采樣周期的選取

1、8-1采樣周期的采用8-1-1采樣定理采樣定理也稱香農(nóng)(Shannon)定理,其結論如下:如果采樣角頻次s(或頻次fs)大于或等于2m(或2fm),即s2m(8-1)式中m(或fm)是連續(xù)信號頻譜的上限頻次,見圖8-1,則經(jīng)采樣獲得的脈沖序列能無失真的再恢復到原連續(xù)信號.|(j)|-m0m圖8-1連續(xù)信號頻譜從物理意義上來理解采樣定理那就是,如果選擇這樣一個采樣頻次,使得對連續(xù)信號所含的最高頻次來說,能做到在其一個周期內采樣兩次以上,則在經(jīng)采樣獲得的脈沖序列中將包含連續(xù)信號的全部信息.反之,如果采樣次數(shù)太少,即采樣周期太長,那就做不到無失真的再現(xiàn)原連續(xù)信號.8-1-2采樣周期的采用采樣周期T0

2、是數(shù)字控制系統(tǒng)設計的一個重點因素,必須恩賜充分注意.工程實踐證明,采樣周期T0根據(jù)表8-1給出的參照數(shù)據(jù)采用時,能夠取得滿意的控制效果.對于隨動系統(tǒng),采樣周期的采用在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標.在一般情況下,控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻次響應擁有低通濾波特性,當隨動系統(tǒng)輸入信號的頻次高于其閉環(huán)幅頻特性的諧振頻次r時,信號經(jīng)過系統(tǒng)將會很快衰減,而在隨動系統(tǒng)中,一般可近似認為,開環(huán)頻次響應幅頻特性的剪切頻次c與閉環(huán)頻次響應幅頻特性的諧振頻次r相當湊近,即幅頻特性的諧振頻次.也就是說,經(jīng)過隨動系統(tǒng)的控制信號的最高頻次分量,超過的分量經(jīng)過系統(tǒng)時將被大幅度的衰crcc減掉.根據(jù)工程實踐經(jīng)驗,隨動系統(tǒng)的采樣頻次s

3、可選為10sc(8-2)考慮到T=2/,則按式(8-2)采用的采樣周期0sT與系統(tǒng)剪切頻次0的關系為c1T05c(8-3)從時域性能指標來看,采樣周期T0經(jīng)過單位階躍響應的上漲時間tr及調整時間ts可按下列經(jīng)驗關系式采用,即T01tr(8-4)10T01ts40(8-5)8-2信號保持表8-1采樣周期T0的參照數(shù)據(jù)信號保持是指將離散信號脈沖序列變換成(或恢復到)連續(xù)信號的變換過程.用于控制過程采樣周期(s)流量1壓力5液面5這種變換過程的元件稱為保持器.從數(shù)學意義上來講,保持器的任務是解決各采樣時刻之間的插值問題.8-2-1零階保持器零階保持器是在數(shù)字控制系統(tǒng)中應用最寬泛的且擁有常值外推功能的

4、保持器,用符號H0來表示.也就是說,對于零階保持器有下式建立,即nT0p式中p為常值,的變化范圍是0T0.顯然,在=0時,式(8-6)也建立,這時有nT00由式(8-6)及(8-7)求得nT0nT0,0T0(8-8)說明零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器.它把前一個采樣時刻nT0的采樣值(nT0)不增不減的保持到下一個采樣時刻(n+1)T0到來以前的一瞬間.當下一個采樣時刻(n+1)T0到來時,應以(n+1)T0為常值持續(xù)外推.也就是說,任何一個采樣時刻的采樣值只能作為常值保持到下一個相鄰的采樣時刻到來以前,其保持時間顯然是一個為采樣周期T0.零階保持器的輸出信號H(t)如圖8-2所示零階

5、保持器的時域特性gH(t)如圖8-3(a)所示,它是高度為1,寬度為T0的方脈沖.高度等1,說明采樣值經(jīng)過保持器既不放大,也不衰減;寬度等于T0,說明零階保持器對采樣值只能不增不減地保持一個采樣周期.由圖求得零階保持器的傳達函數(shù)GH(s)為由式求得零階保持器的頻次響應為1eT0s從圖GHs,它并不等于采樣前8-2看到,經(jīng)由零階保持器變換獲得的連續(xù)信號擁有階梯形狀sinT0sj0的連續(xù)信號(t).平均地看,由零階保持器轉T換獲得的連續(xù)信號(圖8-2中的點劃線特性)在GHsT02e20時間上要遲后于采樣前的連續(xù)信號.式表示,這個遲后時間等于采樣周期的一半,即T/2.8-2-2一階保持器T02(nT

6、0)與(n+1)T0按線性外推規(guī)律保持脈沖序一階保持器是一種鑒于兩個采樣值列(t)的保持器.線性外推函數(shù)的斜率為,而外推函數(shù)值為*nT0n1T0T0nT0nT0n1T0nT0T0式中=t-nT0;nT0t(n+1)T0.鑒于線性外推規(guī)律獲得的一階保持器的輸出信號(t)示于圖8-4.根據(jù)輸出信號HH(t)可求取一階保持器的時域特性gH(t),并由時域特性gH(t)求得相應的頻次響應為T022sin2jT0arctgT0GHjT01T0eT02從式(8-12)可見,一階保持器的遲后相移較零階保持器的遲后相移為大,其平均相移約等于零階保持器平均相移的兩倍.因此,數(shù)字控制系統(tǒng)普遍采用零階保持器.(8-

7、6)(8-7)(8-8)(8-9)(8-10)8-3Z變換8-3-1Z變換1.設連續(xù)時間函數(shù)x(t)可進行拉氏變換,其象函數(shù)為X(s).考慮到t1,則上式可寫成下列閉式,即1z1z1z2zn1z1z1z1z1(8-18)因為式中=Res,所以條件|z|1意味著0.這也就是單位階躍函數(shù)能進行拉氏變換的條件.zeT0seT0部分分式法設連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)為復變量s的有理函數(shù),并擁有如下形式:MsXsNs其中M(s)及N(s)分別為復變量s的多項式,并且有degM(s)degN(s),以及degN(s)=n.將X(s)展開成部分分式和的形式,即nAiX(s)i1ssi式中siN(

8、s)的零點,即X(s)的極點;AMssidiN為s常系數(shù);NiNdsissi由拉氏變換知,與Ai/(s+si)項對應的原函數(shù)Aiesit,又根據(jù)式Zet1T1zT1e0zze0ZAiAizsizesiT0s便可求得因此,函數(shù)x(t)的Z變換由相函數(shù)X(s)求得為(8-20)例2.試求取擁有拉氏變換為/s(s+)的連續(xù)時間函數(shù)x(t)的Z變換.XznAizi1zesiT0解首先寫出x(t)的拉氏變換X(s)的部分分式展開式,即Xs11ssss其次對上式逐項求取拉氏變換,獲得最后根據(jù)上列時間函數(shù)逐項寫出響應的Z變換,即得連續(xù)時間函數(shù)x(t)的變換,即XzzzeTz1eT0 x(t)1(t)2T0T

9、0z1zeT01ezez留數(shù)計算法已知連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換相函數(shù)X(s)及其全部極點si(i=1,2,n),則x(t)的Z變換可經(jīng)過下列留數(shù)計算式求得,即nzXzresXsizesiT0i1n1dri1riXszssii1ri1!dsri1zesT0ssi式中ri重極點si的個數(shù);n彼此不等的極點個數(shù).常用時間函數(shù)的Z變換及其相應的拉氏變換列入表8-1.例3.試求取連續(xù)時間函數(shù)0,t0 x(t)t,t0Z變換.首先寫出x(t)的拉氏變換,即X(s)1s2由上式求得X(s)的重極點si=0,其個數(shù)ri=2,以及n=1.其次根據(jù)式(8-22)求取的Z變換,即(8-23)8-3-2Z變換的

10、基本定理1d1z(1)線性定理02Xzs2sT設連續(xù)時間函數(shù)x(t),x(t)及x(t)的Z變換分別為X(z),X(z)及X(z),0并設為常數(shù)或與1221!dss1zes02時間t及復變量z,則有T0zzZ2xtXz1(8-24)Zx1tx2tX1zX2z(8-25)(8-24)及(8-25)所表達的便是Z變換的線性定理.遲后定理設連續(xù)時間函數(shù)x(t)當t0時為零,且擁有Z變換,則有ZxtkT0zkXz(8-26)式(8-26)所示為Z變換的遲后定理,它說明當原函數(shù)x(t)在時間上產(chǎn)生k個采樣周期(kT0)的遲后時,其相應的Z變換擁有經(jīng)過z-k表示的k步負偏移或k步遲后.終值定理設連續(xù)時間函

11、數(shù)x(t)的Z變換為X(z),并設X(z)不含z=1的二重以上極點,以及在z平面單位圓外無極點,則x(t)的終值經(jīng)過其Z變換X(z)求之為limxtlimz1Xztz1(8-27)式(8-27)所表達的便是Z變換的終值定理.8-3-3Z反變換長除法將連續(xù)時間函數(shù)x(t)的Z變換X(z)展開成z-1的無窮級數(shù),即Xzx0 xT0z1x2T0z2xnT0zn(8-28)設象函數(shù)X(z)為復變量z的有理函數(shù),即式中XMzMzb1z2bzm;bzbz012NzmNza0a1z1a2z2akzk;km.經(jīng)過分子多項式M(z)除以分母多項式N(z)的長除法,可獲得擁有式(8-28)所示形式的無窮級數(shù).級數(shù)

12、中z-n項系數(shù)x(nT0)(n=0,1,2,)將是采樣脈沖序列x*(t)的脈沖強度.因此,根據(jù)x(nT0)(n=0,1,2,)便可寫出原函數(shù)x*(t),即x*txnT0tnT0n0注意應用長除法求取式(8-28)所示無窮級數(shù)時,多項式M(z)及N(z)均需寫成z-1的升冪形式.例4試求取的反變換x*(t).解由Xz10zz1z2應用長除法求得Xz10z130z270z3150z4Xz10z10z1z1z213z12z2比較式(8-28),由上獲得X(0)=0X(T0)=10X(2T0)=30X(3T0)=70因此,脈沖序列x*(t)可寫成xt10tT030t2T070t3T0150t4T0部分

13、分式法由已知的象函數(shù)X(z)求出極點z1,z2,zn,再將X(z)/z展開成部分分式和的形式,即XznAizi1zzi由X(z)/z求取X(z)的表達式X(z),即nAizXzi1zzi最后,逐項的經(jīng)過查Z變換表求取Aiz/(z-zi)對應的Z反變換,并根據(jù)這些反變換寫出與象函數(shù)X(z)對應的原函數(shù)x*(t),即xtZ1AiztnT0n0zzi(8-29)式中Z-1是對括號內的象函數(shù)求Z反變換的符號.例5試應用部分分式法求取的Z反變換.Xz10z,即z1z2解將原式展開成部分分式和的形式Xz1010zz1z2Xz10z110zzz2由上式求取,即經(jīng)過查變換表,求得Z1z1z1Z最后,寫出對應的

14、原函數(shù)為12nz2xt1012ntnT0n0其中xnT01012nn0,1,2,即由此求得X(0)=0X(T0)=10X(2T0)=30X(3T0)=70留數(shù)計算法應用留數(shù)及算法求取已知X(z)的Z反變換,首先求取x(nT0)(n=0,1,2,即),resXzzn1resXzn1xnT0z其中留數(shù)和可寫為l1dri1riXzresXzzn1riri1zzizn1i11!dzzzi式中zi(i=1,2,為,l)X(z)彼此不相等的極點,這些極點的總數(shù)為l;ri為重極點zi的重復個數(shù).其次由求得的x(nT0)可寫出與已知象函數(shù)X(z)對應的原函數(shù)脈沖序列xtxnT0tnT0n06.試求取X(z)=

15、z/(z-)(z-1)2的Z反變換.應用留數(shù)及算法求取X(z)的Z反變換.首先根據(jù)已知的X(z),經(jīng)過式(8-30)計算出x(nT0).為此,由X(z)求得其極點為z1=及z2=1,其中z1為單極點,即r1=1,z2為二重極點,即r2=2.由式(8-30)計算出最后,求得已知X(z)的Z反變換為zzn1xnT0zz12nzzn1xt1d2tn1nT02z2n0z1z1z1z8-4脈沖傳達函數(shù)21!dz12z1n變換與輸入脈沖序列的Z變換之比.如脈沖傳達函數(shù)的定義是,輸出脈沖的序列的Zn1n0,1,2,圖8-5所示開環(huán)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的連續(xù)部分的脈沖2傳達函數(shù)G(z)為2111GzZctCzZt

16、z脈沖傳達函數(shù)G(z)可經(jīng)過連續(xù)部分的傳達函數(shù)G(s)來求取.圖8-6所示為線性數(shù)字控制系統(tǒng)開環(huán)方框圖的三種形式.其中G0(s)為前向通道傳達函數(shù),H(s)為主反應通道傳達函數(shù);圖(a)為單位反應系統(tǒng)方框圖,圖(b)及(c)為非單位反應系統(tǒng)方框圖.下面分三種情況解析線性數(shù)字控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳達函數(shù).串通環(huán)節(jié)間無同步采樣開關間隔時的脈沖傳達函數(shù)8-7(a)所示串通環(huán)節(jié)間無同步采樣開關間隔時,其脈沖傳達函數(shù)G(z)=c(z)/(z)由描繪連續(xù)工作狀態(tài)的傳達函數(shù)G1(s)與G2(s)的乘積G1(s)G2(s)來求取,記為GzZG1sG2sG1G2z(8-33)設二串通環(huán)節(jié)的傳達函數(shù)分別為G1(s)

17、=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s.求取它們之間無同步采樣開關間隔時的脈沖傳達函數(shù),按式(8-33)要求,首先計算G1sG2s111s0.1s1ss10然后由G(z)=ZG1(s)G2(s)求得脈沖傳達函數(shù)z1e10T0GzG1G2z1ze10T0z對于圖(8-6)(a)所示單位反應線性數(shù)字控制系統(tǒng),其開環(huán)脈沖傳達函數(shù)GzZG0sG0z其中G0(s)能夠是若干(如m個)無同步采樣開關間隔的串通環(huán)節(jié)的等效傳達函數(shù).在這種情況下,開環(huán)脈沖傳達函數(shù)G(z)為GzZG1sG2sGmsG1G2Gmz(8-34)GzZG0sHsG0Hz對于圖(8-6)(b)所示非單位線性數(shù)字控制系統(tǒng),其開環(huán)脈沖傳

18、達函數(shù)(2)串通環(huán)節(jié)間有同步采樣開關間隔時的脈沖傳達函數(shù)8-7(b)所示串通環(huán)節(jié)間有同步采樣開關間隔時,其脈沖傳達函數(shù)G(z)=c(z)/(z)等于各串通環(huán)節(jié)的脈沖傳達函數(shù)G1(z)與G2(z)之積,即GzG1zG2z(8-35)其中G1(z)=ZG1(s)及G2(z)=ZG2(s)分別由相應的傳達函數(shù)G1(s)及G2(s)求取.設圖8-7(b)中的G1(s)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s.按式(8-35)求取它們之間有同步采樣開關間隔時的脈沖傳達函數(shù),首先需計算G1zZG1s10ze10T0zG2zZG1sz1z然后由式(8-35)求得脈沖傳達函數(shù)為10z2GzG1zG2z10T

19、0z1ze對于圖8-6(c)所示非單位反應線性數(shù)字控制系統(tǒng),由式(8-35)求得其開環(huán)脈沖傳達函數(shù)為GzZG0sZHsG0zHz其中若G0(s)為若干個環(huán)節(jié)無同步采樣開關間隔時的串通傳達函數(shù),則相應的G0(z)需按式(8-34)求取.(3)環(huán)節(jié)與零階保持器串通時的脈沖傳達函數(shù)設零階保持器的傳達函數(shù)(1-e-T0s)/s以及另一串通環(huán)節(jié)的傳達函數(shù)為G2(s),它是復變量s的有理分式.顯然,在這種情況下,兩個串通環(huán)節(jié)之間無同步采樣開關間隔.為求取總的脈沖傳達函數(shù),首先需要計算Tss1T0sG1e0eG2s1,G2sGs2sG1sG2ssG1sG2s其中直接按式(8-33)來計算G1G2(z),但由

20、G1s1seT0s1eT0sG2s.由于不是復變量s的有理分式,故不能G1sG2s1eT0sG2sG2sG2seT0s看出,G代表兩個時域特性的組合,其中-T0s是時域特性L-1G2(s)在擁有1(s)G2(s)G2(s)e時滯等于一個采樣周期T0的遲后特性.因此,鑒于Z變換的遲后定理,求得環(huán)節(jié)G2(s)與零階保持器串通時總的脈沖傳達函數(shù)為G2sGzZG1sG2sZG2sG2seT0sG2sZG2sZG2sz11z1ZG2s(8-36)式中/s.設與零階保持器串通的環(huán)節(jié)的傳達函數(shù)為G2kss其中k與為常量.按式(8-36)求得環(huán)節(jié)G2(s)與零階保持器串通的脈沖傳達函數(shù)為8-4-2線性數(shù)字控制

21、系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)11k8-8所示.首先求取在控制信號r(t)作用下線典型線性數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖如圖Gz1zZsss.從圖8-8可寫出下列關系式:性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)C(s)=G1(s)G2(s)(s)111*1z1Zks2Y(s)=H(s)C(s)2sskT01eT0z1e2z1zeT0T0eT0T0(8-37)(s)=R(s)-Y(s)由上列各式求得sRsG1sG2sHss(8-38)其中*(s)代表對偏差信號(s)進行采樣所得脈沖序列的拉氏變換,也就是離散偏差的變換,即有sz(8-39)將式(8-39)代入式(8-38),并對式(8-38)等號兩邊各項取Z變換,可得zR

22、zG1G2HzzzRz11G1G2Hz由上式求得偏差信號對于控制信號的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)為(8-40)考慮到CzCzG1G2zzG1G2zRz1G1G2Hz由式(8-40)求出被控信號對于控制信號的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)為其次,求取在擾動信號f(t)獨自作用下線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù),從8-8可寫出CzG2zFzG1G2zzCzzHzzCzG2Fz1G1G2zHz由上列二式最終求得被控制信號對于擾動信號的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)為對于單位反應線性數(shù)字控制系統(tǒng),由于,故式(8-40)(8-42)分別變成例7.試求取圖8-9所示線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù).圖中1eT0s/s為零階保持器的傳達函數(shù)

23、;k/s(s+)為連續(xù)部分的傳達函數(shù),k與均為常數(shù).z1Rz1G1G2zCzG1G2zRz1G1G2zCzG2zFz1G1G2zGzkT01eT0z1eT0T0eT02z1zeT0kGs1eT0ssss解經(jīng)過Z變換,根據(jù)開環(huán)傳達函數(shù)GzZGs1z1Z1ksss求取開環(huán)脈沖傳達函數(shù)由式(8-37)求得給定系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳達函數(shù)為由于給定系統(tǒng)是單位反應線性數(shù)字控制系統(tǒng),故由上式所示開環(huán)脈沖傳達函數(shù)根據(jù)式(8-43)及(8-44)可求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)為z2z1zeT0Rz2z2kT01eT021eT0zk1eT0T0eT02eT08-5線性數(shù)字控制系統(tǒng)的時域解析CzkT01eT0z1eT

24、0T0eT0Rz2z2kT01eT021eT0zk1eT0T0eT02eT08-5-1線性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應過程應用Z變換方法解析線性數(shù)字控制系統(tǒng),需根據(jù)其閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)C(z)/R(z),經(jīng)過給定輸入信號的Z變換R(z),求取被控制信號的Z變換C(z),最后經(jīng)Z反變換求取被控制信號的脈沖序列c*(t).c*(t)代表線性數(shù)字控制系統(tǒng)對給定輸入信號的響應過程.鑒于超調量p,調整時間ts=T0(為大于零的整數(shù),T0為采樣周期)為穩(wěn)態(tài)誤差等項性能指標,根據(jù)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應過程c*(t)便可解析系統(tǒng)的動向與穩(wěn)態(tài)性.例8.試應用Z變換方法解析圖所示線性數(shù)字控制系統(tǒng).已知r(t)=1(t)以及參

25、數(shù)k=1,=1及采樣周期T0=1s.解將已知參數(shù)k=1,=1以及采樣周期T0=1sec代入在例獲得的對于閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)(z)/R(z),C(z)/R(z)的表達式求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)為z21.368z0.368Rzz2z0.632Cz0.368z0.264Rzz2z0.632求取給定系統(tǒng)r(t)=1(t)在作用下的單位階躍響應.為此,將R(z)=z/(z-1)代入上列閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)C(z)/R(z),求得被控制信號的Z變換經(jīng)過長除法,將C(z)展成無窮級數(shù)形式,即Cz0.368z20.264z2z21.632z0.632z3C(z)=0.368z-1+z-2+1.4z-3+1.4

26、z-4+1.147z-5+0.895z-6+0.802z-7+0.868z-8+0.993z-9+1.077z-10+1.081z-11+1.032z-12+0.981z-13+0.961z-14+0.973z-15+0.997z-16+1.015z-17+1.017z-18+1.0072z-19+0.996z-20+鑒于Z變換定義,由上式求得被控制信號c(t)在各采樣時刻的函數(shù)值c(nT0)(n=0,1,2,為)C(0)=0C(7T0)=0.802C(14T0)0.961C(T0)=0.368C(8T0)=0.868C(15T0)=0.973C(2T0)=1C(9T0)=0.993C(16T

27、0)=0.997C(3T0)=1.4C(10T0)=1.077C(17T0)=1.015C(4T0)=1.4C(11T0)=1.081C(18T0)=1.017C(5T0)=1.147C(12T0)=1.032C(19T0)=1.0072C(6T0)=0.895C(13T0)=0.981C(20T0)=0.996根據(jù)上列c(nT0)(n=0,1,2,數(shù))值繪制的給定線性數(shù)字控制系統(tǒng)的單位階躍響應c*(t)如圖8-10所示.從圖求得給定系統(tǒng)的單位階躍響應的超調量p=40%,調整時間ts12s(以誤差小于5%計算).8-5-2線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性數(shù)字控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差可經(jīng)過誤差系數(shù)和輸入信

28、號及其各階導數(shù)在采樣時刻上的數(shù)值來求取.設線性數(shù)字控制系統(tǒng)響應理想單位脈沖(t)的響應誤差為K*e(t),則該系統(tǒng)響應輸入脈沖序列的響應誤差為trnT0tnT0r*n*0*t2T0etr0KetrT0KetT0r2T0KernT0Ke*tnT0響應誤差e*(t)在采樣時刻的數(shù)值為enT0r0KenT0rT0Ken1T0r2T0Ken2T0rnT0Ke0考慮到t0時r(t)=0,上式可寫成enT0KekT0rnkT0k0若系統(tǒng)的輸入信號r(t)對于所有的t,前m階導數(shù)均存在,則可將r(t-)展成泰勒級數(shù),即23rtrtrtrtrtm2!3!1mrmtm!在式(8-47)中,令t=nT0及=kT0

29、,可得rnkT0rnT0kT0rnT01kT02rnT01kT02!1mmmnT0rm!將式(8-48)代入式(8-46),可得式中enT0KekT0rnT0kT0KekT0rnT00kT02KekT0rnT02!c0KekT0k01m1kT0mKekT0rmnT0c1m!kT0kT0Kec2k02KekT0kT0kT0KekT0rnT0KenT0rnT0k0cmmm1kT0KekT0k0(8-50)系數(shù)c0,c1,c2,cm,定義為線性數(shù)字控制系統(tǒng)的誤差系數(shù).從式(8-49)可見,在已知誤差系數(shù)以及輸入信號及其各階導數(shù)情況下,便可求出在采樣時刻nT0上系統(tǒng)響應輸入信號r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*s

30、s(t)的數(shù)值ess(nT0).如果對于n=0,1,2,各采樣時刻的ess(0),ess(T0),ess(2T0),都按式(8-49)計算出來,則可寫出線性數(shù)字控制系統(tǒng)響應輸入信號r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)essessnT0tnT0n0下面介紹經(jīng)過線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳達函數(shù)e(z)計算誤差系數(shù)的方法.設ez01z12z2kzk(8-51)由于Z-1e(z)=K*e故對上式取反變換,獲得(t),Ket0t1tT02t2T0ktkT0kKekT0k0,1,2,(8-52)式中將zeT0s代入式(8-51),可得ezT0ses01eT0s2e2T0skekT0sze取上式對s的各階

31、導數(shù),獲得desT01eT0s22e2T0s33e3T0skkekT0sds在上列各式中,令s=0,可得d2es2T0s22T0s23e3T0sk2kekT0sds2T01e22e3dmes1mT0m1eT0s2m2e2T0s3m3e3T0skmkekT0sdsm同理求得e0012kKekT0k0deskT0KekT0dss0k0dmes1mkT0mKekT0dsms0k0(8-53)比較式(8-53)與式(8-50),求得cmdmesdsms0(8-54)式(8-53)便是計算線性數(shù)字控制系統(tǒng)誤差系數(shù)的比較實用的關系式.例9.試應用誤差系數(shù)法求取圖8-9所示單位反應線性數(shù)字控制系統(tǒng)在參數(shù)k=

32、1,=1及采樣周期T0=1s情況下響應輸入信號r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差.解從例8求得圖8-9所示單位反應線性數(shù)字控制系統(tǒng)在給定參數(shù)下的閉環(huán)誤差脈沖傳達函數(shù)為Ezz21.368z0.368ezz2z0.632Rz將zeT0s及T0=1代入上式,求得Eze2s1.368es0.368eze2ses0.632Rz根據(jù)*e(s)及其導數(shù)d*e(s)/ds,d2*e(s)/ds2,由式(8-54)分別求得誤差系數(shù)c0,c1及c2為c0=0c1=1c2=1最后根據(jù)式(8-49)求得穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)在各采樣時刻上的數(shù)值從上式可見,給定系統(tǒng)響應r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差esstn0.5tnn0,1

33、,2,n0為離散時間nT0(T0=1s)的函數(shù),它說明穩(wěn)態(tài)誤差是隨時間的推移在增大,當t時,穩(wěn)態(tài)誤差值e*ss().8-6最少拍系統(tǒng)的脈沖傳達函數(shù)在采樣過程中,平時稱一個采樣周期為一拍.在典型控制信號作用下,在各采樣時刻上無穩(wěn)態(tài)響應誤差,且能在有限個采樣周期內結束響應過程進而完全追蹤控制信號的離散系統(tǒng)或數(shù)字控制系統(tǒng),稱為最少拍或有限拍系統(tǒng).典型控制信號,如地點階躍,勻速與勻加快信號的Z變換分別為Z1t11z1ZtT0z121z1t2T02z11z1Z221z13esslim1z1ezRzz1Azlim1z1ez0z1Az1z1Rz1z1ez1z1zz1ezCzzRz其一般形式可寫成(8-55)

34、其中A(z)為不含因子(1-z-1)的以z-1為變量的多項式.從最少拍系統(tǒng)相應控制信號,即(5-55)無穩(wěn)態(tài)響應誤差,即(8-56)角度要求閉環(huán)誤差脈沖傳達函數(shù)e(z)擁有(1-z-1)的因子.設(8-56)其中(z)是在z=1處既無極點也無零點的z-1有理分式.對于單位反應系統(tǒng),有(8-57)因此由(8-58)求得線性離散系統(tǒng)輸出c(t)的Z變換為Cz1ezRzCzRzAzz(8-59)將式(8-55)及式(8-56)代入式(8-59),求得(8-60)從式(8-58)或(8-59)看出,為知足線性離散系統(tǒng)響應典型控制信號的響應過程在最少ez1z1拍內結束進而達到完全追蹤控制信號的要求,需使

35、系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)e(z)及(z)所含z-1項數(shù)最少.在式(8-56)中,若取(z)=1,便能知足上述要求.這時,由式(8-56)及(8-57),可得(8-61)(8-62)這便是以無穩(wěn)態(tài)響應誤差且在最少拍內結束響應過程進而完全追蹤控制輸入為標志的最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù),其中冪指數(shù)與系統(tǒng)響應控制輸入的種類相關,比方相應地點階躍,勻速與勻加快輸入時,分別取1，2，3.下面解析最少拍系統(tǒng)相應地點階躍,勻速與勻加快等典型輸入時的情況.z11z1當r(t)=1(t),即Rz111z1z2zn1z其中A(z)=1及=1,取(z)=1時,求得最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達函數(shù)為ez1z1zz1(8-63)(8-64)根據(jù)式(8-63)或(8-64),由式(8-58)(8-60)求得最少拍系統(tǒng)響應