青海省海南州高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷

1、外裝訂線請不要在裝訂線內(nèi)答題內(nèi)裝訂線青海海南州高級中學(xué)2022屆高三上學(xué)期理數(shù)摸底考試試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合A=x|9-4x20，B=x|x0，則AB=( ) A.x|0 x32 B.x| -32x0C.x| -94xcaB.abcC.bacD.cba5.2sin12sin512cos6= （ ） A.32B.34C.14D.126.設(shè)x，x+10，x-5依次是等比數(shù)列an的前三項，則an=( ) A.83(-32)nB.-4 (-32)nC.83(-32)n-1D.-4 (32)n-17.已知命題p

2、：是直線x+(m2+1)y-1=0的傾斜角，命題q：cos2= -45 ，則命題p是命題q的( ) A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)f(x)=ex-ax在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為( ) A.(-，0)B.(-，0C.(0，+)D.0，+)9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 x 的值為（ ） A.13B.14C.15D.1610.已知f(x)=sin( 2 +x)cos( 2 -x)-cos2x+3tan 254 ，則（ ） A.f(x)的最小正周期為 2B.f(x)的對稱軸方程為x= 34 +k(kZ)C.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k

3、- 8 ，k+ 38 (kZ)D.當(dāng)x0， 2 時，f(x)的值域為3， 5+22 11.如圖正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面面積為36，A1B1C1的面積為6 59 ，則三棱錐B-A1B1C1的外接球的表面積為（ ） A.68B.100 3 C.172D.10 6 12.已知實軸長為2 2 的雙曲線C： x2a2-y2b2 =1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點B為雙曲線C虛軸上的一個端點，則BF1F2的重心到雙曲線C的漸近線的距離為（ ） A.13B.23C.33D.23二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.下圖是某校10個班的一

4、次統(tǒng)考數(shù)學(xué)成績平均分，則其平均分的中位數(shù)是14.若 (x2+ax)6 的展開式中x3的系數(shù)為160，則a=15.已知等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn和Tn ， 若 a8b8=43 ，則 S15T15 =16.過拋物線W：x2=8y的焦點F作直線l與拋物線交于A，B兩點，則當(dāng)點A，B到直線x-2y-4=0的距離之和最小時，線段AB的長度為三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答17.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3asin Bcos A+ 2bsin A=0 （1）.

5、求cos A； （2）.若a= 21 ，b2+c2=13，求ABC的面積 18.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C中，ACAB，AC=AB=4，AA1=6，點E，F(xiàn)分別為CA1與AB的中點 （1）.證明：EF平面BCC 1B1； （2）.求B1F與平面AEF所成角的正弦值 19.新高考取消文理科，實行“3+3”模式，成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機(jī)調(diào)查50人，并把調(diào)查結(jié)果制成下表：年齡（歲）15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)頻數(shù)515101055了解4126

6、521（1）.把年齡在15,45)稱為中青年，年齡在45,75)稱為中老年，請根據(jù)上表完成22列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)？了解新高考不了解新高考總計中青年中老年總計附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) .P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（2）.若從年齡在55,65)的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為X，求X的分布列以及E(X) . 20.已知函數(shù)f(x)=ax3-3ln x （1）.若a=1，證明：f(x)1； （2）.討論f(x)的單調(diào)性

7、21.已知橢圓氣 x2a2+y2b2 =1(ab0)的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 過點F1的直線在y軸上的截距為1，且與橢圓交于M，N兩點，F(xiàn)2到直線MN的距離為 2 ，橢圓的離心率為 12（1）.求橢圓的方程； （2）.若點P的坐標(biāo)為(0，m)， PMPN 437 m- 877 ，求PMN面積的最大值 四、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為2-2 2 sin(+ 4 )=0 （1）.求圓C的直角坐標(biāo)方程； （2）.若直線l的參數(shù)方程是 x=4+ty=kt (t為參數(shù))，直線l與圓C相切，求k的值

8、 五、選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)f(x)=|x-1|，函數(shù)g(x)=m-|x| （1）.當(dāng)m=3時，求不等式f(x)g(x)的解集； （2）.若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍 答案解析部分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合A=x|9-4x20，B=x|x0，則AB=( ) A.x|0 x32 B.x| -32x0C.x| -94x0得 -32x32 ，所以A=x| -32x32 ， B=x|x0，所以AB=x|- 32caB.abcC.bacD.cba【答案】 A【考點】指

9、數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點 【解析】【解答】a=ln0.5 1，00.60.21，0c1，則acb 【分析】利用已知條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再利用與特殊值對應(yīng)的指數(shù)與對數(shù)大小關(guān)系比較，從而比較出a,b,c的大小。5.2sin12sin512cos6= （ ） A.32B.34C.14D.12【答案】 B【考點】二倍角的正弦公式，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值 【解析】【解答】 2sin12sin512cos6=232sin12cos(2-512)=3sin12cos12=32sin6=34 。 故答案為：B. 【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的正弦公式，從而求出2

10、sin12sin512cos6的值。6.設(shè)x，x+10，x-5依次是等比數(shù)列an的前三項，則an=( ) A.83(-32)nB.-4 (-32)nC.83(-32)n-1D.-4 (32)n-1【答案】 A【考點】等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的性質(zhì) 【解析】【解答】x(x-5)=(x+10)2 ，x=-4，x+10=6，公比q= -32 ， an=-4( -32 )n-1= 83 ( -32 )n 故答案為：A。 【分析】利用已知條件結(jié)合等比中項公式，從而求出x的值，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列的定義求出公比，再利用等比數(shù)列的通項公式，從而求出等比數(shù)列的通項公式。7.已知命題p：是直線x+(m2+1)y

11、-1=0的傾斜角，命題q：cos2= -45 ，則命題p是命題q的( ) A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】 D【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【解析】【解答】對命題p：因為是直線x+(m2+1)y-1=0的傾斜角， 所以tan= -11+m2 ，因為m2+11，所以tan- 1，對命題q：因為cos2= cos2a-sin2asin2a+sin2a=1-tan2a1+tan2a所以： 1-tan2a1+tan2a=-45 ，解得tan=3，因此命題p是q的既不充分也不必要條件?！痉治觥坷靡阎獥l件結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，從而

12、推出命題p是q的既不充分也不必要條件。8.已知函數(shù)f(x)=ex-ax在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為( ) A.(-，0)B.(-，0C.(0，+)D.0，+)【答案】 B【考點】函數(shù)恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【解析】【解答】f (x)=ex-a，若y= f(x)是增函數(shù)，則exa在R上恒成立，所以a0 故答案為：B 【分析】利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合已知條件函數(shù)f(x)=ex-ax在R上是增函數(shù)，從而求出實數(shù)a的取值范圍。9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 x 的值為（ ） A.13B.14C.15D.16【答案】 C【考點】程序框圖的三種基本邏輯結(jié)

13、構(gòu)的應(yīng)用 【解析】【解答】第一次運(yùn)行， x=2 是偶數(shù)， x=2+3=5 ， 第二次運(yùn)行， x=5 是奇數(shù)， x=5+2=712 ，終止運(yùn)行，輸出 x=15 。故答案為：C. 【分析】利用已知條件結(jié)合程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)，從而求出輸出的x的值。10.已知f(x)=sin( 2 +x)cos( 2 -x)-cos2x+3tan 254 ，則（ ） A.f(x)的最小正周期為 2B.f(x)的對稱軸方程為x= 34 +k(kZ)C.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k- 8 ，k+ 38 (kZ)D.當(dāng)x0， 2 時，f(x)的值域為3， 5+22 【答案】 C【考點】函數(shù)的值域，函數(shù)的單

14、調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，三角函數(shù)的周期性及其求法，圖形的對稱性 【解析】【解答】因為 f(x)=sin( 2 +x)cos( 2 -x)-cos2 x+ 3tan 254= 12 sin2x- 12 cos2x+ 52= 22 sin(2x- 4 )+ 52所以f(x)的最小正周期為 22 =，所以A錯誤；由2x- 4 =k+ 2 (kZ)，得x= 38+k2 (kZ)，即f(x)的圖象的對稱軸方程為x= 38+k2 (kZ)，所以B錯誤；由2k- 2 2x- 4 2k+ 2 (kZ)，得k- 8 xk+ 38 (kZ)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k- 8 ，k+ 38 (kZ)，所以C正確；因為x

15、0， 2 ，所以2x- 4 - 4 ， 34 所以sin(2x- 4 ) -22 ，1所以f(x)2， 5+22 ，所以D選項錯誤 故答案選C?！痉治觥坷枚督堑恼夜胶陀嘞夜剑倮幂o助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式，從而求出正弦型函數(shù)的最小正周期；再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖像求出正弦型函數(shù)的對稱軸，并判斷出正弦型函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；從而求出當(dāng)x0， 2 時的正弦型函數(shù)f(x)的值域，進(jìn)而找出正確的選項。11.如圖正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面面積為36，A1B1C1的面積為6 59

16、，則三棱錐B-A1B1C1的外接球的表面積為（ ） A.68B.100 3 C.172D.10 6 【答案】 C【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征，球的體積和表面積 【解析】【解答】設(shè)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為h， 因為正方形ABCD的面積為36，所以A1B1=B1C1=6，在RtA1B1C1中，由勾股定理得A1C1=6 2 ，在RtBCC1中，由勾股定理得BC12=h2+36，因為A1BC1的面積為6 59 ，所以 126236+h2-(32)2=659 ，解得h=10，依題意，三棱錐B-A1B1C1的外接球即為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球，其半徑為R= 1262+62+10

17、2=43 ，所以三棱錐B-A1B1C1的外接球的表面積4( 43 )2= 172?！痉治觥吭O(shè)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為h，再利用正方形ABCD的面積為36，從而結(jié)合正方形的面積公式，所以A1B1=B1C1=6，在RtA1B1C1中，由勾股定理得A1C1的值，在RtBCC1中，由勾股定理得BC12=h2+36，再利用三角形A1BC1的面積為6 59 結(jié)合三角形的面積公式得出h的值，依題意，三棱錐B-A1B1C1的外接球即為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球，再結(jié)合勾股定理求出外接球的半徑，再利用球的表面積公式，進(jìn)而求出三棱錐B-A1B1C1的外接球的表面積。12.已知實軸長

18、為2 2 的雙曲線C： x2a2-y2b2 =1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點B為雙曲線C虛軸上的一個端點，則BF1F2的重心到雙曲線C的漸近線的距離為（ ） A.13B.23C.33D.23【答案】 A【考點】雙曲線的應(yīng)用 【解析】【解答】2a=2 2 ，c=2，a=b= 2 ，不妨設(shè) B(0， 2 )，則BF1F2的重心為G(0， 23 )，而雙曲線C的漸近線方程為y=x，且G(0， 23 )到直線y=x的距離為 13 ，則BF1F2的重心到雙曲線C的漸近線的距離為 13。 【分析】利用實軸長為2 2 的雙曲線C得出a的值，再利用雙曲線C： x2a2-

19、y2b2 =1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)，從而求出c的值，再利用雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式，從而求出b的值，進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出雙曲線的漸近線方程，再利用三角形重心的求解方法求出三角形的重心坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式，從而求出三角形BF1F2的重心到雙曲線C的漸近線的距離。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.下圖是某校10個班的一次統(tǒng)考數(shù)學(xué)成績平均分，則其平均分的中位數(shù)是【答案】 101.43【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【解析】【解答】由圖知，10個班的數(shù)學(xué)成績從小到大排列為92.97，96.72 ，98.96，9

20、9.75，100.13，102.73，104.45，108.02，109.42，109.87， 所以其平均分的中位數(shù)是 100.13+102.732 = 101.43?！痉治觥坷靡阎恼劬€圖中的數(shù)據(jù)，再結(jié)合中位數(shù)的求解方法，進(jìn)而求出其平均分的中位數(shù)。14.若 (x2+ax)6 的展開式中x3的系數(shù)為160，則a=【答案】 2【考點】二項式定理的應(yīng)用 【解析】【解答】由已知得Tr+1=C6r(x2)6-r( ax )r=C6r(a)rx12-3r ， 故當(dāng)r=3時，12-3r=3，于是有T4=C63a3x3= 160 x3 ， 則a3=8，所以a=2。 【分析】利用二項式定理求出展開式中的通項

21、公式，再利用通項公式求出 (x2+ax)6 的展開式中x3的系數(shù)，從而利用已知條件 (x2+ax)6 的展開式中x3的系數(shù)為160， 進(jìn)而求出a的值。15.已知等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn和Tn ， 若 a8b8=43 ，則 S15T15 =【答案】43【考點】等差數(shù)列的前n項和，等差數(shù)列的性質(zhì) 【解析】【解答】 S15T15=15(a1+a15)215(b1+b15)2=2a82b8=a8b8=43。 【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，從而求出S15T15的值。16.過拋物線W：x2=8y的焦點F作直線l與拋物線交于A，B兩點，則當(dāng)點A，B到直線x-2

22、y-4=0的距離之和最小時，線段AB的長度為【答案】172【考點】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，點到直線的距離公式，拋物線的應(yīng)用 【解析】【解答】依題意，拋物線W的焦點F(0，2)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2， 由 x2=8yy=kx+2 ，可得x2-8kx- 16=0，設(shè)A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，則x1+x2=8k，所以y1+y2=k(x1+x2)+4=8k2 +4，則線段AB的中點坐標(biāo)M(4k，4k2 +2)，M到直線x-2y-4=0的距離為d= |4k-2(4k2+2)-4|5=|8k2-4k+8|5 ， 則點A，B到直線x-2y-4=0的距離之和2d= 2|8k2-4k

23、+8|5=8（2k2-k+2)5 ， 當(dāng)k= 14 時，d取最小值，此時|ABI=y1+y2+p=8 116 +4+4= 172?！痉治觥恳李}意，拋物線W的焦點F(0，2)，設(shè)直線l的斜截式方程為y=kx+2，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達(dá)定理和代入法，得出x1+x2=8k，y1+y2=8k2 +4，再利用中點坐標(biāo)公式得出線段AB的中點坐標(biāo)M(4k，4k2 +2)，再利用點到直線的距離公式得出M到直線x-2y-4=0的距離，從而求出點A，B到直線x-2y-4=0的距離之和，再利用二次函數(shù)的圖像求最值的方法，進(jìn)而求出當(dāng)點A，B到直線x-2y-4=0的距離之和最小時的線段AB的長度。

24、三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答17.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3asin Bcos A+ 2bsin A=0 （1）.求cos A； （2）.若a= 21 ，b2+c2=13，求ABC的面積 【答案】 （1）解： 3asin Bcos A+ 2bsin A=0， 3abcos A+ 2ab=0， 則cos A=- 23（2）a2=b2+c2- 2bccos A， 又a= 21 ，b2+c2=13，21=13+ 43 bc bc= 6 由(1)可知sin A=

25、 53從而ABC的面積S= 12 bcsin A= 5 -【考點】正弦定理，余弦定理，三角形中的幾何計算 【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合正弦定理，從而求出角A的余弦值。 （2）利用已知條件結(jié)合余弦定理得出bc的值，再利用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積。18. 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C中，ACAB，AC=AB=4，AA1=6，點E，F(xiàn)分別為CA1與AB的中點 （1）.證明：EF平面BCC 1B1； （2）.求B1F與平面AEF所成角的正弦值 【答案】 （1）證明：如圖，連接AC1 ， BC1因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，所以E為AC1的中點 又因為F為AB的

26、中點，所以EFBC1又EF 平面BCC1B1 ， BC1 平面BCC1B1 ， 所以EF平面BCC1B1（2）解：以A1為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-xyz， 則A(0，0，6)， B1(0，4，0)， E(2，0，3)，F(xiàn)(0，2，6)，所以 B1F =(0，-2，6)， AE =(2，0，-3)， AF =(0，2，0)設(shè)平面AEF的法向量為n=(x，y，z)，則 nAE=2x-3z=0nAF=2y=0 令x=3，得n=(3，0，2)記B1F與平面AEF所成角為，則sin = |cos| = |B1Fn|B1F|n|=313065【考點】直線與平面平行的判定，用空間向量求直線與平

27、面的夾角 【解析】【分析】（1） 連接AC1 ， BC1 ， 再利用三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，所以E為AC1的中點，再利用F為AB的中點，再結(jié)合中點作中位線的方法和中位線的性質(zhì)，從而推出線線平行，所以EFBC1，再利用線線平行證出線面平行，從而證出EF平面BCC1B1。 （2） 以A1為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-xyz， 從而求出點的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求向量夾角的公式結(jié)合誘導(dǎo)公式，從而求出B1F與平面AEF所成角的正弦值。19.新高考取消文理科，實行“3+3”模式，成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試

28、科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機(jī)調(diào)查50人，并把調(diào)查結(jié)果制成下表：年齡（歲）15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)頻數(shù)515101055了解4126521（1）.把年齡在15,45)稱為中青年，年齡在45,75)稱為中老年，請根據(jù)上表完成22列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)？了解新高考不了解新高考總計中青年中老年總計附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) .P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（2）.若從年齡在55,65)的被調(diào)查者

29、中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為X，求X的分布列以及E(X) . 【答案】（1）22列聯(lián)表如圖所示，了解新高考不了解新高考總計中青年22830中老年81220總計302050K2=50(2212-88)302020305.563.841，所以有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián).（2）年齡在55,65)的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)X可能取值為0，1，2，P(X=0)=C33C53=110,P(X=1)=C21C31C53=610=35，P(X=2)=C22C31C53=310 .所以X的分布列為X01

30、2P11035310E(X)=0110+135+2310=65 .【考點】獨立性檢驗的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【解析】【分析】（1）利用已知條件完成 22 列聯(lián)表，再利用獨立性檢驗的方法，從而判斷出有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián)。 （2） 由題意，得出年齡在 55,65) 的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，從而得出抽取的3人中了解新高考的人數(shù) X 可能取值為0，1，2，再利用組合數(shù)公式結(jié)合古典概型求概率公式，從而求出隨機(jī)變量X的分布列，再利用隨機(jī)變量的分布列結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式，從而求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。 20.已知函

31、數(shù)f(x)=ax3-3ln x （1）.若a=1，證明：f(x)1； （2）.討論f(x)的單調(diào)性 【答案】 （1）證明：若a=1，則f(x)=x3-3Inx，f (x)=3x2- 3x = 3(x3-1)x若x1，f (x)0；若0 x1，f (x)0所以f(x)min= f(1)=1，從而f(x)1（2）解：f (x)=3ax2- 3x = 3ax3-3x 當(dāng)a0時，f(x)0時，令f(x)0，得x ；令f(x)0得0 x0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0， )，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ，+)【考點】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【解析

32、】【分析】（1）利用a的值求出函數(shù)的解析式，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，進(jìn)而證出不等式 f(x)1成立。 （2）利用已知條件結(jié)合分類討論的方法，從而結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。21.已知橢圓氣 x2a2+y2b2 =1(ab0)的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 過點F1的直線在y軸上的截距為1，且與橢圓交于M，N兩點，F(xiàn)2到直線MN的距離為 2 ，橢圓的離心率為 12（1）.求橢圓的方程； （2）.若點P的坐標(biāo)為(0，m)， PMPN 437 m- 877 ，求PMN面積的最大值 【答案】 （1）解：設(shè)F1(-c，0)(c0)，因為過點F

33、的直線在y軸上的截距為1， 所以直線MN的方程為 x-c +y=1，即y= 1c x+1，因為F2到直線MN的距離為 2 ，所以 21c2+1=2 ，解得c=1，因為e= 12 ，所以 1a = 12 ，所以a=2，因為b2=a2-c2=4- 1=3， 所以橢圓的方程為 x24+y23 =1（2）設(shè)M(x1 ，y1)，N(x2 ， y2)， 由(1)知直線MN的方程為y=x+ 1，由 x24+y23=1y=x+1 ，消去y得7x2 + 8x- 8=0，由韋達(dá)定理得x1+x2= -87 ，x1x2= -87由y1+y2= -87 +2= 67 ，y1y2=x1x2+x1+x2+1= -87-87

34、 +1= -97因為P(0，m)， PMPN 437 m- 877所以 PMPN =(x1 ， y1-m) (x2 ， y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2= -87-97 - 67 m+m2=m2- 67 m- 177所以m2- 67 m- 177 437 m- 877 ，解得2m5，-由弦長公式得|MN|= 2(-87)2-4(-87)=247由兩點間的距離公式得P到直線MN的距離h= |m-1|2所以SPMN= 12 |MN|h= 127|m-1|2=627|m-1|所以SPMN的最大值是 2427【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題 【解析】【分析】（1） 設(shè)F1(-c，0)(c0)，因為過點F的直線在y軸上的截距為1，所以直線MN的方程為 x-c +y=1，即y= 1c x+1，再利用F2到直線MN的距離為 2 結(jié)合點到直線的距離公式，從而求出c的值，再利用橢圓的離心率e= 12 結(jié)合離心率公式，從而求出a的