3章人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)

1、第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ) 壽險(xiǎn)精算概論 利息理論 生命表和生存函數(shù) 生存年金 人壽保險(xiǎn)保費(fèi)的確定 健康和人身意外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的確定第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.1 壽險(xiǎn)精算概論基本概念保險(xiǎn)精算：運(yùn)用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)、保險(xiǎn)學(xué)及人口學(xué)等學(xué)科的知識(shí)和原理，對(duì)保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)營(yíng)管理中的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行數(shù)量分析，為保險(xiǎn)業(yè)提高管理水平、制定策略和做出決策提供科學(xué)依據(jù)和工具的一門學(xué)科。壽險(xiǎn)精算：在對(duì)人身保險(xiǎn)事故出險(xiǎn)率及出險(xiǎn)率的變動(dòng)規(guī)律加以研究的基礎(chǔ)上，考慮資金投資回報(bào)率及其變動(dòng)，根據(jù)保險(xiǎn)種類、金額、期限、保險(xiǎn)金給付方式、保險(xiǎn)費(fèi)繳納方式及保險(xiǎn)人對(duì)經(jīng)營(yíng)費(fèi)用的估計(jì)等，對(duì)投保人需繳納的保險(xiǎn)費(fèi)水平、保險(xiǎn)人在不同時(shí)期必須準(zhǔn)備

2、的責(zé)任準(zhǔn)備金以及人身保險(xiǎn)的其它方面進(jìn)行的科學(xué)精確的計(jì)算。第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.1 壽險(xiǎn)精算概論早期壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的局限性承包的對(duì)象單一，限制較多業(yè)務(wù)量小缺乏嚴(yán)密的科學(xué)基礎(chǔ)壽險(xiǎn)精算的理論淵源1693年，哈雷，世界上第一張完整的生命表辛普森，據(jù)哈雷的生命表構(gòu)造了保險(xiǎn)費(fèi)率表多德森，根據(jù)年齡的差異確定了更精確的保險(xiǎn)費(fèi)率表莫伊維，死亡法則，年金問(wèn)題1762年，世界上第一家真正的壽險(xiǎn)公司-英國(guó)公平保險(xiǎn)公司的成立標(biāo)志著現(xiàn)代壽險(xiǎn)制度的建立第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.1 壽險(xiǎn)精算概論壽險(xiǎn)精算的意義人壽保險(xiǎn)中存在著被保險(xiǎn)人生死不確定性的風(fēng)險(xiǎn)，這些風(fēng)險(xiǎn)需通過(guò)科學(xué)的方法來(lái)預(yù)測(cè)、運(yùn)用定量的方法來(lái)分析壽險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的特性（

3、收入和支出在時(shí)間上的不配比）決定了其必須要進(jìn)行大量的定量分析總之，人壽保險(xiǎn)的科學(xué)運(yùn)營(yíng)客觀上離不開精算，壽險(xiǎn)精算使人壽保險(xiǎn)的經(jīng)營(yíng)科學(xué)化，確保了經(jīng)營(yíng)的穩(wěn)定性和盈利水平壽險(xiǎn)精算的基礎(chǔ)-概率論隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)變量及其分布大數(shù)定律和中心極限定理第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論終值函數(shù)和現(xiàn)值函數(shù)A(0)：本金，常記為KI(t)：(0,t)時(shí)間區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生的利息A(t)=A(0)+I(t)=K+I(t)：終值函數(shù) (3.2.1)a(t)=A(t)/A(0)=A(t)/K：?jiǎn)挝回泿沤?jīng)t時(shí)期后的價(jià)值 (3.2.2)a(0)=1A(t)=A(0)a(t)=Ka(t) ：?jiǎn)挝回泿诺慕K值在時(shí)期之初的價(jià)值

4、：K個(gè)貨幣單位的資本的現(xiàn)值函數(shù)第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論利息計(jì)算的方法：?jiǎn)卫c復(fù)利單利法：僅對(duì)本金計(jì)息，對(duì)利息不再付息。以i表示實(shí)際利率，則其終值函數(shù)的形式為：a(t)=1+it (3.2.3)復(fù)利法：不僅對(duì)本金計(jì)息，還對(duì)產(chǎn)生的利息計(jì)息。以i表示實(shí)際利率，則其終值函數(shù)形式為： (3.2.4)利息的度量實(shí)際利率：計(jì)算利息的期間長(zhǎng)度與基本的時(shí)間單位一致，則資本在該段時(shí)間內(nèi)獲取利息的能力就是實(shí)際利率，又稱為有效利率，以i表示。 某時(shí)期內(nèi)實(shí)際利率=該時(shí)期內(nèi)得到的利息總額/本金第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論利息的度量名義利率：當(dāng)計(jì)算利息的期間長(zhǎng)度與基本的時(shí)間單位不一致時(shí)，則原

5、來(lái)規(guī)定的以基本時(shí)間單位為基礎(chǔ)的利率就是名義利率，以 表示，其中m表示在基本的時(shí)間單位內(nèi)計(jì)息的次數(shù)。名義利率和實(shí)際利率的相互轉(zhuǎn)化： (3.2.5)實(shí)際貼現(xiàn)率：若計(jì)算貼現(xiàn)額的期間長(zhǎng)度與基本的時(shí)間單位一致，實(shí)際貼現(xiàn)率就是到期末的總貼現(xiàn)額與到期日應(yīng)付額之比，以d表示。第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論利息的度量名義貼現(xiàn)率：當(dāng)計(jì)算貼息額的期間長(zhǎng)度與基本的時(shí)間單位不一致時(shí)，則原來(lái)規(guī)定的以基本時(shí)間單位為基礎(chǔ)的貼現(xiàn)率，以 表示，其中m表示在基本的時(shí)間單位內(nèi)貼現(xiàn)的次數(shù)。名義貼現(xiàn)率和實(shí)際貼現(xiàn)率的相互轉(zhuǎn)化： (3.2.6)第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論利息力利息力：簡(jiǎn)稱息力，是衡量在某個(gè)確切時(shí)點(diǎn)

6、上利率水平的指標(biāo)。通常用 表示時(shí)刻t的息力， 的定義是： (3.2.7) 本質(zhì)上，息力 表示在時(shí)刻t上的瞬時(shí)利息率，是時(shí)刻t時(shí)瞬時(shí)獲取利息的能力，它是對(duì)利息最基本的度量。根據(jù)息力的定義，對(duì)公式(3.2.7)兩邊積分得第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論利息力由上面的積分表達(dá)式可得 (3.2.8) 該式表明：投入單位貨幣的本金，在息力 已知的條件下，經(jīng)過(guò)時(shí)期t后的終值a(t)可按公式(3.2.8)計(jì)算。反過(guò)來(lái)，經(jīng)過(guò)時(shí)期t后的單位貨幣資本，在息力 已知的條件下，它在該時(shí)期之初的現(xiàn)值為 (3.2.9)第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論利率、貼現(xiàn)率和息力之間的關(guān)系 第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理

7、基礎(chǔ)3.2 利息理論現(xiàn)金流的現(xiàn)值與終值的計(jì)算現(xiàn)金流：在不同時(shí)點(diǎn)上發(fā)生的一系列的資本流出或流入已知利息率，求a(t)。設(shè)本金為1，經(jīng)過(guò)時(shí)期t后終值為：?jiǎn)卫簭?fù)利：實(shí)際利率：名義利率： 其中t既可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)。第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論現(xiàn)金流的現(xiàn)值與終值的計(jì)算已知利息率，求 。設(shè)時(shí)期t之末的終值為1， 表示時(shí)期t之初的現(xiàn)值，則：?jiǎn)卫簭?fù)利：實(shí)際利率：名義利率： 其中t既可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)。第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論現(xiàn)金流的現(xiàn)值與終值的計(jì)算已知貼現(xiàn)率，求a(t)。 單貼現(xiàn)率：復(fù)貼現(xiàn)率：實(shí)際貼現(xiàn)率：名義貼現(xiàn)率： 其中t既可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)。第3章 人身保

8、險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論現(xiàn)金流的現(xiàn)值與終值的計(jì)算已知貼現(xiàn)率，求 。 單貼現(xiàn)率：復(fù)貼現(xiàn)率：實(shí)際貼現(xiàn)率：名義貼現(xiàn)率： 其中t既可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)。第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.2 利息理論確定年金年金：在一定時(shí)期內(nèi)在相等的時(shí)間間隔上所作的一系列給付。并不局限于每年給付一次，只要相等時(shí)間間隔每次的給付額可以是固定量，也可以是非固定量確定年金：年金的一種形式，只要事先約定，就必定支付的年金。 僅與利率有關(guān)，而與人的生死無(wú)關(guān)分類：期初付年金、期末付年金 即期年金、延期年金第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.3 生命表和生存函數(shù)生命表生命表：又稱死亡表，生命表所考察的一群人是一個(gè)特定的生存集合，根據(jù)是否

9、考慮人數(shù)的隨機(jī)波動(dòng)，可分為隨機(jī)生存組和確定性生存組。 幾個(gè)基本欄目： x：被觀察的人口年齡 ：生存數(shù)，指x歲的生存人數(shù) ：死亡數(shù)，指x歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù) ：年生存率，指x歲的人在一年后仍生存的概率 ：年死亡率，指x歲的人在一年內(nèi)死亡的概率第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.3 生命表和生存函數(shù)生命表生命表的選擇 類型按對(duì)象：國(guó)民生命表、經(jīng)驗(yàn)分布表按性別：男子表、女子表、男女混合表按測(cè)定死亡率時(shí)觀察期間的取法：選擇表、綜合表、截?cái)啾戆礃I(yè)務(wù)：壽險(xiǎn)生命表、年金生命表不同壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的精算，應(yīng)結(jié)合不同分類，選擇適當(dāng)?shù)纳碜鳛轭A(yù)定死亡率的基礎(chǔ)選擇生命表作為精算基礎(chǔ)時(shí)，應(yīng)考慮生命表人群的死亡狀況與計(jì)算對(duì)象的

10、死亡狀況接近。第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.3 生命表和生存函數(shù)生存函數(shù)保險(xiǎn)領(lǐng)域常用的死亡法則 Abraham de Moivre 死亡法則： 為極限（最終）年齡 Gompertz 死亡法則： 令 ，對(duì)上式積分得 （C為常數(shù)）Makeham 死亡法則： （A、C為常數(shù)） 第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.4 生存年金生存年金：年金的一種形式，以人的生存作為年金支付的條件，按期作一連串的給付。生存年金與確定年金的聯(lián)系和區(qū)別聯(lián)系：都為年金的一種形式，有年金的特點(diǎn)和性質(zhì)區(qū)別：生存年金以特定的人的生存為給付條件；確定年金與特定的人或年金受領(lǐng)人的生死無(wú)關(guān)。生存年金的給付期間或給付次數(shù)，事先無(wú)法確定；而確定年

11、金的給付期間或給付次數(shù)，事前可以確定。生存年金的有關(guān)計(jì)算，除考慮利息率外，還必須考慮特定的人或年金受領(lǐng)人的生存率；而確定年金中的計(jì)算，一般只考慮利息率。第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.4 生存年金生存年金的分類： 終身年金：生存中終身均予給付定期生存年金：以某一特點(diǎn)期間為限+仍生存延付年金：生存一定期間或到達(dá)一定年齡后+仍生存即時(shí)年金：從訂約年度開始+生存生存年金的例子：投保人或被保險(xiǎn)人分期繳付的保險(xiǎn)費(fèi)退休年金：從退休之日開始每隔一定時(shí)期所作的一系列給付第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.5 人壽保險(xiǎn)保費(fèi)的確定保費(fèi)的概念和構(gòu)成： 保費(fèi)：保險(xiǎn)人為履行一定的保險(xiǎn)責(zé)任向投保人收取的實(shí)際金額，通常稱為“毛保費(fèi)

12、” 純（凈）保費(fèi)：恰能滿足保額支付 開業(yè)費(fèi)用、代理手續(xù)費(fèi)，法律糾 紛費(fèi)、行政管理費(fèi)、死亡調(diào)查費(fèi) 風(fēng)險(xiǎn)加成 稅收 利潤(rùn)費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.5 人壽保險(xiǎn)保費(fèi)的確定保費(fèi)的支付方式： 躉繳保費(fèi)：一次性付清定期繳納均衡保費(fèi)：定期繳納固定款額定期繳納非均衡保費(fèi)：定期繳納可變款額 保費(fèi)的計(jì)算特點(diǎn)和原則：計(jì)算特點(diǎn)：在過(guò)去資料的基礎(chǔ)上，形成對(duì)未來(lái)的預(yù)期原則：充足性：收入和成本持平公平性：視被保險(xiǎn)人的情況區(qū)別對(duì)待適量性：制定保費(fèi)時(shí)應(yīng)同時(shí)考慮雙方的利益第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.5 人壽保險(xiǎn)保費(fèi)的確定精算中：期望收支平衡原則（期望損失為零原則） 純保費(fèi)的精算現(xiàn)值=保額的精算現(xiàn)值費(fèi)用負(fù)荷毛保

13、費(fèi)的精算現(xiàn)值=保額的精算現(xiàn)值+費(fèi)用的精算現(xiàn)值毛保費(fèi)的精算現(xiàn)值=純保費(fèi)的精算現(xiàn)值+附加保費(fèi)的精算現(xiàn)值預(yù)期比率：利息率、死亡率及費(fèi)用率人壽保險(xiǎn)純保費(fèi)的確定： 躉繳純保費(fèi)的計(jì)算原則 躉繳純保費(fèi)的精算現(xiàn)值=保額的精算現(xiàn)值第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.5 人壽保險(xiǎn)保費(fèi)的確定人壽保險(xiǎn)純保費(fèi)的確定：自然保費(fèi)和均衡保費(fèi)：自然保費(fèi)是指每期按被保險(xiǎn)人當(dāng)期的出險(xiǎn)頻率計(jì)算的保費(fèi)；均衡保費(fèi)是指每期繳納相同的保費(fèi)。均衡純保費(fèi)的計(jì)算：根據(jù)等值方程可知，對(duì)保額、保險(xiǎn)期限確定的同一險(xiǎn)種來(lái)說(shuō)，躉繳純保費(fèi)的精算現(xiàn)值與均衡純保費(fèi)的精算現(xiàn)值應(yīng)相等，都等于保額的精算現(xiàn)值，所以我們可以利用已求出的躉繳純保費(fèi)來(lái)計(jì)算定期繳納均衡純保費(fèi)。即 均

14、衡純保費(fèi)的精算現(xiàn)值=躉繳純保費(fèi)的精算現(xiàn)值=保額的精算現(xiàn)值第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.5 人壽保險(xiǎn)保費(fèi)的確定人壽保險(xiǎn)附加保費(fèi)與毛保費(fèi)的確定：費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)的計(jì)算 費(fèi)用分析按經(jīng)營(yíng)過(guò)程各環(huán)節(jié)的費(fèi)用分類：承保費(fèi)（發(fā)行費(fèi)）：一般按保單來(lái)收取維持費(fèi)（攬收費(fèi)）：與費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)成比例理賠費(fèi)：一般與保額成比例一般費(fèi)用：其他費(fèi)用都?xì)w于此類 按費(fèi)用是否與保費(fèi)或保額有關(guān)分類：第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.5 人壽保險(xiǎn)保費(fèi)的確定人壽保險(xiǎn)附加保費(fèi)與毛保費(fèi)的確定：費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)的計(jì)算 費(fèi)用分析 按費(fèi)用是否與保費(fèi)或保額有關(guān)分類：每保單固定費(fèi)用：一般為常數(shù)與保費(fèi)相關(guān)的費(fèi)用：設(shè)成保費(fèi)的一定百分比與保額相關(guān)的費(fèi)用：設(shè)成保額的一

15、定百分比其他費(fèi)用通常假設(shè)均衡的費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.5 人壽保險(xiǎn)保費(fèi)的確定人壽保險(xiǎn)附加保費(fèi)與毛保費(fèi)的確定：費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)的計(jì)算 均衡費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)的計(jì)算方法：直接根據(jù)等值方程來(lái)計(jì)算費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)，遵循“收支平衡原則”，計(jì)算公式即為：費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)的精算現(xiàn)值=保額的精算現(xiàn)值+費(fèi)用的精算現(xiàn)值通過(guò)對(duì)利率和死亡率采用較穩(wěn)健的假設(shè)而在“純保費(fèi)”中設(shè)置不明顯的費(fèi)用負(fù)荷，從而得出費(fèi)用負(fù)荷毛保費(fèi)。毛保費(fèi)的計(jì)算：“收支平衡原則”； 風(fēng)險(xiǎn)和利潤(rùn)加成第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.6 健康和人身意外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的確定健康保險(xiǎn)保費(fèi)的厘定健康保險(xiǎn)保費(fèi)的影響因素發(fā)病率、利率費(fèi)用率、保單失效率營(yíng)銷方法、

16、核保理念理賠方針整體理念與目標(biāo)法律狀況經(jīng)濟(jì)狀況國(guó)家的社會(huì)保障制度醫(yī)院的管理和醫(yī)務(wù)水平第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.6 健康和人身意外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的確定健康保險(xiǎn)保費(fèi)的厘定健康保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的方法 統(tǒng)一費(fèi)率法（the flat-rate basis）階梯費(fèi)率法（the step-rate basis）一年定期法（one-year term basis）其中常用的基本方法是賠付率法（loss ratio method） 賠付率=已發(fā)生的賠付成本/已賺得的保費(fèi)均衡保費(fèi)法（equilibrium rate basis）平均年凈賠付成本=年賠付頻數(shù)平均賠付金額 第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.6 健康和人身意

17、外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的確定健康保險(xiǎn)保費(fèi)的厘定以發(fā)病率為例：初探健康保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定過(guò)程 搜集發(fā)病率的統(tǒng)計(jì)資料新公司：年凈賠付成本本公司對(duì)被保險(xiǎn)人的資料記錄行業(yè)出版物，如經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的年度報(bào)告人壽保險(xiǎn)的喪失工作能力收入附加特約等經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)團(tuán)體健康保險(xiǎn)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)搜集到的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、修正和有選擇的使用 醫(yī)療費(fèi)用的變化保險(xiǎn)前期的賠付較大保單的實(shí)效率較高第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.6 健康和人身意外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的確定健康保險(xiǎn)保費(fèi)的厘定以發(fā)病率為例：初探健康保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定過(guò)程 估計(jì)賠付頻數(shù)和平均賠付金額，確定年度凈賠付成本，計(jì)算均衡純保費(fèi)總保費(fèi)：純保費(fèi)+費(fèi)用+意外準(zhǔn)備金對(duì)一定金額的某保險(xiǎn)金，按被保險(xiǎn)人的年齡、

18、性別、職業(yè)、地區(qū)發(fā)病率、費(fèi)用、保單失效率和利率給出總保費(fèi)的估計(jì)值對(duì)估計(jì)值用現(xiàn)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)試、調(diào)整，最終確定總保費(fèi)第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.6 健康和人身意外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的確定人身意外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的厘定意外傷害保險(xiǎn)費(fèi)率 =純費(fèi)率+附加費(fèi)率計(jì)算意外傷害保險(xiǎn)費(fèi)率的一般方法首先根據(jù)被保險(xiǎn)人的危險(xiǎn)程度分類1年期意外傷害保險(xiǎn)：職業(yè)分類極短期意外傷害保險(xiǎn)：按被保險(xiǎn)人所從事的活動(dòng)性質(zhì)在對(duì)被保險(xiǎn)人分類的基礎(chǔ)上，依有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料計(jì)算費(fèi)率純費(fèi)率的計(jì)算附加費(fèi)率的計(jì)算第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.6 健康和人身意外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的確定人身意外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的厘定意外傷害保險(xiǎn)費(fèi)率 =純費(fèi)率+附加費(fèi)率計(jì)算意外傷害保險(xiǎn)費(fèi)率的一般方法純費(fèi)率的計(jì)算計(jì)算原理：被保險(xiǎn)人交納的純保險(xiǎn)費(fèi)與其所能獲得的保險(xiǎn)金額的數(shù)學(xué)期望值相等：P=E(X) 第3章 人身保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)3.6 健康和人身意外傷害保險(xiǎn)保費(fèi)的確定人