新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 5.2.1　三角函數(shù)的概念 學(xué)案

1、5.2三角函數(shù)的概念5.2.1三角函數(shù)的概念核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義.2.能利用三角函數(shù)的定義,判斷正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào).3.通過(guò)任意角的三角函數(shù)的定義理解終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等.1.通過(guò)對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)定義的理解與運(yùn)用,重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).2.通過(guò)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)和公式一的應(yīng)用,進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).在初中,我們通過(guò)直角三角形的邊角關(guān)系,學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切這三個(gè)三角函數(shù),如圖所示.定義sin =對(duì)邊斜邊,cos =鄰邊斜邊,tan =對(duì)邊鄰邊

2、.探究:該定義中的三個(gè)三角函數(shù),對(duì)于同樣大的一個(gè)銳角來(lái)說(shuō),如果三角形的大小發(fā)生了改變,其三角函數(shù)值是否也改變呢?提示:不變.1.任意角的三角函數(shù)的定義問(wèn)題1-1 如圖,銳角的終邊與單位圓的交點(diǎn)是P(x,y),你能否用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示sin ,cos ,tan ?這一結(jié)論能否推廣到是任意角時(shí)的情形呢?提示:根據(jù)初中所學(xué)在直角三角形中正弦、余弦、正切的定義,得sin =y,cos =x,tan =yx(x0),這一結(jié)論能推廣到是任意角時(shí)的情形.問(wèn)題1-2 如果角的終邊落在y軸上,這時(shí)其終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么?sin ,cos ,tan 的值是否還存在?提示:終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)或

3、(0,-1),這時(shí)tan 的值不存在,因?yàn)榉帜覆荒転榱?但sin ,cos 的值仍然存在.梳理1任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,R,它的終邊OP與單位圓交于點(diǎn) P(x,y)續(xù)表定義正弦把點(diǎn)P的縱坐標(biāo) y叫做的正弦,記作sin ,即sin =y余弦把點(diǎn)P的橫坐標(biāo) x叫做的余弦,記作cos ,即cos =x正切把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值yx叫做的正切,記作tan ,即tan =yx(x0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)2.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)問(wèn)題2 根據(jù)三角函數(shù)的定義,各個(gè)三角函數(shù)值是用單位圓上點(diǎn)

4、的坐標(biāo)表示的,當(dāng)角在不同象限時(shí),其與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)就不同,因此其各個(gè)三角函數(shù)值的正負(fù)就不同,你能推導(dǎo)出sin ,cos ,tan 在不同象限內(nèi)的符號(hào)嗎?提示:當(dāng)在第一象限時(shí),sin 0,cos 0,tan 0;當(dāng)在第二象限時(shí),sin 0,cos 0,tan 0;當(dāng)在第三象限時(shí),sin 0,cos 0;當(dāng)在第四象限時(shí),sin 0,tan 0得角的終邊在第一或第二象限;由cos =-450得角的終邊在第二或第三象限.綜上,角所在的象限是第二象限.故選B.3.sin(-476)=,cos 193=.解析:sin(-476)=sin(-8+6)=sin 6=12,cos 193=cos(6+3

5、)=cos 3=12.答案:12124.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(5,a),且tan =-125,則a=,sin +cos 的值為.解析:根據(jù)三角函數(shù)的定義,tan =a5=-125,所以a=-12.所以P(5,-12),r=13,所以sin =-1213,cos =513,從而sin +cos =-713.答案:-12-713三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例1 設(shè)a0,角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(-3a,4a),求sin +2cos 的值.解:因?yàn)辄c(diǎn)P在單位圓上,則|OP|=1,即(-3a)2+(4a)2=1,解得a=15.因?yàn)閍0,所以a=-15,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(35,-45),所以sin =-45,c

6、os =35,所以sin +2cos =-45+235=25.變式訓(xùn)練1-1 若將本例中“a0,則r=5a,且sin =yr=4a5a=45,cos =xr=-3a5a=-35,所以sin +2cos =45-235=-25.若a0),則sin =yr,cos =xr,tan =yx.已知的終邊求的三角函數(shù)值時(shí),用這幾個(gè)公式更方便.(2)當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí),一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別,若正、負(fù)未定,則需分類討論.三角函數(shù)值的符號(hào)探究角度1根據(jù)確定的角確定其函數(shù)值符號(hào)例2 確定下列各值的符號(hào).(1)cos 260;(2)sin(-3);(3)tan(-67220);(4)tan

7、 103.解:(1)因?yàn)?60是第三象限角,所以cos 2600.(2)因?yàn)?3是第四象限角,所以sin(-3)0.(4)由103=43+2,可知103是第三象限角,所以tan 1030.即時(shí)訓(xùn)練2-1:判斷下列各式的符號(hào).(1)tan 191-cos 191;(2)sin 2cos 3tan 4.解:(1)因?yàn)?91是第三象限角,所以tan 1910,cos 1910.(2)因?yàn)?是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,所以sin 20,cos 30,所以sin 2cos 3tan 40,tan0或cos0.因?yàn)閏os 0,所以是第一或第四象限角或終邊在x軸的正半軸上的角.因?yàn)閠an

8、0,tan0的角是第四象限角.同理可判斷滿足cos0的角是第三象限角.所以滿足cos 與tan 異號(hào)的角是第三或第四象限角.(2)因?yàn)閏os 與sin 同號(hào),所以cos0,sin0或sin0,cos0且cos 0,則是第一象限角.若sin 0且cos 0且tan 0或cos 0且tan 0且tan 0時(shí),是第一象限角;當(dāng)cos 0且tan 0且sin 0或cos 0.當(dāng)cos 0且sin 0時(shí),是第四象限角;當(dāng)cos 0時(shí),是第二象限角.故cos 與sin 異號(hào)時(shí),是第二或第四象限角.確定角所在的象限,應(yīng)分別根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定所在象限后取交集.誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用例4 求下列各式的值.(1)

9、cos 253+tan(-154);(2)sin 810+tan 1 125+cos 420.解:(1)原式=cos(8+3)+tan(-4+4)=cos 3+tan 4=12+1=32.(2)原式=sin(2360+90)+tan(3360+45)+cos(360+60)=sin 90+tan 45+cos 60=1+1+12=52.即時(shí)訓(xùn)練4-1:求值.(1)tan 405-sin 450+cos 750;(2)sin 73cos(-236)+tan(-154)cos 133.解:(1)原式=tan(360+45)-sin(360+90)+cos(2360+30)=tan 45-sin 9

10、0+cos 30=1-1+32=32.(2)原式=sin(2+3)cos(-4+6)+tan(-4+4)cos(4+3)=sin 3cos 6+tan 4cos 3=3232+112=54.誘導(dǎo)公式(一)的實(shí)質(zhì)是:終邊相同的角,其同名三角函數(shù)的值相等.因?yàn)檫@些角的終邊都是同一條射線,根據(jù)三角函數(shù)的定義可知這些角的三角函數(shù)值相等.其作用是可以把任意角轉(zhuǎn)化為0360之間的角.例1 若sintan0且cos tan 0,則的終邊落在第一象限或第四象限;又cos tan 0,則為第一象限角,r=2a,所以sin =3a2a=32,cos =a2a=12,tan =3aa=3.若a0,cos 2300,

11、所以sin 105cos 2300.(2)因?yàn)?780,tan 780,所以sin 78tan 780.(3)因?yàn)?260,tan 60,所以cos 6tan 60.(4)因?yàn)?32,所以sin 40,所以sin 4tan(-234)0.例4計(jì)算下列各式的值:(1)sin(-1 395)cos 1 110+cos(-1 020)sin 750;(2)sin(-116)+cos 125tan 4.解:(1)原式=sin(-4360+45)cos(3360+30)+cos(-3360+60)sin(2360+30)=sin 45cos 30+cos 60sin 30=2232+1212=64+14

12、=1+64.(2)原式=sin(-2+6)+cos(2+25)tan(4+0)=sin 6+cos 250=12.1.(多選題)若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,-1),則下列各式正確的是(AD)(A)tan =1(B)sin =-1(C)cos =22(D)sin =-22解析:由點(diǎn)P(-1,-1)的坐標(biāo)計(jì)算可得r=(-1)2+(-1)2=2,則sin =-12=-22,cos =-12=-22,tan =-1-1=1.故選AD.2.已知點(diǎn)P(tan ,sin )在第三象限,則角的終邊在(D)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:由點(diǎn)P(tan ,sin )在第三象限,可得tan0,sin0,所以角的終邊在第四象限.故選D.3.co