初中數(shù)學(xué)幾何模型

1、滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧條件：OAB,OCD均為等腰直角三角形結(jié)論：OAC竺OBD:ZAEB，90OE平分ZAED（易忘）AB條件：OAB,OCD均為等腰三角形且ZAOB，ZCOD結(jié)論：OAC竺OBD:ZAEB，ZAOBOE平分ZAED（易忘）核心圖形如右圖核心條件如下:OA，OB，OC，ODZAOB，ZCOD模型二：手拉手模型一相似條件：CDAB,將OCD旋轉(zhuǎn)至右圖位置結(jié)論：右圖OCDsOABoOACsOBD且延長AC交BD與點E必有,BEC=,BOA非常重要的結(jié)論，必須，入GMrX口手拉手相似（特殊情況）當(dāng)AOB=90，時，除AOCDs

2、aOABAOACsaOBD之外人皿ODOB/還會隱藏=tanOCDACOCOA滿足BD丄AC,若連結(jié)AD、BC,則必有AD2+BC2=AB2+CD2S=1ACXBD（對角線互相垂直四邊形）ABCD2滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧條件：AOB=DCE=90，0C平分AOB結(jié)論：CD=CE；OD+OE=-2OCS=S+S=10C2ODCEOCDOCE2輔助線之一：作垂直，證明CDM竺CEN經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧當(dāng)ZDCE一邊交AO延長線上于點D時，如圖以上三個結(jié)論：（輔助線之二）CDCE不變OE-OD=2OC（重點）S

3、-S=10C2（難點）,OCE,OCD2請獨立完成以上證明，必須非常熟練掌握（重點）（難點）請獨立完成以上證明，必須非常熟練掌握經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧結(jié)論得證EF=ODtan*/(OE,EF)cos=OC結(jié)論得證TOC o 1-5 h z-SCF、cef=()2=tan2SCOcdo:.S=Stan2cefcdoTS,S=Socecefocf且S=10C2tanOCF2結(jié)論得證經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新 #熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新 #熟能生巧難度非常大請仔細認真復(fù)習(xí)經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新

4、熟能生巧對角互補模型總結(jié)：常見初始條件：四邊形對角互補兩點注意：四點共圓和直角三角形斜邊中線初始條件：角平分線與兩邊相等的區(qū)別常見兩種輔助線的作法注意下圖中0C平分AOB”O(jiān)E、BCDE=CED=COA=COB相等是如何推導(dǎo)經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 #熟能生巧角含半角模型(90)經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新 #熟能生巧條件：正方形ABCD；EAF=45，結(jié)論：EF=DF+BECEF周長為正方形ABCD周長一半也可以這樣：條件：正方形ABCD；EF=DF+BE結(jié)論：EAF=45，口訣：角含半角要旋轉(zhuǎn)經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧角含半

5、角模型(90)條件：正方形ABCD；EAF=45，結(jié)論：EF=DF-BE輔助線：經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 #熟能生巧角含半角模型（90）變形條件：EAF=45，；經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新 #熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧結(jié)論：NAHE為等腰直角三角形（重點/難點）證明：連接AC（方法不唯一）TDAC=EAF=45，,二DAH=CAETADH=ACE=45，,Z.AADHsaace.DA_ACAHAE.AAHEsAADC倍長中線類模型條件：矩形ABCD；BDBEDFEF結(jié)論：AF丄CF模型提?。河衅叫芯€ADBE平行線間線段

6、有中點DFEF可以構(gòu)造8字全等，ADF絲NHEF倍長中線類模型CBCB條件：平行四邊形；ABCDBC2AB；AMDM；CE丄AD結(jié)論：,EMD3,MEA輔助線：有平行ABCD，有中點AMDM延長EM，構(gòu)造AAME空ADMF，連接CM構(gòu)造等腰AEMC,AMCF通過構(gòu)造8字全等線段數(shù)量及位置關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)化相似三角形360度旋轉(zhuǎn)模型（倍長巾線法）EE條件：ADE、ABC均為等腰直角EF=CF結(jié)論：DF=BF；DF丄BF輔助線：延長DF到點G，使FG=DF，連接CG、BG、BD證明BDG為等腰直角突破點：ABD空CBG難點.證明ZBAD=ZBCG相似三角形360度旋轉(zhuǎn)模型（補全法）條件：ADE、A

7、BC均為等腰直角EF=CF結(jié)論：DF=BF；DF丄BF輔助線：構(gòu)造等腰直角AEG、AHC輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)化到CG與EH條件：OABsODCZOAB，ZODC，90。：BE，CE結(jié)論：AE，DE:ZAED，2ZABO輔助線.延長BA到點G，使AG，AB,延長CD到點H使DH，CD,補全OGB、OCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型，轉(zhuǎn)化AE與DE到CG與BH，難點在轉(zhuǎn)化ZAED任意相似直角三角形360度旋轉(zhuǎn)模型（倍長法）M條件：OABsODCZOAB，ZODC，900:理C結(jié)論：AE，DE:ZAED，2ZABO輔助線：延長DE至M，使ME，DE，將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)化為證明AMDsABO，此為難點，將AMD

8、sABO繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明ABMsAOD，使用兩邊成比且夾角等此處難點在證明ZABM，ZAOD最短路程模型之二（點到直線類）AP垂線段最短條件：如右圖0C平分AOBM為OB上一定點P為0C上動點Q為OB上動點求：MP+PQ最小時，P、Q的位置輔助線：將作Q關(guān)于OC對稱點Q，轉(zhuǎn)化PQ，PQ，過點M作MH丄OAMP+FA，MP+PQMH（垂線彳段最短）最短路程模型之二（點到直線類）最短路程模型之二（點到直線類）滴水穿石 鍥而不舍滴水穿石 鍥而不舍定點P動點BlA定點條件：如圖，點A、B為定點，P為動點問題：點P在何處，BP+牛AP最短結(jié)論：以A為頂點作上PAC，30，過點P作PQ丄AC，轉(zhuǎn)化PQ，1A

9、P，過點B作AC的垂線與AP的交點為所求（垂線段最短）最短路程模型之二(點到直線類)最短路程模型之二(點到直線類)滴水穿石 #鍥而不舍滴水穿石 #鍥而不舍經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 熟能生巧最短路程模型之二（點到直線類）A定點宀上P動點*_，定點Bl所求點Q最短路程模型之二(點到直線類)最短路程模型之二(點到直線類)滴水穿石 #鍥而不舍滴水穿石 #鍥而不舍經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 #熟能生巧最短路程模型之二(點到直線類)最短路程模型之二(點到直線類)滴水穿石 鍥而不舍滴水穿石 #鍥而不舍經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 #熟能生巧條件：如圖，點A、B為定點，P為動點問題：點P在何處，BPp最短結(jié)論

10、：以A為頂點作ZPAC，45，過點P作PQ丄AC，轉(zhuǎn)化PQ，1AP,過點B作AC的垂線與AP的交點為所求B條件：A(0,4)、B(-2,0),P(0,n)問題：n為何值時，PB+PA值最小結(jié)論：x上取點C(2,0)，使n,OC255過點B作BD丄AC，交y軸于點E為所求tan,EBO=tan,OAC=牛，即E(0,1)最短路程模型之三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 #熟能生巧最短路程模型之三(旋轉(zhuǎn)類最值模型)B最大值位置A最小值位置條件：線段OA4,OB2(OAOB)OB繞點O在平面內(nèi)360，旋轉(zhuǎn)問題：AB的最大值，最小值分

11、別為多少？結(jié)論：以點O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”最大值：OA+OB；最小值：OAOB最短路程模型之三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 #熟能生巧條件：線段OA4,OB2以點0為圓心，OB,OC為半徑作圓點P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點問題：若PA的最大值為10，則0C=6若PA的最小值為1，則0C=3若PA的最小值為2，則PC的取值范圍是0PC，2最短路程模型之三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊溫故而

12、知新 #熟能生巧最短路程模型之三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）條件：RtOBC,ZOBC，30OC，2:OA，1；點P為BC上動點（可與端點重合）；OBC繞點O旋轉(zhuǎn)結(jié)論：PA最大值為OAOB，123PA最小值為丄OB-OA=、3-12如右圖，圓的最小半徑為O到BC垂線段長最短路程模型之四（動點在圓上）最短路程模型之四（動點在圓上）滴水穿石 鍥而不舍滴水穿石 #鍥而不舍經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 #熟能生巧條件：以點0為圓心三個圓，OA、OD固定0P繞點0旋轉(zhuǎn)問題：點Q在什么位置時，EPMB最小輔助線：連接DQ、QC，當(dāng)Q、D、C三點共線時，EPMB=DQQC=DC最小經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故

13、而知新 熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 #熟能生巧最短路程模型之四(動點在圓上)條件：正方形ABCD且邊長為4；B的半徑為2:P為B上動點問題：求PD(PC/2)最小值輔助線：過點E作EM/PC，取BE中點N轉(zhuǎn)化思路：將PC/2轉(zhuǎn)化ME，將ME轉(zhuǎn)化為MN，因此MDMN的最小值為DN長度總結(jié)PC/2的比值不是隨意給出的，而是圓的半徑r/BC二倍角模型條件：ABC中，ZB，2ZC輔助線：以BC的垂直平分線為對稱軸，作點A的對稱點A，連接AA、BA、CA則BA為ZABC的角平分線，那么BA=AA=CA（注意這個結(jié)論）此種輔助線的作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之，但并不是唯作法經(jīng)典模型系列手冊

14、滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 #熟能生巧相似三角形模型（基本型）A字型平行類：DE/BCBCBC8字型a字型經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 #鍥而不舍溫故而知新 #熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 #熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊滴水穿石 鍥而不舍溫故而知新 熟能生巧經(jīng)典模型系列手冊溫故而知新 #熟能生巧ADAEDE亠，,結(jié)論：ABACBC（注意對應(yīng)邊要對應(yīng)）模型應(yīng)用：經(jīng)常在選擇，填空中直接考查，在第20題的第二問也經(jīng)常會考查“A字型”“8字型”相似，建立方程。條件：如左面兩個圖AED=ACB=90，結(jié)論：AExAB=ACxAD條件：如右面兩個圖ACE=ABC結(jié)論：AC2=AExAB第四個圖還存在ABxEC=BCxACBC2=BExB