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1、上節(jié)內(nèi)容回顧1. 定義2. 性質(zhì)( 曲線弧 的長度)(4) 與積分路徑的方向無關(guān),中值定理,對稱性質(zhì)3. 計算 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧一代,二換,三定限(上大于下) 對空間曲線L:4. 應(yīng)用幾何:弧長,柱面?zhèn)让娣e物理:質(zhì)量,質(zhì)心,轉(zhuǎn)動慣量,引力練習(xí)題弧長例11. 有一半圓弧其線密度 解:故所求引力為求它對原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量(2) 求它的質(zhì)心 .解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).(2)(1)例12質(zhì)心坐標(biāo)公式為:所以重心坐標(biāo)為:第二節(jié) 第二類曲線積分一、概念與性質(zhì)二、第二類曲線積分的計算三、第二類曲線積分的應(yīng)用四、
2、兩類曲線積分的關(guān)系一、概念與性質(zhì)1、引例: 變力沿曲線所作的功一質(zhì)點(diǎn)在連續(xù)變力作用下,沿光滑曲線L從起點(diǎn)A運(yùn)動到終點(diǎn)B,求變力 所做的功W。特例:常力沿直線所作的功“大化小” “常代變”“近似和” “取極限”解決辦法:向量函數(shù)的曲線積分1)大化小2)常代變3)近似和任取4)取極限注意:2、定義類似地定義3.存在條件:4.組合形式變力所做的功:有向弧微元向量函數(shù)的曲線積分5.特例6.性質(zhì)即對坐標(biāo)的曲線積分與路徑的方向有關(guān).(1)路徑的有向性關(guān)于積分路徑具有可加性!對封閉曲線取逆時針方向?yàn)檎较?!說明: 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !對坐標(biāo)的曲線積分不能利用積分路徑的對稱性與被積函數(shù)的
3、奇偶性簡化計算。 定積分是第二類曲線積分的特例.二、第二類(對坐標(biāo)的)曲線積分的計算計算思路:曲線積分轉(zhuǎn)化定積分特別注意:積分路徑的方程 積分路徑的方向1、若L是參數(shù)方程一代,二換,三定限(下限對應(yīng)起點(diǎn)) (上限對應(yīng)終點(diǎn)) 注:下限對應(yīng)于L的起點(diǎn)的參數(shù)值,上限對應(yīng)于L 的終點(diǎn)的參數(shù)值,下限不一定小于上限。一代,二換,三定限(與第一類曲線積分的區(qū)別)。組合形式:2、若L為一般方程:L的端點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)為a,b,則3、若積分路徑是平面曲線,類似可轉(zhuǎn)化為定積分。參數(shù)方程形式;直角坐標(biāo)形式;極坐標(biāo)形式需將它化為參數(shù)方程(選擇x,y,z中某一個為參數(shù))。即: 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧例
4、1解不能利用對稱性質(zhì)!積分路徑方程為:例2解法2:注:被積函數(shù)相同,起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同,但路徑不同積分結(jié)果不同.例3解注:被積函數(shù)相同,起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同,但路徑不同而積分結(jié)果相同.例4解在AB上:在BC上:例5解直線L的參數(shù)方程為例6. 求其中從 z 軸正向看為順時針方向.解: 取 的參數(shù)方程三、第二類曲線積分的應(yīng)用物理應(yīng)用:變力沿曲線對質(zhì)點(diǎn)所做的功變力所做的功:例7解在AB上:例8解由題意知:其中(此題的關(guān)鍵)將引力用向量表示出來路徑的參數(shù)方程:自算!有類似的牛頓-萊布尼茨公式作業(yè)P178: 1, 3, 5, 6, 7, 8設(shè)有向曲線弧L:四、 兩類曲線積分的關(guān)系有第二類曲線積分有切向量可用向量表示有向曲線元;同樣有例9.將積分化為對弧長的積分,解:其中L 沿上半圓周 例10:設(shè)曲線C為曲面與曲面從 ox 軸正向看去為逆時針方向,(1) 寫出曲線 C 的參數(shù)方程 ;(2) 計算曲線積分解: (1)(2) 原式
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