 m+n=p+q 所以 am+an=ap+aq 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用例題 1 在 -1 和 8 之間插入兩個(gè)數(shù)a 和 b,

16、使這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,就a 、b 的值各是多少？解：這四個(gè)數(shù)分別為-1, a, b, 8 就 a 為-1 和 b 的等差中項(xiàng)b 為 a 和 8 的等差中項(xiàng),2a1ba22ba8b5得：故 a,b 的值分別是 2 和 5；例題 2 在等差數(shù)列 a n 中,如 a3+a4+a5+a6+a7=450, 求 a2+a8 的值；解：由 a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5 得： 5a5=450 故： a5=90 所以： a2+a8=2a5=2 90=180 例題 3已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=pn+q, 其中 p,q 是常數(shù)且 p 0,那么這個(gè)數(shù)列是否肯定是等差數(shù) 列？假如是,其首項(xiàng)與公差是什么？

17、分析：由等差數(shù)列的定義,要判定an 是不是等差數(shù)列,只要看an-an-1 n 2 是不是一個(gè)與 n無(wú)關(guān)的常數(shù)就行了；證明：取數(shù)列 a n 中的任意相鄰兩項(xiàng) 由已知條件： an=pn+q 得： a n-1 與 ann 2 ,an=pn+q, a n-1 =pn-1+qa n-a n-1 = pn+q - pn-1+q = pn + q pn + p q = p 同樣,我們反過來(lái)考慮一下：如a n 為等差數(shù)列,就an=a1+n-1d 即an=nd+a1-d 亦即 an=pn+q（p,q為常數(shù)）結(jié)論：如an為等差數(shù)列,pnqp,q為 常 數(shù)a n當(dāng)p 0時(shí),它是關(guān)于 n的一次式；如： an=2n-1

18、 首項(xiàng)為 1,公差為 2 該數(shù)列的圖象是直線 y=2x-1 上,勻稱排開的無(wú)窮多個(gè)孤立點(diǎn)當(dāng)p0時(shí),它是一常數(shù)數(shù)列；如： an=2 該數(shù)列的圖象是在直線y=2 上勻稱排開的無(wú)窮多個(gè)孤立點(diǎn)；問：給定一個(gè)數(shù)列,如何判定它是一個(gè)等差數(shù)列？（1）據(jù)定義,從其次項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)即an- a n-1 = d n 2 （2）據(jù)等差中項(xiàng),每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)即2an= a n-1 + a n+1 n 1 （3）據(jù)通項(xiàng)公式形式,它可以表示成關(guān)于 n的一次式即an= kn + b k,b 為常數(shù) 例4（摸索）四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,其四個(gè)數(shù)的平方和為 94,第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的積

19、比其次個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積少 18,求這四個(gè)數(shù)；分析：此題關(guān)鍵：如何設(shè)未知量？三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)三個(gè)數(shù)為 a-d,a,a+d 四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)四個(gè)數(shù)為 a-3d,a-d,a+d,a+3d 這樣設(shè)具有對(duì)稱性,給解題帶來(lái)便利；法 1：設(shè)這四個(gè)數(shù)為 a,a+d,a+2d,a+3d ,依題意有a 8 a 1 a 8 a 1d 3 或 d 3 或 d 3 或 d 3法 2：設(shè)這四個(gè)數(shù)為 a-3d,a-d,a+d,a+3d,依題意有7 3 a=2 , d=2所以這四個(gè)數(shù)為8, 5, 2, 1 或 1, 2,5,8 或 1, 2, 5, 8 或 8,5,2, 1 課堂練習(xí) : 1、求以下各題中兩個(gè)數(shù)

20、的等差中項(xiàng)（1）100與180 （2） -2 與6 2、在等差數(shù)列 a n 中,如 a3+a9+a15+a21=8, 求a12；3、由以下等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求首項(xiàng)和公差；（1）an=3n+6 2 a n=-2n+7 五：回憶小結(jié) 第一,需把握等差中項(xiàng)的概念及等差數(shù)列通項(xiàng)公式的圖形特點(diǎn)和有關(guān)性質(zhì) 其次,在設(shè)元求數(shù)列的時(shí)候肯定要留意對(duì)稱性 另外,仍應(yīng)留意等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的敏捷運(yùn)用；六、課外作業(yè)數(shù)學(xué)之友 2.2.3 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和教學(xué)目的 ：（1）把握等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的公式及推導(dǎo)該公式的數(shù)學(xué)思想方法,并能用公式解決一些簡(jiǎn)潔的問題（ 2）探素活動(dòng)中培育同學(xué)觀看、分析的才能,培

21、育同學(xué)由特別到一般的歸納才能 教學(xué)重點(diǎn) ：等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；教學(xué)難點(diǎn) ：前 n 項(xiàng)和的求法及實(shí)際應(yīng)用,等差數(shù)列與函數(shù)性質(zhì)；教學(xué)過程 ：一、問題情境apaaq1.復(fù)習(xí)引入2.（1）an 1and3.（2）ana1n1 d4.（2）anamnm d5.（3）mnpqaman6.（4） A 是a, 的等差中項(xiàng)A2b7.摸索： 1+2+3+4+ +100=？二、同學(xué)活動(dòng) 摸索：一堆鋼管共有 9 層,它的每層鋼管數(shù)成等差數(shù)列分布,求鋼管總數(shù)；三、建構(gòu)數(shù)學(xué)一般地,設(shè)有等差數(shù)列an ,它的前 n 項(xiàng)和是 sn,即sn=nia ；i1依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式,上式可以寫成： s n=a1+（ a1+d）+（

22、 a1+2d）+ +a 1+（ n-1 ）d ；又可以寫成： sn=an+（ an -d ）+（an -2d ） + + an- （n-1 ） d ；n 項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)就可以求前兩式相加即得S nna 12an（公式說(shuō)明知道首項(xiàng)和第n 項(xiàng)和）由于 an=a1+（ n-1 ）d,所以公式仍可以寫成：S nna 1n n1d；n 項(xiàng)和2公式說(shuō)明知道首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)及公差就可以求前四、數(shù)學(xué)運(yùn)用例題分析（ 1）如等差數(shù)列 -10 ,-6 ,-2 , 中,前 n 項(xiàng)和（ 2）等差數(shù)列an中,d2 ,a1510,求a ,SnS =54,求 n 及通項(xiàng)公式；（ 3）已知一個(gè)等差數(shù)列的前 10 項(xiàng)和是 310,前 20 項(xiàng)和是 220,求前 n 項(xiàng)和；（ 4）等差數(shù)列 a n 中,a 4 0 . 8 , a 11 2 . 2,求 a 51 a 52 a 80a 1 0 . 2 , d 0 . 2 , a 51 a 52 a 80 S 80 S 50 393（ 5）某電站沿一條大路直立電線桿,相鄰兩根電線桿的距離都是 50 米,最遠(yuǎn)一根電