圓柱體內(nèi)溫度分布問題大物DTP

1、柱體內(nèi)溫度分布問題1、前言貝塞爾函數(shù)是基本的特殊函數(shù)之一，因?yàn)樗哂姓?、歸一、完備性，能夠 作為其他函數(shù)的基底。為了具體說明貝塞爾函數(shù)的重要，下面舉了一個(gè)例子，并 且有解答過程。為了認(rèn)更多的人能夠看明白，我把過程寫的盡可能的詳細(xì)。溫度 分布問題是日常生活中常見問題，本文對圓柱體內(nèi)溫度分布問題進(jìn)行探究，有助 于了解立體物體的溫度分布規(guī)律。2、模型及求解圓柱體內(nèi)溫度分布的模擬如下，設(shè)半徑為1，高為1的均勻圓柱體，其下底和側(cè)面保持零度，上底溫度分布為f（ P ）=1- P 2,求柱內(nèi)各處的穩(wěn)定溫度分布。解答如下按題意得，定解問題為AU = 0 （0 p 1,0 2兀，0 z 1）邊界條件為。U =

2、 U|（周期邊界條件）=0=2 冗u= 0 （側(cè)面齊次邊界條件）P=1U= 0 （底面非齊次邊界條件）z=0U=1 = 1-P2 = R（p）（底面非齊次邊界條件）1 d（ du）1 d2u d2u _先寫出柱坐標(biāo)下的拉普拉斯方程pdp（ pdp）* p2 市+dZ2 = 0運(yùn)用分離變量法，令U（ P即,z）=Y（ P,中）Z（z）=R（ P ） o （中）Z（z）1奈PdP土三Y（P，甲）Y（P，平）d2Z (z) dz 21 d/d、1 d 2、/、可得卜雨（PdP商標(biāo)Y（P，甲）+H（P，g0與d2 _ ,、Z(z)人 Z (z)=0 dz 2下討論人的取值當(dāng)人0時(shí)，Z （z）=Acos

3、 v項(xiàng)z+Bsin%頃z為周期函數(shù)對于0z0，可令人=U2，i n 、 1 6 2此時(shí)可有:(1)7aF(paF薩菲 Y(p，p)+u2Y(p，)=0d2與Z(z) -u2Z(z)=0 (2) dz 2（2）的通解可為：Z（z）=Aeuz + Be一版再次運(yùn)用分離變量法分離（1）得:ddp (pdpdpR( p)+ p 2u2 R(p)d2、中（平）紋= P中（平）則可有p dp(喘)+p 2u 2-pR( p 片0d 2與中（甲）+p中（甲）=0d甲2d2對于L中（甲）+ P中（甲）=0，應(yīng)滿足邊界條件中（0）=以2兀）d甲2F面討論p的取值當(dāng)p 0時(shí)，。）=1 cos J伽+ B sin

4、J伽，代入中（0）=（2兀），可得；B應(yīng)為正整數(shù)，可令B =n TOC o 1-5 h z 艮中（甲）=A cos n甲+ B sin n甲此時(shí)R（ p）常微分方程為d , d、八p (p ) +p 2 u 2 n 2 R(p ) = 0，令 X = up dpdp化簡得 X 2 R(x) + XR(x) + (x 2 n 2) R( x) = 0這是貝塞爾方程，故特解為：R( P) = AJn (un P) + Bn Nn (un p)(具體過程請看后面解釋1)又柱內(nèi)溫度分布必須滿足研色0=有限值，故8尸0R(p) = A J (u p)又非齊次邊界條件中函數(shù)f( P )=1 P 2不是平的

5、函數(shù)，溫度分布具有軸對稱性，與變量甲無關(guān)，故可取n=0J (u P) = J0(u P)這樣，一般解應(yīng)是0(UnP )U(P，z)= A eunz + B e (u nz)nn=1F利用邊界條件求出系數(shù)An和Bn=0, J (u ) = 0,.，. u = K(0)(n=1,2,3)(題目邊界條件)而 U| 0 =2(A + B )J0(K(0)P) = 0n=1(題目邊界條件)則可得A = BnnU| 廣工 A e (K(0) + B e (-K(0)J0( K(0)P) = 1 P 2 (題目邊界條件) n=1A e(k(0) + B e(k(。)= 2f1(1 P2)J (K(0)P)P

6、dPJ (K(0) P)001j1 PJ (K (0) P )dP f1P 3 J (K (0) P )dP 00n00n=r 2 1J 1( K(o)P )-2由貝塞爾函數(shù)遞推公式？ txJ (x)= xJ (x)得: dx 1j1 PJ (K (0) P )dP =叫 1(K P)00 nK (0)nJ (K (0)1K (0)n再由貝塞爾遞推公式d XnJnx J ( x )得n1(具體過程請看后面解釋2)_ J (K(0)_ 1K (0)nJ (K(0)1K (0)nn.a e()+ B e(-k()=nnJ 1( K(0)22 JK(o)-T( K(o) 2=an TOC o 1-5

7、 h z j1 p3J (K(0)p)dp= j1 p2d PJ1(K：o)P)= P3J1(K：O)P) 1 _jip2J(K(0)P)dp 00 n0|_K (0) J K (0)0 K (0) 01 nnnn_ 2 _i_4p2J (K(0)p)1K(0)上2 n 0n再加上A =_ B TOC o 1-5 h z nna可解得 An= 2LK(0)_e(一K(0)nnB =_二n 2 e(k(0) 一e(_k(0)nn所以，最終解為:c|k(0)z) e(-K(0)z)-U ( p, z )=藝 a +一二- J (K(0) p)(0 z 1,0 p 1)n 2e(K(0) e(-K(

8、0)0 nn=1nn其中a = 也(Kn0)n J 2( K(0) - (K (0)21nn2.1對方程解的具體解釋解釋1x2 + x 空 + (x 2 n 2) y = 0 求解問題:dx 2dx貝塞爾方程有級數(shù)解y = x，(a + a x + a x2 +. + a xk +.)= 乙 xk+r( a ，0) 012xk0k=0代入原方程得尤 a (k + r)(k + r _ 1)xk+r + a (k + r)xk+r + a (x2 _ n2)xk+J = 0k=0合并同類項(xiàng)得，r + k)2 n2, + ak2 = 0當(dāng) k=0 時(shí)，（r2 n2）a。= 0（ a0。0）r =

9、n當(dāng) k=1 時(shí)，r +1)2 n21 = 01O = 0當(dāng) k2 2時(shí)，r +1)2 n2a + a = 0當(dāng) r=n 時(shí)： a =-(；2)而 a 豐 0 a 0=0022(2n + 2)22 (n +1)a =- a =aa42(2n + 4)22 (n + 1)4(n + 2)24 (n + 1)(n + 2)(1) ma2 m22 mm!(n + 1)(n + 2).(n + m)其中a0為任意常數(shù)通常令a0 = 2 n / + 1)而r(x)具有性質(zhì)r(n +1) = n! (n為整數(shù))(1) m(1) m.a =. 2m22mm!2n r(n + 1)(n + 1)(n + 2)

10、.(n + m)22m+nm!(n + m+1).貝塞爾函數(shù)的特解為yW = (1) m 加 n + m * (X) n+2m (n Z 0)m=0現(xiàn)定義Jn=尤(1)m小口. + m +1)(x)n+2m(n - 0)為第一類貝塞爾函數(shù) m=0當(dāng)r = n時(shí)，同理可得：J (X)-工(1) mm=01/X再定義N (x)= Jx)cosns Jn(x)sin n 兀()n+2 m m!r(n + m +1) 2Jn (X)與Nn (x)線性無關(guān).一般貝塞爾函數(shù)的額通解可表示成,Aj (x) + BN (x)解釋2：證明 CnJ(X)L XnJ (X)成立 dx nn-1證明：J (X) =

11、E (-1)m 業(yè)竺n2 n+2 m m!r(n + m +1)m=0d XnJ (x)L dX nd切(-1)肌X2n+2m=n 切(-1)mXn+2 m-1dx(T)m 2n+2mm!T(n + m +1)=尤)2n+2m-1 m!r(n + m) = Xnn-1(X)m=0m=0通過3、結(jié)論.U(p, z )= &半0)Z) -eZ)n 2 e(K(0) 一 e(-K(0)J n=1nnJ0(K(0)p)( 0 z 1,0 p 1)4J(K(0)其中 a = 2nnJ 2( K (0) - ( K (0)2 TOC o 1-5 h z 1 nn此援助熱傳導(dǎo)問題的通解為:通過對貝塞爾函數(shù)的

12、運(yùn)用，一個(gè)復(fù)雜的難以找到規(guī)律的生活上的問題可以 簡單的找規(guī)律。=&半0)Z) -e(-Kn0)Z) J (K(0) p)，n=1n 2 e(Kn0) e(-Kn0)0 n而a =一4J2(Kn0)一，就要依靠邊界來確定，這就是老師經(jīng)常所說的邊界 n J 2( K (0) - ( K (0)2 1nn決定內(nèi)部的思想。且作出了圓盤溫度分度的圖形，更形象了解圓柱內(nèi)溫度分布規(guī)律，如下圖所示4、參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 李元杰編高等教育出版社 數(shù)學(xué)物理方法引論 徐效敏編 南京大學(xué)出版社 數(shù)學(xué)物理方程 陳才生編 東南大學(xué)出版社5、我的感想通過這一學(xué)期的學(xué)習(xí)，我初步掌握了數(shù)學(xué)物理方程的一些 基本思想，特別是分離變量的思想，可以把復(fù)雜的問題簡單化。 雖然說思想和方法很重要，但是知識(shí)也