圖形的折疊問題北師大版

1、圖形的折疊問題（復(fù)習(xí)課）1 幾何研究的對象是：圖形的形狀、大小、位置關(guān)系； 主要培養(yǎng)三方面的能力：思維分析能力、空間想象能力和邏輯推理能力； 折疊型問題的特點(diǎn)是：折疊后的圖形具有軸對稱圖形的性質(zhì)； 兩方面的應(yīng)用：一、在“大小”方面的應(yīng)用；二、在“位置”方面的應(yīng)用。2 折疊型問題在“大小”方面的應(yīng)用，通常有求線段的長，角的度數(shù)，圖形的周長與面積的變化關(guān)系等問題。一、在“大小”方面的應(yīng)用1、求線段與線段的大小關(guān)系例1 如圖，AD是ABC的中線，ADC=45，把ADC沿AD對折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，求BC與BC之間的數(shù)量關(guān)系。解 由軸對稱可知 ADC ADC , ADC=ADC=45, CD=CD=

2、BDBCD為Rt BC=2 BD= BC223練習(xí)1 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ） (A)2 (B)3 (C )4 (D)5例2 如圖，折疊矩形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，則EC的長是 。解 設(shè)EC=x，則DE=8-x，由軸對稱可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3B4練習(xí)2 如圖，在梯形ABCD中，DCAB，將梯形對折，使點(diǎn)D、C分別落在AB上

3、的D、C處，折痕為EF。若CD=3，EF=4，則AD+BC= 。2練習(xí)3 如圖，將矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，若AB=3，則折痕AE的長為（ ）。 (A) 33/2 (B) 33/4 (C ) 2 (D) 23EC52、求角的度數(shù)例3 將長方形ABCD的紙片，沿EF折成如圖所示；已知EFG=55，則FGE= 。70練習(xí)4 如圖，矩形ABCD沿BE折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的F點(diǎn)處，如果ABF=60，則CBE等于（ ）。 (A)15 (B)30 (C )45 (D)60A63、求圖形的全等、相似和圖形的周長例4 如圖，折疊矩形ABCD一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的一

4、點(diǎn)F處，已知折痕AE=55 cm，且tanEFC=3/4. (1)求證：AFBFEC； (2)求矩形ABCD的周長。證明：（1）B=C=D=90，又根據(jù)題意RtADERtAFE,AFE=90 , AFB=FEC ,AFBFEC.7解（2）由tanEFC=3/4，設(shè)EC=3k，則FC=4k，在RtEFC中，得EF=DE=5k。DC=AB=8k, 又ABFFCE, = 即 =ABBF8kBFFCCE4k3k BF = 6k , AF = 10k在RtAEF中, AF2+EF2 = AE2 (10k)2 + (5k)2 = (55)2 , k2 = 1 , k = 1 , k = 1 (取正值),矩

5、形的周長為36k，即36cm。8練習(xí)5 如圖，將矩形紙片ABCD沿一對角線BD折疊一次（折痕與折疊后得到的圖形用虛線表示），將得到的所有的全等三角形（包括實線、虛線在內(nèi)）用符號寫出來。練習(xí)6 如圖，矩形紙片ABCD，若把ABE沿折痕BE上翻，使A點(diǎn)恰好落在CD上，此時，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的長和寬。答案：ABDCDB, CDBEDB, EDBABD, ABFEDF.答案：矩形的長為10，寬為8。94、求線段與面積間的變化關(guān)系例5 已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC的長為10，B和C都為銳角，M為AB上的一動點(diǎn)(M與A、B不重合)，過點(diǎn)M作MNBC，交AC于點(diǎn)N，設(shè)MN=

6、x. (1)用x表示AMN的面積SAMN。 (2)AMN沿MN折疊，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于AMN對稱的點(diǎn)為A，AMN與四邊形BCMN重疊部分的面積為y.試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；當(dāng)x為何值時，重疊部分的面積y最大，最大為多少？10解（2）AMNAMN，設(shè)AMN中MN邊上的高為h1，AEF中EF邊上的高為h2.EFMN,AEFAMN. AMNABC, AEFABCABC中BC邊上的高h(yuǎn)=5,h1:x=5:10,h1= x .又h2=2h1-5=x-5, = ( )2,SAEF=( )225=(x-5)2SAEFSABCh25X-55y=SAMN-SAEF= x2-(x-5)2= -

7、 x2+10 x 25.當(dāng)點(diǎn)A在四邊形BCNM內(nèi)或在BC邊上（如圖1），即0 x5時，y= x2。圖1當(dāng)點(diǎn)A在四邊形BCNM外，即5x10時，y=SAMN-SAEF（如圖2）圖211綜上所述，當(dāng) 0 x5 時，y= x2；當(dāng)5 x 10 時，y = - x2+10 x - 25。 當(dāng)0 x5 時, 取x=5 ，y最大= 52=254；當(dāng) 5 x 254 , x=203 時,y最大=253 .12練習(xí)7 如圖，把一張邊長為a的正方形的紙進(jìn)行折疊，使B點(diǎn)落在AD上，問B點(diǎn)落在AD的什么位置時，折起的面積最小，并求出這最小值。O解： 如圖，設(shè)MN為折痕，折起部分為梯形EGNM，B、E關(guān)于MN對稱，所

8、以BEMN，且BO=EO，設(shè)AE=x，則BE= 。由RtMOB ，得： ，BM= = = .作NFAB于F，則有RtMNF ,FM=AE=x,從而CN=BM-FM= = 。S梯形BCNM= 。=(x-a/2)2+3/8 a2 . 當(dāng)x=a2 時，Smin=(38 )a2.13例6 將長方形ABCD的紙片，沿EF折成如圖所示，延長CE交AD于H，連結(jié)GH。求證：EF與GH互相垂直平分。二、在“位置”方面的應(yīng)用 由于圖形折疊后，點(diǎn)、線、面等相應(yīng)的位置發(fā)生變化，帶來圖形間的位置關(guān)系重新組合。1、線段與線段的位置關(guān)系證明：由題意知FHGE，F(xiàn)GHE， 。又 ，四邊形 是 ，F(xiàn)E與GH互相垂直平分。14

9、2、點(diǎn)的位置的確定例7 已知：如圖，矩形AOBC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OA分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3)，OAB=60，以AB為軸對折后，使C點(diǎn)落在D點(diǎn)處，求D點(diǎn)坐標(biāo)。x y 解由題意知，OA=3，OAB=60，OB=3tan60=33 .RtACBRtADB, AD=AC=OB=33 .xy過點(diǎn)D作Y軸垂線，垂足為E，在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3/23 ，- 3/2）。15練習(xí)8 如圖，在直角三角形ABC中，C=90，沿著B點(diǎn)的一條直線BE折疊這個三角形，使C點(diǎn)與AB邊上的一點(diǎn)D重合。當(dāng)A滿足什么條件時，點(diǎn)D恰好是AB的中點(diǎn)？寫出一個你

10、認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB中點(diǎn)。條件：A=30證明：由軸對稱可得，BCEBDE， BC=BD ，在ABC中， C=90 ，A=30 ， BC= AB ， BD = AB ，即點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)。16； 聚星娛樂 vcg49wfv 仍然還是斷了線的珠子側(cè)耳聽著門外平車轱轆碾著石子路“咣當(dāng)咣當(dāng)”的聲音越來越遠(yuǎn)，秀兒撫摸著耿正昨晚送給她的那支滑溜無比的橘黃色笛子，眼淚止不住嘩嘩地流淌下來。秀兒長這么大，第一次感到了刻骨銘心的痛昨晚她和耿正出了耿家小院兒后，不約而同地朝著村南的一棵大槐樹走去。這棵大槐樹的樹干雖然沒有多么粗，但樹冠很大，樹杈里經(jīng)常會有山雀做窩。小的時候，耿正經(jīng)常爬上樹杈里為

11、秀兒掏鳥蛋玩兒。大槐樹的旁邊，還有幾棵人們后來散栽的楊柳樹，它們就好像不聽話的孩子一樣，沒規(guī)沒矩地胡亂站在那里。小的時候，每當(dāng)炎熱的夏日里在野外瘋玩兒時，耿正就會從這些楊柳樹上折一些軟軟細(xì)細(xì)的嫩枝條，親手編一個漂亮的“涼帽”給秀兒戴在頭上?！皼雒薄钡闹車h蕩著許多翠綠翠綠的鮮嫩樹葉，這些清涼的樹葉輕輕地?fù)嶂銉旱哪槪娣O了。帶著這樣的“涼帽”，即使在陽光下奔跑，也不用擔(dān)心會曬黑了臉。有耿正親手編的“涼帽”，秀兒的臉永遠(yuǎn)都是白白凈凈的。大槐樹下有幾塊兒平整光滑的大石頭，是大人們專門搬來擺放在那里的。大槐樹的周圍有不少耕地，人們在地里勞作的時間長了感到乏累時，就會來到大槐樹下，坐在這些石頭上歇息

12、一會兒，然后再去地里接著干活兒。小的時候，秀兒和耿正經(jīng)常坐在這些大石頭上，高高興興地分享各自帶來的美食：秀兒娘做的五香炒面豆、秀兒姥娘家的香瓜、耿正娘煮的茶葉蛋、耿正姥娘家的大餅有時候，耿正會把剛聽爹講的那些天南地北的有趣兒故事轉(zhuǎn)述給秀兒聽，給秀兒吹笛子，尤其是那些剛跟爹學(xué)會的小曲兒；或者拿根樹枝，把剛學(xué)會的字寫在大石頭旁邊的土地上教給秀兒念，教秀兒怎么寫他們的童年，永遠(yuǎn)都是歡笑和快樂；但昨天晚上，秀兒哭了，而且是有生以來第一次那么痛心地哭當(dāng)他們默默地在那塊最平整光滑的大石頭上坐下來后，耿正出神地凝望著不遠(yuǎn)處的家門好一會兒沒有說話。坐在旁邊的秀兒也不說話，只是目不轉(zhuǎn)睛地望著心愛的耿正。明亮的月光此刻被大槐樹的枝葉擋住了，耿正的面輪看起來有些模糊，但尚未成年已日漸英俊瀟灑的耿正在秀兒的心里。秀兒沒有哥哥，記得小的時候，她曾經(jīng)是那么得羨慕耿英，眼紅她有這么好的一個哥哥！然而此刻，她很高