《比例線段》例習(xí)題精講與同步練習(xí)教案1

1、PAGE11PAGE11比例線段例題精講與同步練習(xí)教案1一.知識(shí)要點(diǎn)： （一）比例線段 1.線段的比：如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別是m，n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗?,其中a叫做比的前項(xiàng);b叫做比的后項(xiàng)。 2.成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段 3.比例的項(xiàng)：已知四條線段，如果 ，那么，叫做組成比例的項(xiàng)，線段，d叫做比例外項(xiàng)，線段，叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段還叫做，的第四比例項(xiàng) 4.比例中項(xiàng)：如果作為比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即a:b=b:c或 ，那么線段叫做線段和的比例中項(xiàng) （

2、二）比例的性質(zhì)： (1)比例的基本性質(zhì)： (2)反比性質(zhì)： (3)更比性質(zhì): 或 (4)合比性質(zhì): (5)等比性質(zhì): 且 (三) 平行線分線段成比例定理 1.定理: 三條平行線截兩條直線所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 2.推論: 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 3.平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊的對(duì)應(yīng)成比例。 4.如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊。 這四個(gè)定理主要提出由平行線可得到比例式;反之,有比例可得到平行線。首先要弄清三個(gè)基本圖形。 這三個(gè)基

3、本圖形的用途是: 1.由平行線產(chǎn)生比例式 基本圖形(1): 若l1/l2/l3，則 或 或 或 基本圖形(2): 若DE/BC，則 或 或 或 基本圖形(3): 若AC/BD，則 或 或 或 在這里必須注意正確找出對(duì)應(yīng)線段，不要弄錯(cuò)位置。 2由比例式產(chǎn)生平行線段 基本圖形(2):若 , , , , , 之一成立，則DE/BC。 基本圖形(3):若 , , , , , 之一成立，則AC/DB。 二. 本講內(nèi)容所需要的計(jì)算與證明方法 計(jì)算方法1.利用引入?yún)?shù)求解相關(guān)命題的方法。 2. 會(huì)利用比例式建立方程求線段的長(zhǎng)。 證明方法:會(huì)證比例式及等積式,會(huì)添加必要的輔助線求解相關(guān)命題。 三. 例題 例1

4、. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。 分析: 題目中已知三個(gè)量a,b,c的比例關(guān)系和有關(guān)a,b,c的等式,我們可以利用這個(gè)等量關(guān)系,通過(guò)設(shè)參數(shù)k, 轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的一元方程,求出k后,使得問(wèn)題得解。 解:a:b:c=3:5:7設(shè)a=3k, b=5k, c=7k2a+3b-c=286k+15k-7k=28，k=2 3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 例2:若 , 求 的值。 解:設(shè) 則x=3k, y=4k, z=5k 說(shuō)明:在這個(gè)問(wèn)題中,不必求出K的值,就可以把問(wèn)題解決了。 例3.如圖,在ABCD中,E為AB中點(diǎn), ,EF,AC相交于G,求

5、 。 分析:欲求 ,就需要有平行線,并使已知條件得以利用,雖然題目中有平行線,但無(wú)基本圖形,不能使已知條件發(fā)揮作用,需通過(guò)添加輔助線來(lái)尋找解題途徑,構(gòu)造基本圖形。 解:分別延長(zhǎng)FE,CB相交于H,(構(gòu)造出了基本圖形) 在ABCD中,AD BC,E為AB中點(diǎn)，AE=BE AD/BC，AFE=H在AEF和BEH中 在AEFBEH(AAS)AF=BH ， 設(shè)AF=k, 則FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K AD/BC，即AF/HC 說(shuō)明:此題還有其他輔助線的作法,例如分別延長(zhǎng)EF,CD相交于M。或取AC中點(diǎn)N,連結(jié)EN。 請(qǐng)同學(xué)們思考,這兩種方法構(gòu)造 了哪些基本圖形

6、,如何求出 。 例4.已知:如圖,D是ABC的AB邊的中點(diǎn),F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連結(jié)DF交AC于E點(diǎn)。 求證: EA:EC=BF:CF 分析:這是證明比例式的問(wèn)題,根據(jù)題目條件,不能直接證出要求證的比例式,并且四條線段中EC，CF在同一個(gè)三角形中,而EA,BF不在同一個(gè)三角形中,因此需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線(平行線)來(lái)構(gòu)造形成比例的基本圖形 (由平行得比例)。為了利用BF:CF,故可以過(guò)C點(diǎn)作平行線來(lái)構(gòu)造基本圖形。 證法一: 過(guò)C作CH/AB交DF于H CH/AB，即CH/BD 又CH/AD， D是AB中點(diǎn) AD=BD （等比代換）即EA:EC=BF:CF證法二: 過(guò) C作CM/FD交AB于M

7、CM/FD CM/ED D是AB中點(diǎn)AD=BD EA:EC=BF:CF (等比代換) 說(shuō)明:在上面證明過(guò)程中,我們還用到了利用相等的比進(jìn)行代換證明比例式的方法,這也是一種經(jīng)常使用的方法。本題還可以過(guò)B點(diǎn)作AC的平行線或作DF的平行線的方法來(lái)證明,請(qǐng)同學(xué)們自己來(lái)證?？傊ㄟ^(guò)作平行線得到比例是必須掌握的方法。 例5.已知:如圖,菱形ABCD內(nèi)接于AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的邊長(zhǎng)。 分析:有平行線就能得到比例線段,求線段的長(zhǎng)有時(shí)需要使用方程的思想方法來(lái)解決,本題給出了用比例式建立方程求線段長(zhǎng)的一種常見(jiàn)方法,注意掌握解題的思路。 解: 菱形ABCD內(nèi)接于AEFAB/CD,AB=BC=C

8、D=AD 設(shè) 菱形邊長(zhǎng)為x,則CD=AD=x(適當(dāng)設(shè)出未知數(shù)) AF=5DF=5-x(有關(guān)的量要用含未知數(shù)的代數(shù)式表示) CD/AB 即CD/AE 且AE=3（得到相等關(guān)系） (利用比例式建立了關(guān)于x的方程)5x=15-3x，x= (解出方程) 菱形ABCD的邊長(zhǎng)為 。 四.練習(xí): 1.已 知 ,求 的值。 2.已知:如圖,ABC中,DE/BC。AB=8,AD=5,EC=4,求AE的長(zhǎng) 3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中項(xiàng),求b的值。 4.已知線段MN是AB,CD的比例中項(xiàng),AB=4cm,CD=5cm，求 MN的長(zhǎng)。并思考3、4兩題有何區(qū)別。 5.已知:ABC中,D是BC上一點(diǎn),BD=

9、3CD,M是AD中點(diǎn),連BM延長(zhǎng)交AC于E。 求:AE:EC。 6.已 知:如圖,ABC中,CD平分ACB,DE/BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的長(zhǎng)。練習(xí)參考答案: 1. 2. 3. 4. 3、4題區(qū)別: 第3題中b是數(shù),可為正也可為負(fù); 第4題中MN為線段,只能為正。 5. 提示: 或 作DN/AC交BE于N作CO/BE交AD延長(zhǎng)線于O 或 或 作AP/BE交CB延長(zhǎng)線于P作AQ/BC交BE延長(zhǎng)線于Q 結(jié)論: AE:EC=3:4 6.DE=6(提示:用方程的思想方法)。測(cè)試選擇題1已知線段d是線段a、b、c的第四比例項(xiàng)，其中a=2cm，b=4cm，c=5cm，則d=（ ） （

10、A）1cm （B）10cm （C） （D） cm 2已知：8x+3y-5z=0，且2x-3y+z=0，那么x：y：z的值是（ ） （A）1：2：3 （B）2：3：5 （C）3：3：4 （D）2：2：3 3如圖，DEAC，EFAB，AC=14，AD：DB=3：4，則AF的長(zhǎng)是（ ） （A）6 （B）10 （C）8（D）94已知，如圖ABC中，ADBC，E是AC的中點(diǎn)。那么下列比例式成立的是（ ） （A）AB：AC=DF：BC （A）AB：AC=EF：ED （C）AB：AC=BF：FD （D）AB：AC=AC：AD 5已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線AC，BD交于O，過(guò)O作底的平行

11、線，分別與兩腰交于E，F(xiàn)，則 （A）OE= OF （B）OE=OF （C）OE=2OF （D）OE+OF=BD 答案與解析答案：1、B 2、B 3、C 4、C 5、B解析：1、答案（B）2、答案（B）解析： x：y：z=( z)：( z)：z=2：3：53、答案（C）解析：DEACCE：BE=AD：DB=3：4EFABCF：AF=CE：BE=3：4設(shè)CF=3x ，則AF=4xAC=143x+4x=14x=2CF=6AF=84、答案（C）解析：作AGBC交DF于GBF：AB=FD：DG ADCD，AGBCADC=DAG=900 E為AC的中點(diǎn)ED=EA 1=2AD為公共邊GADCDAAC=DGB

12、F：AB=FD：AC即：AB：AC=BF：FD5、答案：（B） 解析：OEAD，OE：AD=BE：ABOFAD，OF：AD=FC：CDADEFBC，AE：BE=DF：CF（AE+BE）：BE=（DF+CF）：CF即BE：AB=CF：CDOE：AD=OF：ADOE=OF 中考解析例1.( 杭州市)已知：1， ，2三個(gè)數(shù)，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)，寫出一個(gè)比例式_。評(píng)析：思路：運(yùn)用比例的基本性質(zhì)，將所添的數(shù)當(dāng)作比例式a:b=c:d中的任何一項(xiàng)即可，一題可以寫出三個(gè)數(shù)，都與1、 、2三數(shù)構(gòu)成比例。如：1: =2:2 ，1:2= :2 等(只要是含1， ，2三數(shù)的比例式即可，若是三數(shù)不含全的則不符合題意。例2

13、.(上海市)已知數(shù)3，6，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，這個(gè)數(shù)是_（只需填寫一個(gè)數(shù)）。評(píng)析：因?yàn)榇祟}是一個(gè)主觀性質(zhì)的試題，它不是求這兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)。而是讓自己寫出一個(gè)數(shù)，使三個(gè)數(shù)中的某個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，所以只要明白比例中項(xiàng)的意義，就能寫出符合條件的一個(gè)數(shù)。（結(jié)論不是唯一的。） 3 （或-3 ，或12，或 ）例 3.（河北?。┮阎喝鐖D，l1l2l3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE和EF的長(zhǎng)。評(píng)析：思路：此題關(guān)鍵是求DE，L1L2L3， ，由條件AB=3，BC=5，DF=12，DE得求。而EF=DFDE。答案：解： l1l2l3， ，即 ，DE= .EF=DF-DE=12- = .例 4.（北京市海淀區(qū)）如圖，在ABC中，MNBC，若C=68，AM：MB1：2，則MNA=_度，AN：NC_。評(píng)析：首先，想到定理的含義，再結(jié)合圖形分析（或進(jìn)行比