6-期權(quán)定價的連續(xù)模型及BS公式

1、1第六章：期權(quán)定價的延續(xù)模型第一節(jié)延續(xù)時間股票模型第二節(jié)離散模型第三節(jié)延續(xù)模型的分析第四節(jié)Black-Scholes模型第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo)第六節(jié)看漲期權(quán)與看破跌期權(quán)平價第七節(jié)二叉樹模型和延續(xù)時間模型第八節(jié)幾何布朗運動股價模型運用的本卷須知.2022/8/242第一節(jié)延續(xù)時間股票模型 保羅薩繆爾森在1965年初次提出： 5-1股票在時辰的價錢常量服從布朗運動。 其中：.1826年英國植物學(xué)家布朗1773-1858用顯微鏡察看懸浮在水中的花粉時發(fā)現(xiàn)的。后來把懸浮微粒的這種運動叫做布朗運動。 .第二節(jié)離散模型 2022/8/244假設(shè)表示 T 時辰的股價那么根據(jù)二叉樹模型，在

2、一個給定時間間隔.2022/8/245第二節(jié)離散模型 于是令這闡明k個小時間段的共同影響等同于相應(yīng)大時間段的影響。.2022/8/246第二節(jié)離散模型 上式是以下微分方程的解：5-2.第二節(jié)離散模型 2022/8/247在式5-1中，假設(shè)令即可得到上述微分方程，這是一個確定性的公式。然而，股價并不具有公式5-2所示的可預(yù)測性和確定性。令隨機變量定義其中，為常數(shù).第二節(jié)離散模型 2022/8/248于是，可得股價序列即設(shè)5-3.2022/8/249第二節(jié)離散模型 于是得： 5-4與式5-2相比有什么特點？包含了隨機項，因此更接近實踐！.2022/8/2410第二節(jié)離散模型 該模型有一個優(yōu)點，包含

3、了隨機變量；但存在一個缺乏之處，即有兩個不確定項。第一個漂移項來自中的，其作用類似于債券第二個漂移項來自于當(dāng)然希望期望的一切的漂移來自于一個方面，即和貨幣基金市場中的利率.2022/8/2411第二節(jié)離散模型 為能對模型進展規(guī)范正態(tài)變換，并對不確定性進展合并。對進展重新定義：為什么？.2022/8/2412第二節(jié)離散模型 于是隨機變量Z 的一個重要等式5-5第二個要素表示的隨機變量的漂移率為零.2022/8/2413第二節(jié)離散模型 假設(shè)令：那么：由于：進一步.2022/8/2414第二節(jié)離散模型 式5-6的分析：股票的初始價錢；漂移因子復(fù)利因子；隨機因子；修正因子。那么5-6.第二節(jié)離散模型

4、2022/8/2415特別留意：模型5-6雖然也是一種離散模型，但比二叉樹模型具有更豐富的意義。由于允許取任何正值為什么？.2022/8/2416第二節(jié)離散模型 當(dāng)時能否否！.第二節(jié)離散模型 式5-6中將時間分成小的增量，并思索步運轉(zhuǎn)的影響，一段固定的時間 可以分成許多小時間段。 現(xiàn)實上，針對同樣的時間，可以分成不同的個區(qū)間。 應(yīng)該留意到：隨著的添加，的方差 會添加。為了使得的總方差獨立于，需求對常量 隨 進展調(diào)整。2022/8/2419.第二節(jié)離散模型 可以在和之間建立一個關(guān)系式，使得的方差等于2022/8/2420即令：于是式5-6其中.2022/8/2421第二節(jié)離散模型 對數(shù)正態(tài)模型為

5、什么？ 5-7：闡明長期趨勢；：闡明動搖率。這兩個參數(shù)如何影響股價？.2022/8/2424第三節(jié)延續(xù)模型的分析 5-8式中，由此得到的就是股價的幾何布朗運動模型GBM。方程5-1的解幾何布朗運動式5-8與具有延續(xù)時間變量T的離散模型5-7一樣。方程5-1是一個SDE，普通SDE沒有簡約的封鎖方式的解。.2022/8/2425第三節(jié)延續(xù)模型的分析 特別留意：目的：對期權(quán)進展定價.第三節(jié)延續(xù)模型的分析 2022/8/2426幾何布朗運動參數(shù)估計：思緒：用樣本均值和方差來替代總體的均值和方差假設(shè)知在一段較長時間0,T內(nèi)的股價數(shù)據(jù) ，這段時間由n個長度相等的子區(qū)間所構(gòu)成，假設(shè)知第個子區(qū)間末的股價，那

6、么樣本觀測值有n+1.2022/8/2427第三節(jié)延續(xù)模型的分析 計算時間序列值：由于5-9第一步.2022/8/2428第三節(jié)延續(xù)模型的分析 應(yīng)該留意到：于是，實際上.2022/8/2429第三節(jié)延續(xù)模型的分析 樣本均值：樣本方差：根據(jù)式5-9的觀測值的均值為方差為。第二步.2022/8/2430第三節(jié)延續(xù)模型的分析 解方程：得第三步.2022/8/2431第三節(jié)延續(xù)模型的分析 普通閱歷法那么是設(shè)定度量動搖率的時期等于將運用動搖率所對應(yīng)的時期。 .第三節(jié)延續(xù)模型的分析 習(xí)題：以下是包鋼股票2007年3月20日到2007年3月23日半小時價，請以天為時間單位計算。3月20日3月21日3月22日

7、3月23日5.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.255.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.245.275.535.685.245.265.565.682022/8/2432.假設(shè)：證券價錢遵照幾何布朗運動，即和為常數(shù)；允許賣空；沒有買賣費用和稅收，一切證券都是完全可分的；在衍生證券有效期內(nèi)標的證券沒有現(xiàn)金收益支付；不存在無風(fēng)險套利時機；證券買賣是延續(xù)的，價錢變動也是延續(xù)的；在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2022/8/2433第四節(jié)Black-Sc

8、holes公式 .第四節(jié)Black-Scholes公式 2022/8/2434由Black-Scholes公式，歐式看漲期權(quán)的價錢5-10式中股票現(xiàn)價期權(quán)價錢規(guī)范正態(tài)分布函數(shù)期權(quán)的執(zhí)行價錢間隔到期的時間.2022/8/2435第四節(jié)Black-Scholes公式 能否留意到，這一公式中沒有出現(xiàn)漂移率： 參數(shù)是投資者在短時間后獲得的預(yù)期收益率，依靠于某種股票的衍生證券的價值普通獨立于。 參數(shù)是股票價錢動搖率。.2022/8/2436第四節(jié)Black-Scholes公式 Black-Scholes定價系統(tǒng)在完全市場中得到期權(quán)價錢與漂移率無關(guān)，被稱為風(fēng)險中性定價方法，無套利是這種定價的根本假設(shè)。 B

9、lack-Scholes方程的結(jié)果以為，由于在方程中消掉了漂移項，而漂移項代表人們對證券價錢未來變化的預(yù)期，也即證券的風(fēng)險期望收益率。因此，這意味著期權(quán)的價錢與人們對證券價錢未來變化的預(yù)測無關(guān)，投資者的風(fēng)險偏好并不影響期權(quán)價錢。.從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價值決議公式中出現(xiàn)的變量為標的證券當(dāng)前市價S、時間t、證券價錢的動搖率和無風(fēng)險利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨立于客觀變量風(fēng)險收益偏好。而受制于客觀的風(fēng)險收益偏好的標的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決議公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個可以大大簡化我們的任務(wù)的風(fēng)險中性假設(shè)：在對衍生證券定價時，一切投資者都

10、是風(fēng)險中性的。2022/8/2437第四節(jié)Black-Scholes公式 .所謂風(fēng)險中性，即無論實踐風(fēng)險如何，投資者都只需求無風(fēng)險利率報答。風(fēng)險中性假設(shè)的結(jié)果：投資者進入了一個風(fēng)險中性世界一切證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率一切現(xiàn)金流量都可以經(jīng)過無風(fēng)險利率進展貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。雖然風(fēng)險中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的一切情況。也就是說，我們在風(fēng)險中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適宜于現(xiàn)實世界。2022/8/2438第四節(jié)Black-Scholes公式 .2022/8/2439第四節(jié)B

11、lack-Scholes公式 應(yīng)該留意的是：實踐期權(quán)買賣中，很多看漲期權(quán)是經(jīng)過競價市場而非實際公式定價。.第四節(jié)Black-Scholes公式 習(xí)題：假設(shè)某日某股票的相關(guān)數(shù)據(jù)如下，求V2022/8/2440.第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 一、修正的模型主要思緒：讓模型定價等于市價2022/8/2441資產(chǎn)組合：a股價錢為S0的股票現(xiàn)金b那么投資額為： 5-11經(jīng)過時間后，投資的資金將變?yōu)椋?2022/8/2442第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 5-12用無風(fēng)險利率r 貼現(xiàn)得于是.2022/8/2443第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 對式5-12兩邊求期望，

12、那么假設(shè)以下條件成立那么 5-13 5-14由此，即使a值變化，上式總是成立。.2022/8/2444第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 采用股價模型替代真正股價，方差堅持不變 ，且滿足下式于是對于任何用來復(fù)制的投資組合，存在下式如今的問題是，能否存在這樣的？.2022/8/2445第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 假設(shè)令 5-15于是.2022/8/2446第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 即為什么？因此，修正的股價模型為： 5-16.2022/8/2447第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 修正模型看上去與GBM模型非常接近，但其與股價模型是完全不同的模

13、型，由于該模型中股價的增長率被人為設(shè)低了。.第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 二、期望值對歐式看漲期權(quán)：2022/8/2448將式5-16代入得.第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 2022/8/2449假設(shè)那么用于是.2022/8/2450第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 根據(jù)期望的概念如何求積分？.三、兩個積分2022/8/2451第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 由求得.2022/8/2452第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 將上述積分展開成兩部分第二部分.2022/8/2453第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 第一部分.2022

14、/8/2454第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 變量代換，那么 .2022/8/2455第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 所以積分式的第二項等于將上述第一項和第二項的結(jié)果代入，得.2022/8/2456第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 其中.第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 金融產(chǎn)品今天的價值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)： 其中，由于風(fēng)險中性定價， E是風(fēng)險中性世界中的期望值。一切的利率都運用無風(fēng)險利率：包括期望值的貼現(xiàn)率和對數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率。 要求解這個方程，關(guān)鍵在于到期的股票價錢ST，我們知道它服從對數(shù)正態(tài)分布，且其中一切的利率運用無風(fēng)險利率，因

15、此，2022/8/2457.上式的右邊求值是一個積分過程，求得：Nx為規(guī)范正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)即這個變量小于x的概率。這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式 2022/8/2458第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) . 首先，N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。2022/8/2459第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) .第五節(jié)Black-Schole

16、s公式的推導(dǎo) 其次， 是復(fù)制買賣戰(zhàn)略中股票的數(shù)量，SNd1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)那么是復(fù)制買賣戰(zhàn)略中負債的價值。最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)Asset-or-noting call option多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)cash-or-nothing option空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)的價值， -e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)空頭的價值。 2022/8/2460.資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)：假設(shè)標的資產(chǎn)價錢在到期時低于執(zhí)行價錢，該期權(quán)沒有價值；假設(shè)高于執(zhí)行價錢，那么該期權(quán)支付一個等于資產(chǎn)價

17、錢本身的金額，因此該期權(quán)的價值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)：假設(shè)標的資產(chǎn)價錢在到期時低于執(zhí)行價錢，該期權(quán)沒有價值；假設(shè)高于執(zhí)行價錢，那么該期權(quán)支付1元， 由于期權(quán)到期時價錢超越執(zhí)行價錢的概率為N(d2) ，1份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t)N(d2) 。2022/8/2461第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) .2022/8/2462第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價歐式看漲期權(quán)的價錢與歐式看跌期權(quán)的價錢有關(guān)假設(shè)賣空一份帶拋補的看漲期權(quán)以S 的價錢買入一股股票以C 的價錢賣出一份看漲期權(quán)，執(zhí)行價為X同時又買了一份價錢為P 的看跌期權(quán)，執(zhí)

18、行價為X到期時間和執(zhí)行價與看漲期權(quán)一樣.2022/8/2463第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價那么當(dāng)期于是.2022/8/2464第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價 對于具有與歐式看漲期權(quán)定價一樣參數(shù)的歐式看跌期權(quán)定價平價公式將歐式看漲期權(quán)定價的Black-Scholes公式代入，得：即.第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價t=0t=TST3.133.13ST2.9ST2.9賣武鋼認購權(quán)證（執(zhí)行價2.9元）C2.9-ST2.9-ST0買武鋼股票-S0STSTST買武鋼認沽權(quán)證（執(zhí)行價3.13元）-P03.13-ST3.13-ST借入現(xiàn)金2.9/(1+r)t/365-2.9-2.9-2.9現(xiàn)金流C-P-S0+2.

19、9/(1+r)t/36503.13-ST0.232022/8/2465.2022/8/2466附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2467命題1:對于0,T 上具有一樣執(zhí)行價錢q的歐式和美式期權(quán)，存在附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2468命題2:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，那么存在：附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2469命題3:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，那么存在：附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2470命題4:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，那么存在：附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2471推論1:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，那么美式看漲

20、期權(quán)不應(yīng)提早執(zhí)行。推論2:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，對于一樣執(zhí)行價錢和一樣到期日的美式和歐式看漲期權(quán)存在：附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2472命題5:在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，假設(shè)在美式看跌期權(quán)有效的有效期內(nèi)的某個存在那么該美式看跌期權(quán)應(yīng)該在時辰執(zhí)行。附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2473命題6:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，那么歐式看漲和看跌期權(quán)的價錢滿足：習(xí)題:假設(shè)看漲和看跌期權(quán)的行權(quán)價不同，那么這一關(guān)系該如何表達？附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2474命題7:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，那么美式看漲和看跌期權(quán)的價錢滿足：附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2475命題8:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票有紅利配發(fā)，記：附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2476附：期權(quán)的簡單特征.2022/8/2477命題9:假設(shè)標的股票