判斷一個(gè)數(shù)能否被幾個(gè)特殊質(zhì)數(shù)整除的方法

1、判斷在小學(xué)的時(shí)候，我們?cè)鴮W(xué)會(huì)判斷一個(gè)數(shù)能否被2,3,5整除的方法。但在有些題目的解題過(guò)程中，往往需要判斷一個(gè)數(shù)能否被11,13,17等數(shù)整除。現(xiàn)在，我介紹幾個(gè)判斷能否被幾個(gè)特殊質(zhì)數(shù)整除的方法，并證明。1）判斷一個(gè)數(shù)能否被2整除的方法只需判斷其個(gè)位數(shù)字能否被2整除。證明：任意一數(shù)abed,abed=10 xabc,d當(dāng)2|d時(shí)，210 xabe:.210 xabe+d，即2abed2）判斷一個(gè)數(shù)能否被3整除的方法只需判斷其各位數(shù)字之和能否被3整除。證明：任意一數(shù)abed當(dāng)3a,b,e,d時(shí)貝31000a,1000b,1000e,1000d3|900b,3|990e,3|999d/.31000a,

2、100b,10e,d即3abed3）判斷一個(gè)數(shù)能否被5整除的方法當(dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位為0或5時(shí)，此數(shù)能被5整除。證明：任意一數(shù)abe0或abe55|0且5|5又5abex105abd0,5abe54）判斷一個(gè)數(shù)能否被7整除的方法將此數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)字的2倍，差是7的倍數(shù)，貝原數(shù)能被7整除。證明：任意一數(shù)abed7abc2d7abc,10一20d又721d7abed5）判斷一個(gè)數(shù)能否被11整除的方法將此數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和作差，若差能被11整除，則此數(shù)能被11證明：當(dāng)有奇位數(shù)字時(shí)，對(duì)任意的數(shù)XXXX123n/11X+X+X+.+XXXX.XTOC o 1-5 h

3、z135n246n-111x,10n-1+x,10n-1+.+x,10n-1x,10n-1x,10n-113n24.x,10n-1n-111x,10n-1+x,10n一2+x,10n-3+.+x,100+xC10n-110n-3123n3X10n-1-10n-5+.+X10n-1-100-X10n-1+10n-2-X10n-1+10n-45n24-.X10-1+10n-1/.11XXX.X+XGon-110n-3)+XGon-110n-5)+X10n-110。123n35nxU0n-1+10n一2xU0n-1+10n一4.x10n-1+1024n-1.要證原命題，只需證1110n-1-10nt

4、-2a與1110-1+10n-2a11110-2a.1110n-11-10-2a即1110-110n-1-2a又1199，10-2a,1110n-1+10/.1110n-1+1099X10-2O1110n-1+10-21110n-1+10n-299，10n-41110-1+10-4.1110n-1+10n-2a+299，10-2a1110n-1+10-2a乂由n11XXXX123n當(dāng)有偶數(shù)位時(shí)，證法相似，不再作過(guò)多證明。6）判斷一個(gè)數(shù)能否被13整除的方法將此數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)字的4倍，和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。證明：對(duì)任意數(shù)abed13abc4d:.13ab

5、c,10d39d又13|39d.13abed7）判斷一個(gè)數(shù)能否被17整除的方法將此數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)字的5倍，差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。證明：對(duì)任意數(shù)abed若17abc5d貝則17abc,10一50d.17abed一51d又17|51d.17abed8）判斷一個(gè)數(shù)能否被19整除的方法將此數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)字的2倍，和是19的倍數(shù)，貝原數(shù)能被19整除。證明：對(duì)任意數(shù)abed若19abe2d貝I19abe,10d19d:.19abed19d19|19d:.19abed以上，方法我稱之為判斷法，只需判斷其個(gè)位數(shù)字即可，這種方法得益于2|

6、10,5|10。將這種方法拓展一下，我們不僅僅把眼光放在個(gè)位數(shù)字上，如果放大至兩位或三位，我們又可由4卩00,25卩00,12511000,81000得出判斷一個(gè)數(shù)是否為4,25,8,125的倍數(shù)的方法，很顯然，只需判斷末幾位數(shù)字即可，當(dāng)然，不只這幾個(gè)數(shù)，我們還可以無(wú)限拓展，從而得出判定：2a,5b(a,beN)的倍數(shù)的方法。接著再分析下，的方法，我稱之為截尾法。從證明過(guò)程中我們可以發(fā)現(xiàn)一些共同規(guī)律,將他進(jìn)一步拓展,我們可以發(fā)現(xiàn)它能夠判斷任意兩個(gè)數(shù)是否成倍數(shù)關(guān)系。假設(shè)我們判斷任意整數(shù)能否被n整除。對(duì)任意數(shù)abed，截去個(gè)位，并將個(gè)位數(shù)擴(kuò)大x倍。nab,1010 xd此x須滿足n(10 x-1)

7、dxeN，.10 x-1為個(gè)位數(shù)為9的任意一個(gè)數(shù)，而n的個(gè)位數(shù)字可能為1,3，7(其他數(shù)字可適當(dāng)縮放，變?yōu)?,3,7中的一個(gè),不影響結(jié)果)，而1，9=9,3x3=9,7x7=49，都可轉(zhuǎn)換為個(gè)位數(shù)字為9的數(shù)，.此方法能判定任兩數(shù)是否為倍數(shù)關(guān)系。例如，我們判斷3985432能否被37整除。首先，37|10 x-1，得x=26開(kāi)始計(jì)算：39854326x2=3985953985926x5=39989399826x9=423242326x2=4754726x5=177177不能被26整除.3985432不能被37整除。再如，我們判斷463594能否被29整除，首先，29|10 x-1，得x=3開(kāi)始計(jì)

8、算：463593x4=4637146373x1=46404643x0=464463x4=5853x8=2929|29,.463594能被29整除。當(dāng)然，這只是理論上的計(jì)算，但有些數(shù)字計(jì)算較繁雜，也就失去了原先的意義了。以上方法對(duì)于位數(shù)較少的數(shù)的判斷還是十分有效的，但對(duì)于位數(shù)較多的就顯得有些笨拙了，現(xiàn)在，我再來(lái)介紹一類判斷大數(shù)的方法。9）判斷一個(gè)數(shù)能否被11（以及13，7）整除的方法將此數(shù)的末三位數(shù)與三位以前的數(shù)作差，若所得差能夠被11（以及13，7）整除，那么原數(shù)也能。證明：任意一整數(shù)abcde（以11為例，其他同理）11cde一ab又1001ab0ab,1001二11,13,7.11ab0ab又由式得：11abcde10）判斷一個(gè)數(shù)能否被23（以及29，15）整除的方法將此數(shù)的末四位截去，并將剩下的數(shù)擴(kuò)大5倍，與截出的4位數(shù)作差，若差能被23（以及29，15）整除，那么，原數(shù)也能。證明：任意一整數(shù)abcde（以23為例，其他同理）235a一bcde100050005,a,10005=23,29,15.23a00005a又由式得：23abcde以上方法（，），我稱之為