材料力學(xué)第四章-彎曲內(nèi)力

1、第四章 彎曲內(nèi)力4.1 平面彎曲的概念4.2 梁的內(nèi)力剪力和彎矩4.4 彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用4.3 剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖4.5 平面剛架和曲桿的內(nèi)力目 錄4.1平面彎曲的概念當(dāng)桿件受到垂直于桿軸線的外力(通常稱為橫向力)或外力偶(外力偶的向量垂直于桿軸)作用時(shí)，桿件將主要發(fā)生彎曲變形。工程上：以彎曲為主要變形的桿件，通常均稱為梁1.產(chǎn)生彎曲變形的外力變形特點(diǎn)：（1）直桿的軸線變彎；（2）任意兩橫截面繞垂直于桿軸的軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。縱向?qū)ΨQ面對(duì)稱軸2.平面彎曲的概念梁變形后的軸線所在平面與外力所在平面相重合的這種彎曲稱為平面彎曲。也有的教材稱為對(duì)稱彎曲。3.梁上外力包

2、括：荷載：支座反力：4.梁的類(lèi)型1、簡(jiǎn)支梁一端為固定鉸支座一端為活動(dòng)鉸支座。3、懸臂梁一端固定支座一端自由。4、中間鉸梁5、超靜定梁支座反力的個(gè)數(shù)多于平衡方程的個(gè)數(shù)2、外伸梁一端或兩端向外伸出的簡(jiǎn)支梁。4.2 梁的內(nèi)力剪力和彎矩取左：得Fs稱為剪力，它是橫截面上切向分布內(nèi)力的合力。M稱為彎矩，它是橫截面上法向分布內(nèi)力的合力偶矩。取右：剪力、彎矩正負(fù)號(hào)規(guī)定：1、剪力FS左上右下為正使微段發(fā)生左邊向上、右邊向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，剪力為正。FS FS+FS FS2、彎矩M+使微段發(fā)生上凹下凸的彎曲變形，亦即梁的上部受壓，下部受拉時(shí)，其彎矩為正。上凹下凸為正直接通過(guò)外力來(lái)判斷剪力彎矩的正負(fù)號(hào)外力F對(duì)指定截

3、面形心順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)引起正剪力，反之為負(fù)設(shè)想把欲求截面固定，外力使分離體下側(cè)受拉彎矩為正，反之為負(fù)例4-1 求圖示外伸梁在1-1、2-2、3-3、4-4橫截面上的的剪力和彎矩解：（1）求支反力校核：(支反力計(jì)算正確)（2）求各截面的剪力和彎矩1-1截面：例4-1 求圖示外伸梁在1-1、2-2、3-3、4-4橫截面上的的剪力和彎矩2-2截面：3-3截面：4-4截面：例4-1 求圖示外伸梁在1-1、2-2、3-3、4-4橫截面上的的剪力和彎矩直接法：aaa33224411BA例4- 2 求圖示指定截面的剪力和彎矩。解： (1)求支座反力以AB為研究對(duì)象，由平衡方程易得(2)用直接法求剪力和彎矩11截面

4、22截面33截面44截面 比較1、2截面的剪力可知，在集中力F作用處，其相鄰兩個(gè)截面的FS值不同。 比較3、4截面的彎矩可知，在集中力偶Me作用處，其相鄰兩個(gè)截面的M值不同。aa332211BACDq例4-3 求圖示指定截面的剪力和彎矩。解 ：(1)求支座反力先以CD為研究對(duì)象，然后在以AC為研究對(duì)象，由平衡方程易得(2)用直接法求剪力和彎矩11截面22截面33截面例4-4 圖示簡(jiǎn)支梁受到三角形分布荷載的作用，最大荷載集度為q0，試求C截面上的剪力和彎矩。解： （1） 求支反力解得：（2） 求C截面上的剪力和彎矩注意：在求C截面的內(nèi)力時(shí)，不能預(yù)先將分布荷載用合力代替。練習(xí)：1. 求圖示結(jié)構(gòu)中D

5、、B右截面的剪力和彎矩。解：（1）計(jì)算支座反力解得：（2）計(jì)算D、B右截面的剪力和彎矩aaaAaB22qAaaa11Baq(a)(b)2. 求圖示(a)、(b)兩種結(jié)構(gòu)中指定截面的剪力和彎矩。解：4.3 剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖 由前面的例題可以看出，在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面的位置而變化的。 若沿梁軸方向選取x坐標(biāo)表示橫截面位置，則梁的各橫截面上的剪力和彎矩可以表示為x的函數(shù)，即 為能一目了然地看出梁的各橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置而變化的情況，可仿照軸力圖和扭矩圖的作法，會(huì)出剪力和彎矩圖。 繪圖時(shí)，以x為橫坐標(biāo)，表示各橫截面的位置，以FS或M為縱坐標(biāo)，表示相

6、應(yīng)橫截面的剪力或彎矩值。其中M圖向下為正。彎矩方程剪力方程例4-5試列出圖示懸臂梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。解：(1) 寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程FS(x)為一常量，故剪力圖為一條水平直線。M(x)為x的一次函數(shù)，故彎矩圖為一條斜直線。(2) 作剪力圖和彎矩圖由圖可知：（B端）解：（1）求支反力（2）寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程為例4-6 試列出圖示簡(jiǎn)支梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。（3）繪剪力圖和彎矩圖解：（1）求支反力（2）分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程CB段：例4-7 試列出圖示簡(jiǎn)支梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。AC段：（3）繪剪力圖和彎矩圖集中力例4

7、-8 試列出圖示簡(jiǎn)支梁的剪力方程和彎矩方程，并作出 剪力圖和彎矩圖。解：（1）求支反力（2）分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程CB段：AC段：（3）繪剪力圖和彎矩圖集中力偶C練習(xí)：3. 作圖示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖。解：剪力方程和彎矩方程為：由此可以繪出剪力圖和彎矩圖例4-9 繪圖示梁的剪力圖和彎矩圖。解：（1）求支反力（2）分段寫(xiě)剪力方程和彎矩方程AC段：CB段：（3）作剪力圖和彎矩圖4.4 彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用(略去二階微量)規(guī)定：坐標(biāo)原點(diǎn)取在左端，q(x)向上為正。微段平衡方程：討論：1. (1)(2)(3)式稱為彎矩、剪力和荷載集度間的微分關(guān)系。2. 幾何意義：(1)式表明：

8、剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處的集度(2)式表明：彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處的剪力3. 推論(a、b兩個(gè)截面間的分布荷載圖的面積)(a、b兩個(gè)截面間的剪力圖的面積)應(yīng)用：一. 利用微分關(guān)系校核剪力圖和彎矩圖(1) 由q(x)變化檢查FS、M圖(a) 在q(x)=0的段上，F(xiàn)S圖為水平直線，M圖為斜直線（或水平直線）(b) 在q(x)=q(常數(shù))的段上，F(xiàn)S圖為斜直線，M圖為二次曲線(2) 在FS=0截面處，M有極值，此處彎矩圖切線的斜率為零。(3) 集中力作用處，F(xiàn)S圖發(fā)生突變，突變量=該集中力的大小，M圖有尖角。(4) 集中力偶作用處，M圖發(fā)生突變，突變量=該集中力偶的大小，F(xiàn)S

9、圖不變。二. 利用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖（簡(jiǎn)易法）步驟：1. 求支座反力（懸臂梁可不求）2. 求控制截面的剪力和彎矩值。（控制截面指的是集中力、集中力偶作用處，均布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)）3. 按微分關(guān)系連線，得剪力圖和彎矩圖。BABA例4-10 利用M、FS和q間的關(guān)系校核圖示懸臂梁的FS、M圖。FFlMeq0的情形：BABAqconst的情形：qqqlql例4-11 利用M、FS和q間的關(guān)系校核圖示簡(jiǎn)支梁的FS、M圖。解：(1) 校核支反力(2) 校核剪力圖(3) 校核彎矩圖CBAaa2FFFa2Fa例4-12 作圖示梁的剪力彎矩圖。解： (1) 求支反力FAFB (2) 求控制截面的剪力和彎

10、矩 (3) 按微分關(guān)系連線，得FS、M圖CAqB例4-13 作圖示梁的剪力、彎矩圖。解：（1）求控制截面的剪力和彎矩（2）繪剪力、彎矩圖解：容易求出支反力：作梁的剪力圖和彎矩圖。例4-14aBACD2m3m1mFAFB例4-15 作圖示梁的剪力彎矩圖。102055解：由整體法求出支反力201.2520EaG練習(xí) 試?yán)煤奢d集度，剪力和彎矩之間的微分關(guān)系做下列各梁的剪力圖和彎矩圖。（a）15kN1m2m10kN.mABC(b)a3a2MeMeACB15kN1025kN.mMe/3aMe/34Me/32Me（c）（d）540545540kN.mkN2802602602803mABCD2m2m10k

11、N/m250kN250kN2mqa2qa11qa/67qa/6a3aqaqBACABC例4-16 作圖示梁的剪力彎矩圖。解：(1) 求支反力(2) 求控制截面的剪力和彎矩(3) 繪剪力、彎矩圖例4-17 一梁受載如圖所示。試求:(1)作彎矩圖；(2)若從彎矩方面考慮，a/l為多少最合理？alBACDaE解：（1）繪彎矩圖最大正彎矩：最大負(fù)彎矩：（2）求a/l合理?xiàng)l件：即：此時(shí)：若若4.5 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架1. 平面剛架：同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過(guò)桿端相 互剛性連接而組成的結(jié)構(gòu)。 特點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力有：FS、M、FN。2. 內(nèi)力圖規(guī)定： 彎矩圖：畫(huà)在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)。 剪力圖及軸力圖：可畫(huà)在剛架軸線的任一側(cè)，但須注明正、負(fù)號(hào)。例4-18 試作圖示剛架的內(nèi)力圖。