2021-2022學(xué)年蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性 同步專題提升訓(xùn)練 【含答案】

1、2021年蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性同步專題提升訓(xùn)練1在等邊ABC所在的平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有（）A1個(gè)B4個(gè)C7個(gè)D10個(gè)2如圖所示，ABC是等邊三角形，且BDCE，115，則2的度數(shù)為（）A15B30C45D603如圖，ABC是等邊三角形，BCBD，BAD20，則BCD的度數(shù)為（）A50B55C60D654下列條件不能得到等邊三角形的是（）A有兩個(gè)內(nèi)角是60的三角形 B有一個(gè)角是60的等腰三角形C腰和底相等的等腰三角形 D有兩個(gè)角相等的等腰三角形5如圖，四邊形ABCD中，CD3，AD5，AC的垂直平分線交AD于E，則

2、CDE的周長(zhǎng)是（）A6B8C9D106如圖，在四邊形ABCD中，AB60，D90，AB2，則CD長(zhǎng)的取值范圍是（）ACDBCD2C1CD2D0CD7如圖，在正方體的兩個(gè)面上畫(huà)了兩條對(duì)角線AB，AC，則BAC等于（）A60B75C90D1358如圖，在四邊形ABCD中，ABAC，ABD60，ADB78，BDC24，則DBC（）A18B20C25D159如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ以下五個(gè)結(jié)論：ADBE；PQAE；APBQ；DEDP； AOB60其中正確的結(jié)論的個(gè)

3、數(shù)是（）A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)10如圖等邊三角形ABC中，ABACBC10cm，DC4cm點(diǎn)M、N都以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段BA上由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，BMN是一個(gè)直角三角形，則t的值（）ABC或D或11如圖，點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，且ODAC，OEAB，OFBC，則OD+OE+OF 12如圖，在正ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，將ADE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則BDF+CEF 13如圖，直線a，b過(guò)等邊三角形ABC頂點(diǎn)A和C，且ab，142，則2的度數(shù)為 14在下列結(jié)論中：有

4、三個(gè)角是60的三角形是等邊三角形；有一個(gè)外角是120的等腰三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60，且是軸對(duì)稱的三角形是等邊三角形；有一腰上的高也是這腰上的中線的等腰三角形是等邊三角形其中正確的是 15如圖，在ABC中，ABAC，D，E是ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分BAC，EBCE60，若BE9cm，DE3cm，則BC cm16如圖，在ABC中，B60，EDCBAC，且D為BC中點(diǎn)，DECE，則AE：AB的值為 17已知如圖等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OPOC，下面結(jié)論：APO+DCO30；OPC是等邊三角形；ACAO+AP；SABCS

5、四邊形ADCP；其中正確的有 （填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）18如圖，已知ABC中，A60，D為AB上一點(diǎn)，且AC2AD+BD，B4ACD，則DCB的度數(shù)是 19已知如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DGCE于G，CDAE求證：CGEG20如圖，在等腰ABC中，ABAC，BD為ABC平分線，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CECD，作DHBE于H，求證：H為BE的中點(diǎn)21如圖，點(diǎn)O是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，AOB110，BOCa將BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得ADC，則ADCBOC，連接OD（1）求證：COD是等邊三角形；（2）當(dāng)120時(shí)，試判斷AD與OC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）

6、探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，AOD是等腰三角形？22如圖1，在RtABC中，ACB90，A30，P為BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC邊動(dòng)點(diǎn)，分別以CP、PQ為邊做等邊PCF和等邊PQE，連接EF（1）試探索EF與AB位置關(guān)系，并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖3，在RtABC中，ACB90，Am，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC邊動(dòng)點(diǎn)，分別以CP、PQ為腰做等腰PCF和等腰PQE，使得PCPF，PQPE，連接EF要使（1）的結(jié)論依然成立，則需要添加怎樣的條件？為什么？23如圖，ABC、ADE是等邊三角形，B、C、D在同一直線上求證：（1）CEA

7、C+DC；（2）ECD6024如圖1，已知線段AB的長(zhǎng)為2a，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正APC和正PBD（1）當(dāng)APC與PBD的面積之和取最小值時(shí)，AP ；（直接寫(xiě)結(jié)果）（2）連接AD、BC，相交于點(diǎn)Q，設(shè)AQC，那么的大小是否會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)P固定，將PBD繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180），此時(shí)的大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明）25在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為ABC外一點(diǎn)，且MDN60，BDC120，BDDC探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、A

8、C上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DMDN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ；此時(shí) ；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明26學(xué)完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點(diǎn)M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BMCN，AM，BN交于點(diǎn)Q求證：BQM60度（1）請(qǐng)你完成這道思考題；（2

9、）做完（1）后，同學(xué)們?cè)诶蠋煹膯l(fā)下進(jìn)行了反思，提出了許多問(wèn)題，如：若將題中“BMCN”與“BQM60”的位置交換，得到的是否仍是真命題？若將題中的點(diǎn)M，N分別移動(dòng)到BC，CA的延長(zhǎng)線上，是否仍能得到BQM60？若將題中的條件“點(diǎn)M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點(diǎn)M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到BQM60？請(qǐng)你作出判斷，在下列橫線上填寫(xiě)“是”或“否”： ； ； 并對(duì)，的判斷，選擇一個(gè)給出證明27已知等邊ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，ABC的高為h（1）若點(diǎn)P在一邊BC上如圖，此時(shí)h30，求證：h1+h2

10、+h3h；（2）當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)如圖，以及點(diǎn)P在ABC外如圖這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)出你的猜想，并說(shuō)明理由答案1解：（1）點(diǎn)P在三角形內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)P是邊AB、BC、CA的垂直平分線的交點(diǎn)，是三角形的外心；（2）分別以三角形各頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑，交垂直平分線的交點(diǎn)就是滿足要求的每條垂直平分線上得3個(gè)交點(diǎn)，再加三角形的垂心，一共10個(gè)故具有這種性質(zhì)的點(diǎn)P共有10個(gè)故選：D2解：在ABD和BCE中，ABDBCE，1CBE，21+ABE，2CBE+ABEABC60故選：D3解：ABC是等邊三角形，ABC60，ABBC，

11、BCBD，ABBD，BADBDA20，ABD1802020140，CBD80，BCDBDC（18080）50，故選：A4解：A、有兩個(gè)內(nèi)角是60的三角形是等邊三角形，不符合題意；B、有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形，不符合題意；C、腰和底相等的等腰三角形是等邊三角形，不符合題意；D、有兩個(gè)角相等的等腰三角形可能不是等邊三角形，符合題意；故選：D5解：AC的垂直平分線交AD于E，AECE，CDE的周長(zhǎng)是：DE+CD+CEDC+DE+AEDC+AD3+58故選：B6解：延長(zhǎng)AD，BC交于E，AB60，ABE是等邊三角形，過(guò)B作BFAE于F，AB2，BF，D90，CDBF，CD長(zhǎng)的取值范圍是0

12、CD，故選：D7解：連接BC，如圖，AB、AC和BC都是正方體的三個(gè)面的對(duì)角線，ABACBC，ABC為等邊三角形，BAC60故選：A8解：如圖延長(zhǎng)BD到M使得DMDC，ADB78，ADM180ADB102，ADB78，BDC24，ADCADB+BDC102，ADMADC，在ADM和ADC中，ADMADC，AMACAB，ABD60，AMB是等邊三角形，MDCA60，DOCAOB，DCOABO60，BAOODC24，CAB+ABC+ACB180，24+2（60+CBD）180，CBD18，故選：A9解：ABC和DCE均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上，ACBC，ECDC，BCEACD120

13、ACDECBADBE，故本選項(xiàng)正確；ACDECBCBQCAP，又PCQACB60，CBAC，BCQACP，CQCP，又PCQ60，PCQ為等邊三角形，QPC60ACB，PQAE，故本選項(xiàng)正確；ACBDCE60，BCD60，ACPBCQ，ACBC，DACQBC，ACPBCQ（ASA），CPCQ，APBQ，故本選項(xiàng)正確；已知ABC、DCE為正三角形，故DCEBCA60DCB60，又因?yàn)镈PCDAC+BCA，BCA60DPC60，故DP不等于DE，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；ABC、DCE為正三角形，ACBDCE60，ACBC，DCEC，ACB+BCDDCE+BCD，ACDBCE，ACDBCE（SAS），CADC

14、BE，AOBCAD+CEBCBE+CEB，ACBCBE+CEB60，AOB60，故本選項(xiàng)正確綜上所述，正確的結(jié)論是故選：C10解：由題意得，CM3t，BN3t，則BM103t，當(dāng)BMN90時(shí)，B60，BNM30，BMBN，即103t3t，解得，t，當(dāng)BNM90時(shí)，BNBM，即103t23t，解得，t，綜上所述，當(dāng)t或時(shí)，BMN是一個(gè)直角三角形，故選：D11解：連接OA、OB、OC，過(guò)A作AQBC于Q，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ABACBC2，BQCQ1，由勾股定理得：AQ，SABCSABO+SBCO+SACO，+，2（OE+OF+OD），解得：OD+OE+OF，故12解：ABC為正三角形A

15、BC60折疊ADEFDEDFEA60B+BDF+BFD180，DFE+BFD+CFE180BDF+BFD120，BFD+CFE120BDFCFECFE+CEF+C180CFE+CEF120BDF+CEF120故12013解：如圖，ABC是等邊三角形，BAC60，142，ab，21+BAC42+60102；故10214解：有三個(gè)角是60的三角形是等邊三角形，正確；有一個(gè)外角是120的等腰三角形是等邊三角形，正確；有一個(gè)角是60，且是軸對(duì)稱的三角形是等邊三角形，正確有一腰上的高也是這腰上的中線的等腰三角形是等邊三角形，正確；故答案為15解；過(guò)點(diǎn)E作EFBC，垂足為F，延長(zhǎng)AD到H，交BC于點(diǎn)H，過(guò)

16、點(diǎn)D作DGEF，垂足為GEFBC，EBF60，BEF30，BF，BED60，BEF30，DEG30又DGEF，GD，ABAC，AD平分BAC，AHBC，且BHCHAHBC，EFBC，DGEF，四邊形DGFH是矩形FHGD1.5BC2BH2（4.5+1.5）12解法二：延長(zhǎng)ED交BC于M，證明BEM是等邊三角形，推出BMBE9cm，證明HM3cm可得結(jié)論故1216解：DECEEDCC，EDCBAC，EDCBACC，B60，ABC及DCE是等邊三角形，D為BC中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，AE：AB1：2故1：217解：如圖，連接OB，ABAC，BDCD，AD是BC垂直平分線，OBOCOP，APOA

17、BO，DBODCO，ABO+DBO30，APO+DCO30故正確；OBP中，BOP180OPBOBP，BOC中，BOC180OBCOCB，POC360BOPBOCOPB+OBP+OBC+OCB，OPBOBP，OBCOCB，POC2ABD60，POOC，OPC是等邊三角形，故正確；在AB上找到Q點(diǎn)使得AQOA，則AOQ為等邊三角形，則BQOPAO120，在BQO和PAO中，BQOPAO（AAS），PABQ，ABBQ+AQ，ACAO+AP，故正確；作CHBP，HCB60，PCO60，PCHOCD，在CDO和CHP中，CDOCHP（AAS），SOCDSCHPCHCD，CDBD，BDCH，在RtABD

18、和RtACH中，RtABDRtACH（HL），SABDSAHC，四邊形OAPC面積SOAC+SAHC+SCHP，SABCSAOC+SABD+SOCD四邊形OAPC面積SABC故錯(cuò)誤故18解：如圖延長(zhǎng)AB到E使BEAD，連接CE，AEAD+DB+BE2AD+BD，AC2AD+BD，AEAC，A60，AEC是等邊三角形，EACE60，B4ACD，設(shè)ACDx，則ABC4x，在ADC與EBC中，ADCEBC，ACDECBx，ABCE+BCE，4x60+x，x20，BCD60202020，故2019證明：如圖，連接DE，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DEABAECD，DGCE于G，由“等腰

19、三角形三線合一”知，CGEG20證明：ABAC，ABCSCB，BD平分ABC，ABDCBD，CECD，CDEE，ACBE+CDE2DBC，DBCE，BDE為等腰三角形，BDED，DH垂直于BE，H為BE中點(diǎn)（三線合一）21證明：（1）ADCBOC，COCD，將BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得ADC，DCO60，COD是等邊三角形（2）解：ADOC，理由是：DOC是等邊三角形，CDODOC60，120，COBCDA，ADCCOB120，ADO1206060，ADODOC60，ADOC（3）解：AOD360AOBCOD36011060190，ADOADCCDO60，OAD180AODADO180

20、（60）（190）50，若ADOAOD，即60190，解得：125；若ADOOAD，則6050，解得：110；若OADAOD，即50190，解得：140；即當(dāng)a為125或110或140時(shí)，AOD是等腰三角形22解：（1）EFABPCF和PQE都是等邊三角形，PFPC，PEPQ，EPF+FPQQPC+FPQ60，EPFQPC，PFEPCQ；EPFQPC90，EFPF；在RtABC中，ACB90，A30，B60；又FPC60，BFPC，PFAB（同位角相等，兩直線平行），EFAB；（2）當(dāng)點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）結(jié)論成立證明：PCF和PQE都是等邊三角形，PFPC，PEPQ，EPF+E

21、PCQPC+EPC60，EPFQPC，PFEPCQ；EFPQCP90，EFPF；在RtABC中，ACB90，A30，B60；又FPC60，BFPC，PFAB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），EFAB；（3）要使（1）的結(jié)論依然成立，則需要添加條件是：CPFBQPE需要證明PFEPCQ、PFAB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），才能證明EFAB23證明：（1）ABC、ADE是等邊三角形，AEAD，BCACAB，BACDAE60，BAC+CADDAE+CAD，即：BADCAE，BADCAE，BDEC，BDBC+CDAC+CD，CEBDAC+CD；（2）由（1）知：BADCAE，ACEABD60，ECD180A

22、CBACE60，ECD6024解：（1）設(shè)AP的長(zhǎng)是x，則BP2ax，SAPC+SPBDxx+（2ax）（2ax）x2ax+a2，當(dāng)xa時(shí)APC與PBD的面積之和取最小值，故a；（2）的大小不會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，理由：APC是等邊三角形，PAPC，APC60，BDP是等邊三角形，PBPD，BPD60，APCBPD，APDCPB，APDCPB，PADPCB，QAP+QAC+ACP120，QCP+QAC+ACP120，AQC18012060；（3）此時(shí)的大小不會(huì)發(fā)生改變，始終等于60理由：APC是等邊三角形，PAPC，APC60，BDP是等邊三角形，PBPD，BPD60，APCBPD，APDCPB，APDCPB，PADPCB，QAP+QAC+ACP120，QCP+QAC+ACP120，AQC1801206025解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NCMN，此時(shí) ，理由：DMDN，MDN60，MDN是等邊三角形，ABC是等邊三角形，A60，BDCD，BDC120，DBCDCB30，MBDNCD90，DMDN，BDCD，RtBDMRtCDN，BDMCDN30，BMCN，DM2BM，DN2CN，MN2BM2CNBM+CN；AMAN，AMN是等邊三角形，ABAM+BM，AM：AB2：