因式分解競賽題含問題詳解

1、因式分解序號公式記憶特性1x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b)(十字相乘法)常數(shù)項(xiàng)兩數(shù)枳一次項(xiàng)系數(shù)兩數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)為12a2-b2 = (a-b)(a+b)(平方差公式)3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2(完全平方公式)4a2+b.2+c2.+2.ab.+2ac+2bc = (a+b+c)2(完全平方公式擴(kuò)展)三數(shù)平方和兩兩積勺2倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3(完全立方公式)對照完全平方公式互相加強(qiáng)記憶6a3+b3 = (a+b)(a2-.ab.+b2)a3-b3

2、= (a-b)(a2+.abb2)近似完全平方公式缺項(xiàng)之完全立方公式(a+b).(a+b.)2-3ab.=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(.a+b)2+.3.ab=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+.b2+c.2-ab-ac.-.bc)對照公式4互相加強(qiáng)記憶8an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+. +abn-2+bn-1) n=整數(shù)(平方差公式擴(kuò)展)短差長和；a指數(shù)逐項(xiàng)遞減1；b指數(shù)逐項(xiàng)遞增1；長式每項(xiàng)指數(shù)和恒等于n-1。9an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-. +abn-2-

3、bn-1) n=偶數(shù)(立方差公式擴(kuò)展)(1)短式變加長式加減相間；a指數(shù)逐項(xiàng)遞減1；b指數(shù)逐項(xiàng)遞增1；(4)每項(xiàng)符號b指數(shù)決定偶加奇減。10an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-. +abn-2-bn-1) n=奇數(shù)(立方和公式擴(kuò)展)對比公式9 1勺異同運(yùn)用公式法分解因式時，要根據(jù)多項(xiàng)式日勺特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等對日勺恰本地選擇公式.例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解(1)原式二-2xn-iyn(X4n-2x2ny2+y4)=-2xn-iyn (x2n) 2-2x2ny2

4、+(y2)2=-2xn-iyn(X2n-y2)2=-2Xn-iyn (xn-y) 2(Xn+y) 2.原式=X3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)(-Z)= (x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題事實(shí)上就是用因式分解日勺措施證明前面給出日勺公式(6).分析我們已經(jīng)懂得公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3勺對勺性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b).這個式也是一種常用勺公式，本題就借助于它來推導(dǎo).解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3

5、】 -3ab(a+b+c)= (a+b+c) (a+b) 2-c(a+b)+c2 -3ab(a+b+c)= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).闡明公式(6)是一種應(yīng)用極廣勺公式，用它可以推出諸多有用勺結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc4 :十匚)C 2,i. 1 21J 1 2c1 - Jab - 2b. - 2ca；一：:a + b-c : (a +:)- +，：-取二，顯然，當(dāng) a+b+c=0 時，則 a3+b3+c3=3abc；當(dāng) a+b+c0 時，則 a3+b3+c3-3abcN0，即 a3+b3+c3N3abc，并且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時

6、，等號成立.如果令 x=a3N0，y=b3N0，z=c30，則有等號成立勺充要條件是x=y=z.這也是一種常用勺結(jié)論.變式練習(xí)1 分解因式：X15+X14+X13+，+X2+x+1.分析這個多項(xiàng)式日勺特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)X15開始，x日勺次數(shù)順次遞減至0,由此想到應(yīng)用公式an-bn來分解.解由于X16-1=(x-1)(X15+xm+x13+.X2+x+1),因此+x15-.+k2 -+1)-1俱瓦一=廠x-lK 一 1_(3? + 十 W2 十 十 -1)X -1闡明在本題勺分解過程中，用到先乘以(X-1),再除以(x-1)勺技巧，這一技巧在等式變形中很常用.2.拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是

7、多項(xiàng)式乘法勺逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時，整頓、化簡常將幾種同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€僅符號相反勺同類項(xiàng)互相抵消為零.在對某些多項(xiàng)式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或互相抵消勺項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中勺某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng) 式中添上兩個僅符合相反勺項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)勺目勺是使多 項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.例3分解因式：X3-9X+8.分析本題解法諸多，這里只簡介運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解勺幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添 項(xiàng)勺目勺與技巧.解法1將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9.原式=X3-9x-1+9= (X3-1)-9x+9= (x-1)(X2+x+1)-9(x-1)= (x-1)(

8、X2+x-8).解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x.原式=X3-x-8x+8二 (X3-x) + (-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)二 (x-1)(x2+x-8).解法3將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3.原式二9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)二 (x-1)(x2+x-8).解法4添加兩項(xiàng) 頊2+乂2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2 (x-1) + (x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)闡明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)日勺措施分解因式時，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無-

9、 定之規(guī)，重要日勺是要依托對題目特點(diǎn)日勺觀測，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸 措施中技巧性最強(qiáng)勺一種.變式練習(xí)1分解因式：x9+x6+x3-3；(m2-1)(n2-1)+4mn；(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；a3b-ab3+a2+b2+1.解(1)將-3拆成-1-1-1.原式= X9+X6+X3- 1- 1- 1=(X9-1) +(X6-1) +(X3-1)=(X3-1)(X6+X3+1) +(X3-1)(X3+1) +(X3-1)= (X3-1)(x6+2x3+3)二 (x-1)(X2+x+1)(X6+2x3+3).(2)將 4mn 拆成 2mn+2mn.原式=(m2-

10、1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn二 (m2n2+2mn+1) - (m2-2mn+w)= (mn+1) 2- (m-n) 2= (mn+m-n+1)(mn-m+n+1).將(X2-1)2拆成 2(X2-1) 2-(X2-1) 2.原式=(x+1) 4+2(X2-1) 2- (x2-1) 2+(x-1) 4=(x+1) 4+2(x+1) 2 (x-1) 2+(x-1) 4 - (x2-1) 2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2二 (2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab.原式 =a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab二 (a3b-ab3) + (a2-ab) + (ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)