時域有限差分法介紹

1、時域有限差分法(姚偉)介紹時域有限差分法(姚偉)介紹10/10時域有限差分法(姚偉)介紹伊犁師范學院碩士研究生期末核查科目：電磁波有限時域差分方法姓名：姚偉學號：學院：電子與信息工程學院專業(yè)：無線電物理時域有限差分法選題背景在多種可用的數(shù)值方法中，時域有限差分法(FDTD)是一種新近發(fā)展起來的可選方法。1966年，K.S.Yee首次提出電磁場數(shù)值計算的新方法時域有限差分法(FiniteDifference-TimeDomain，簡稱FDTD)。經(jīng)歷了二十年的發(fā)展FDTD法才漸漸走向成熟。上世紀80年月后期以來FDTD法進入了一個新的發(fā)展階段，即由成熟轉(zhuǎn)為被寬泛接受和應用的階段。FDTD法是解決

2、復雜問題的有效方法之一，是一種直接鑒于時域電磁場微分方程的數(shù)值算法，它直接在時域?qū)axwell旋度方程用二階精度的中心差分近似，進而將時域微分方程的求解變換為差分方程的迭代求解。是電磁場和電磁波運動規(guī)律和運動過程的計算機模擬。原則上能夠求解隨意形式的電磁場和電磁波的技術(shù)和工程問題，并且對計算機內(nèi)存容量要求較低、計算速度較快、尤其合用于并行算法?，F(xiàn)在FDTD法己被寬泛應用于天線的解析與設計、目標電磁散射、電磁兼容、微波電路和光路時域解析、生物電磁劑量學、瞬態(tài)電磁場研究等多個領(lǐng)域1。原理解析2.1FDTD的Yee元胞E,H場分量取樣節(jié)點在空間和時間上采取交替排布，利用電生磁，磁生電的原理DEBH

3、HtEttt圖1Yee模型如圖1所示，Yee單元有以下特點2：1）E與H分量在空間交錯放置，相互垂直；每一坐標平面上的E分量四周由H分量環(huán)繞，H分量的四周由E分量圍繞；場分量均與坐標軸方向一致。2）每一個Yee元胞有8個節(jié)點，12條棱邊，6個面。棱邊上電場分量近似相等，用棱邊的中心節(jié)點表示，平面上的磁場分量近似相等，用面的中心節(jié)點表示。3）每一場分量自己相距一個空間步長，E和H相距半個空間步長4）每一場分量自己相距一個時間步長，E和H相距半個時間步長，電場取n時刻的值，磁場取n+0.5時刻的值；即：電場n時刻的值由n-1時刻的值獲得，磁場n+0.5時刻的值由n-0.5時刻的值獲得；電場n時刻的

4、旋度對應n+0.5時刻的磁場值，磁場n+0.5時刻的旋度對應(n+0.5)+0.5時刻的電場值，逐步外推。5）3個空間方向上的時間步長相等，以保證平均介質(zhì)中場量的空間變量與時間變量完全對稱。應用這種離散方式，將含時間變量的Maxwell方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐唤M差分方程，并在時間軸上逐步推進地求解空間電磁場。由電磁問題的初值和邊界條件，就能夠逐步推進地求解此后各時刻空間電磁場散布。2.2Maxwell方程FDTD的差分格式HDJ麥克斯韋第一、二方程t（1）BEJmt式中，J時電流密度，反應電損耗，Jm是磁流密度，單位V/m2，反應磁損耗。主要與上式對應。各向同性介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系：DEBHJEJmmH（2）

5、其中m是磁阻率，計算磁損耗的。以E,H為變量，在直角坐標中，展開麥克斯韋第一、二方程，分別為HzHyExExyztHxHzEyEy（3）zxtHyHxEzEzxytEzEyHxmHxyztExEzHymHy（4）zxtEyExHzmHzxyt令fx,y,z,t代表E,H在直角坐標中的任何一個分量，離散符號取為fx,y,z,tfix,jy,kz,ntfni,j,k（5）x,y,z,t對于時間和空間的一階偏導數(shù)取中心差分近似為fxfyixyjyfx1fynni21,j,kfi,j21,kfnni21,j,ki,j21,k（6）fzft1fni,j,k1fni,j,kzkzz2111fni,j,kf

6、n-i,j,k22tntt12能夠看出，每一節(jié)點上沿某一方向場分量的一階偏微分能夠用在該方向上相鄰兩點的一階中心差商來描繪，將式(1)用一階中心差商方程取代，整理后便獲得一階差分方程，它擁有二階精度3。Yee元胞如圖1所示，規(guī)定為1）剖分節(jié)點與場分量所在棱邊中點不同，場分量的地點，即E,H節(jié)點是Yee元胞節(jié)點的相對地點，不需要獨自編碼；2）當空間存在媒質(zhì)分界面時，場量自動知足場的連續(xù)性條件，E1tE2t,H1tH2t電磁分量的取樣方式不單吻合法拉第電磁感覺定律和安培環(huán)路定律的自然構(gòu)造，也吻合麥克斯韋方程的差分計算。其次，時間步長能夠取為電磁波流傳一個空間步長所需時間的一半，因此E與H在時間次序

7、上交替抽樣，時間間隔相差半個時間步長。2.3一維問題平均平面波（TEM波）是一維問題，設電磁波沿z軸方向流傳，則Ez0,Hz0，0,0場量和介質(zhì)參數(shù)均與x，y無關(guān)，即xy，麥克斯韋方程為HyExEztx（7）ExHymHyzt和HxEyEzty（8）EyHxmHxzt旋轉(zhuǎn)坐標軸后能夠只保存一組公式4，設保存（7）Yee元胞如圖2所示ExHyz圖2一維Yee元胞差分格式為n1n1n11n11kCBmHy2kHy2kExkCAmExz22（9）n1n112121nnHyCPmHyCQmkk2k2Exk1Exz（10）如果介質(zhì)無損耗，則0,m02.4二維問題三維平時是散射問題，二維是TE、TM波問題

8、，一維是TEM波問題。在二維場中，所有物理量與Z坐標無關(guān)，既/z0。于是在TE和TM波的表達式分別為HzExExytTE波（Ez0）HzEyEy（11）xtEyExHzmHzxytEzHxmHxytTM波（Hz0）EzHymHy（12）xtHyHxEzEzxyt圖3分別給出了TM波和TE波的Yee元胞圖(i,j+1/2)HxEy(i+1/2,j+1/2)(i,j+1/2)HzyEx(i,j)(i+1/2,j)Ez圖3TM波的Yee元胞圖4TE波的Yee元胞對于TE波，只需令Ez0，在z上，Hx,Hy不隨z變化，m中去掉k即可獲得：111n111n111n1n2i2ii,j,jHz,jEx2,j

9、CAmExi2CBmHz2222y式中：mi21,j（13）n11n11n111n111i,ji,jCBmHz2i,jHz2i,jEy2CAmEy2x2222式中：mi,j1（14）2n111n111Hz2iCPmHz2i,j2,j222Eyni1,j1Eyni,j1Exni21,j1Exni21,jCQm22xy式中，m1,j1（15）i22對波，只需令Hz0，在z上，Ex,Ey不隨z變化，m中去掉k，即可獲得：TMn11n111nnHx2i,jCPmHxi,jCQmi,j222yEzi,j1Ez1式中，mi,j（16）2n1i21,jn1i21,jCQm1Ezni1,jEzni,jHy2C

10、PmHy2x式中，mi21,j（17）Ezn1i,jCAmEzni,jn11n11n11n11Hy2i,jHy2i,jHx2i,jHx2i,j2222CBmxy式中：mi,j（18）為了編寫統(tǒng)一的TE和TM波二維FDTD程序，可將描繪TE波差分公式(13)(15)中相應的標號整體移動1/2，即坐標（x,y）分別沿x和y軸方向移動半個網(wǎng)格，并將離散時間也移動半個時間步長，式(13)(15)能夠從頭寫為n1n111nnEx1CAmExi,ji,j2i,j222CBmHzi,j1Hzy式中：m1（19）i,j2n1i21,jn1i21,jCBm1Hzni1,jHzni,jEy2CAmEy2x式中：m

11、i21,jHzn1i,jCPmHzni,jn11n11n11n1Ey2i,jEy2i,jEx2i,jEx2i,j222CQmxy（20）12式中，mi,j（21）能夠看出，TE波的FDTD公式(19)(21)與TM波的FDTD公式(16)(18)形式相同，給編程帶來極大方便。注意TE波和TM波之間的對偶關(guān)系5，即EHmmHE這樣就能夠編寫統(tǒng)一的計算程序了。2.5三維問題（直角坐標系）2.5.1電場時間推進差分格式節(jié)點i,j,k的3個電場分量分別用i1,j,k、12i,j2,k、i,j,k12地點上的Ex,Ey,Ez表示，以式（3）中第一個公式為例：HzHyExEyzt在ttn1i,j,k的離散

12、公式為：2時間步，對節(jié)點i1,j,kExn1i21,j,kExni21,j,k2t11Exn1i21,j,kExni21,j,kn21,j21,kn21,j21,ki1Hz2iHz2i2,j,k2y11n11n11Hy2i,j,kHy2i,j,k2222zn121,j,k上式中的第二項用平均值來替代Ex2i是因為離散方程中電場的時間取樣是整數(shù)n，磁場的時間取樣是n+1/2，所以只能取n及n+1時電場的平均值。實際也證明這個平均值使FDTD算法擁有數(shù)值穩(wěn)定性。整理后，將En1i1,j,k作為未知數(shù)，其余作為迭代計算的已知數(shù)x2Exn1i21,j,kCAmExni21,j,kCBmn111n111

13、n111n111Hz2i,j,kHz2i,j,kHy2i,j,kHy2i,j,k22222222yzmi1,j,k（22）2mm1mtt22mCAmmmmt1t22mtCBm1mmmmt1t22m同理，式（3）中其余兩個公式的離散形式為Eyn1i,j21,kCAmEyni,j21,kCBmn111n111n111n11122i,j2i2iHxi,j,kHx,kHz,j,kHz,j,k22222222zxmi,j21,k（23）n1i,j,k1n1CBmEz2CAmEzi,j,k2n111n111n111n11122i2i,j2i,jHyiHyHx,kHx,k2,j,k22,j,k22222xy

14、1mi,j,k（24）2以上三式是電場的時間推進計算公式。2.5.2磁場時間推進差分格式節(jié)點i,j,k的3個磁場分量分別用i,j1，k1、i1,j,k122221i2,j2,k地點上的Hx,Hy,Hz表示，同樣，議論式（4）中第一個公式，設察看點x,y,z為Hx的節(jié)點，即在時刻tnt，對節(jié)點i,j21,k21的離散公式為：n111n111Hx2i,jCPmHx2i,j2,k22,k2n1ni,j,k1n1,k1ni,j1,kCQmEzi,j1,k2Ez2Eyi,j2Ey2yzmi,j1,k122mmm1t2CPmmmm1t2（25）mmtmmmtmtCQm1mmmtmt212m同理，式（4）中

15、其余兩個公式的離散形式為n111Hy2i,j,k22CQmn121,j,kCPmHy2iExni21,j,k1Exniz121,j,kEzni1,j,k1Ezni,j,k1222xmi1,j,k1（26）22n121,j21n121,j21,kHz2i,kCPmHz2iEyni1,j21,kEyni,j21,kExni21,j1,kExni21,j,kCQmxymi1,j1,k（27）22以上三式是磁場的時間推進計算公式。時域推進計算框圖（交錯半步逐步推進）若已知t1t0nt時空間各節(jié)點處的電場值（賦初值）計算t2t1t25）（27）時空間各節(jié)點處的磁場值，式（2計算t1t2t時空間各節(jié)點處的

16、電場值，式（22）（24）2在編程中，為了使電場和磁場有相同的數(shù)量級（為減小誤差），可對H或E進行“歸一化”辦理，即：用E/Z0取代E，式中Z0是自由空間波阻抗。HZ0H取代H，用E6。計算結(jié)果再分別除以和乘以Z0即可。能夠看出，這種離散方法電場和磁場在時間次序上交替抽樣，抽樣間隔相差半個時間步長，使麥克斯韋方程離散后成為顯示差分方程，進而能夠在時間上迭代求解，不需矩陣求逆。給定初值后，能夠逐步推進，求得此后各個時刻點的空間電磁散布。這是FDTD法的最大特點。2.6解的穩(wěn)定性在FDTD中，時間增量t和空間增量x、y、z之間不是相互獨立的，它們的取值必須知足一定的關(guān)系，以防備數(shù)值結(jié)果的不穩(wěn)定，表

17、現(xiàn)為隨著時間步數(shù)的增加，計算結(jié)果發(fā)散。造成解不穩(wěn)定的因素有多種：誤差因素：計算機在計算過程中，原始數(shù)據(jù)可能有誤差，如系數(shù)陣成立過程中產(chǎn)生的誤差，而每次運算由于只能保存有限位數(shù)而又產(chǎn)生誤差，誤差的積累有可能吞沒真實解，使計算結(jié)果不可靠，即不穩(wěn)定；計算方法不合適；t、h離散間隔不當?shù)?。為了確定數(shù)值解穩(wěn)定的條件，有很多推導方式，結(jié)論相同2.6.1時間步長穩(wěn)定性要求一般情況下T（28）t2.6.2時間步長與空間步長的關(guān)系三維t11（29）222111xyz在非平均地區(qū)，v取最大值。真空中v=c(光速)。假如正方體Yee元胞，xyz，那么t1（30）3假如正方形Yee元胞（二維），xy，那么t1（）231假如線段平分Yee元胞（一維），那么t1（32）2.7數(shù)值色散當波流傳的速度是頻次的函數(shù)，即速度與頻次相關(guān)時，稱其波為色散波。色散的原因有多種：由于媒質(zhì)是金